2022年抽象函数和函数的解析 .pdf

函数相关习题集合0 年 7 月 17 日1 一、解析式的求法1.代入法()21fxx，求(1)f x2.待定系数法二次函数()f x满足(3)(1)f xfx，且()0f x的两实根平方和为10，图像过点(0,3);已知()fx二次实函数，且2(1)(1)f xf xx+2x+4 3.换元法2(31)965fxxx，()211xfxx,4.配凑法2(31)965fxxx，3311()f xxxx5.消元法（构造方程组法）()()1f xfxx，6.利用函数的性质求解析式例 1.已知函数()yf x是定义在区间3 3,2 2上的偶函数，且320,x时，25()xf xx求()f x解析式答案：2235(0)235(0)2()xxxxxxf x例 2.已知y=()fx为奇函数,当x0 时,()lg(1)f xx,求()f x解:()fx为奇函数，()fx的定义域关于原点对称，故先求x0,()lg(1)lg(1)fxxx,()f x为奇函数，lg(1)()()xfxf x当x0 时()lg(1)fxxlg(1),0()lg(1),0 xxf xxx例 3一已知()f x为偶函数，()g x为奇函数，且有()f x+1()1g xx，求()f x,()g x.解：()f x为偶函数，()g x为奇函数，()()fxf x,()()gxg x,不妨用-x代换()f x+()g x=11x中的x,1()()1fxgxx即()f x1()1g xx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -函数相关习题集合0 年 7 月 17 日2 显见+即可消去()g x,求出函数21()1f xx再代入求出2()1xg xx7.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x的表达式例：设()f x的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f xf xfyxy,及(1)f=1,求()f x解：()f x的定义域为 N，取y=1,则有(1)()1f xf xx(1)f=1,(2)f=(1)f+2,(3)(2)3ff()(1)f nf nn以上各式相加，有()f n=1+2+3+n=(1)2n n1()(1),2f xx xxN二、利用函数性质，解()f x的有关问题1.判断函数的奇偶性：例：已知()()2()()fxyf xyfx f y,对一切实数x、y都成立，且(0)0f,求证()f x为偶函数。证明：令x=0,则已知等式变为()()2(0)()fyfyff y在中令y=0 则 2(0)f=2(0)f(0)f0(0)f=1()()2()fyfyf y()()fyfy()f x为偶函数。2.确定参数的取值范围例：奇函数()f x在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0fmfm的实数m的取值范围。解：由2(1)(1)0fmfm得2(1)(1)fmfm，()f x为函数，2(1)(1)fmf m又()f x在（-1，1）内递减，221111110111mmmmm作业：1.若函数(1)f x定义域为(3,4，则函数()fx的定义域为2.已知2211()f xxxx，则(1)f x=3.已知2(1)34f xxx，则()f x=4.设()f x是定义在R 上的函数，且()f x满足(2)()f xf x，当0,2x时，2()2f xxx，求2,0 x时()f x的解析式名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -函数相关习题集合0 年 7 月 17 日3 二、四类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数例 1、已知函数 f（x）对任意实数x，y，均有 f（xy）f（x）f（y），且当 x0 时，f（x）0，f（1）2，求 f（x）在区间 2，1上的值域。分析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。解：设，当，即，f（x）为增函数。在条件中，令yx，则，再令 xy0，则 f（0）2 f（0），f（0）0，故 f（x）f（x），f（x）为奇函数，f（1）f（1）2，又 f（2）2 f（1）4，f（x）的值域为 4，2。例 2、已知函数 f（x）对任意，满足条件 f（x）f（y）2+f（xy），且当 x0 时，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。分析：由题设条件可猜测：f（x）是 yx2 的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。解：设，当，则，即，f（x）为单调增函数。，又 f（3）5，f（1）3。，即，解得不等式的解为 1 a 3。2、指数函数型抽象函数例 3、设函数 f（x）的定义域是（，），满足条件：存在，使得，对任何 x 和 y，成立。求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断 f（x）值的正负。分析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）1且 f（x）0。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -函数相关习题集合0 年 7 月 17 日4 解：（1）令 y0 代入，则，。若f（x）0，则对任意，有，这与题设矛盾，f（x）0，f（0）1。（2）令 yx0，则，又由（1）知 f（x）0，f（2x）0，即 f（x）0，故对任意x，f（x）0 恒成立。3、对数函数型抽象函数例 4、设 f（x）是定义在（0，）上的单调增函数，满足，求：（1）f（1）；（2）若 f（x）f（x8）2，求 x 的取值范围。分析：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数，f（1）0，f（9）2。解：（1），f（1）0。（2），从而有 f（x）f（x8）f（9），即，f（x）是（0，）上的增函数，故，解之得：8x9。4、幂函数型抽象函数例 5、已知函数 f（x）对任意实数x、y 都有 f（xy）f（x）f（y），且 f（1）1，f（27）9，当时，。（1）判断 f（x）的奇偶性；（2）判断 f（x）在 0，）上的单调性，并给出证明；（3）若，求 a 的取值范围。分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在0，）上是增函数。解：（1）令 y1，则 f（x）f（x）f（1），f（1）1，f（x）f（x），f（x）为偶函数。（2）设，时，f（x1）f（x2），故 f（x）在 0，）上是增函数。（3）f（27）9，又，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -函数相关习题集合0 年 7 月 17 日5，又，故。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -