2022年曲线中的最值与定值问题 .pdf

圆锥曲线中的最值与定值问题圆锥曲线中的最值问题【考点透视】圆锥曲线的最值问题，常用以下方法解决：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；函数值域求解法：当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.利用代数基本不等式，结合参数方程，利用三角函数的有界性。【题型分析】1.已知 P是椭圆2214xy在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四边形OAPB 的面积的最大值分析：设P（2cos,sin），(0)2,点P到直线AB：x+2y=2的距离|22sin()2|2cos2sin2|2224555d所求面积的最大值为2（椭圆参数方程，三角函数，最值问题的结合）2.已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件|2 2PMPN.记动点P的轨迹为W.（）求W的方程；（）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA OB的最小值.解：（）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22xy122（x0）（）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为xx0，此时A（x0，20 x2），B（x0，20 x2），O AO B2 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxb，代入双曲线方程22xy122中，得：(1 k2)x22kbxb220 依题意可知方程1 有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则2222122212244(1)(2)0201201k bkbkbxxkbx xk解得|k|1，又OA OBx1x2y1y2x1x2（kx1b）（kx2b）（1k2）x1x2kb（x1x2）b22222k242k1k1 2 综上可知OA OB的最小值为2 3.给定点A(-2,2)，已知B是椭圆2212516xy上的动点，F是右焦点，当53ABBF取得最小值时，试求B点的坐标。解：因为椭圆的35e，所以513ABBFABBFe，而1BFe为动点B到左准线的距离。故本题可化为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 34 页 -|35|BFeBFBNeBNBF于是5|3ABBFABBNANAM为定值其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为5 3(,2)2所以，当53ABBF取得最小值时，B点坐标为5 3(,2)24.已知椭圆221259xy，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P 是椭圆上任一点，求：（1）求5|4PAPB的最小值；（2）求|PAPB的最小值和最大值分析：（1）A 为椭圆的右焦点。作PQ 右准线于点Q，则由椭圆的 第 二 定 义|4|5PAePQ，5|4PAPBPQPB，显然点 P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为174。（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则|2|PAaPC|2|10(|)PAPBPAaPCPBPC，根据三角形中两边之差小于第三边，当P 运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。当P 到 P位置时，|PBPCBC，|PAPB有最大值，最大值为10|102 10BC；当P 到P位置时，|PBPCBC，|PAPB有最小值，最小值为10|102 10BC.（数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合）5.已知P点在圆x2+(y-2)2=1 上移动，Q点在椭圆2219xy上移动,试求|PQ|的最大值。解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|2=x2+(y-4)2因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2)将代入得|O1Q|2=9(1-y2)+(y-4)2218272y因为Q在椭圆上移动，所以-1y1，故当12y时，1max3 3O Q此时max3 31PQ【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 34 页 -6.已知OFQ的面积为26，OFFQm（1）设64 6m，求OFQ正切值的取值范围；（2）设以 O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），26|,(1)4OFc mc当|OQ取得最小值时，求此双曲线的方程。解析：（1）设OFQ|cos()1|sin2 62OFFQmOFFQ4 6tanm64 6m4tan1（2）设所求的双曲线方程为221111221(0,0),(,),(,)xyabQ xyFQxc yab则11|2 62OFQSOFy，14 6yc又OF FQm，21116(,0)(,)()(14OFFQcxc yxccc22211126963,|12.48cxcOQxyc当且仅当4c时，|OQ最小，此时Q的坐标是(6,6)或(6,6)22222266141216aabbab，所求方程为221.412xy（借助平面向量，将三角形、圆锥曲线最值、求曲线方程、基本不等式等多个知识点有机的结合起来，综合考察学生应用相关知识点解题的能力）7.如图所示，设点1F，2F是22132xy的两个焦点，过2F的直线与椭圆相交于A、B两点，求1F AB的面积的最大值，并求出此时直线的方程。分 析：12112F F BF ABF F ASSS，设11(,)A xy，22(,)B xy，则11212121|(1)2F A BF FyyyycS设直线AB的方程为1xky代入椭圆方程得22(23)440kyky12122244,2323kyyy ykk名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 34 页 -即2122224 3(1)4 3|123211kyykkk令211tk，14 312F ABttS，12tt（1t）利用均值不等式不能区取“”利用1()2f ttt（1t）的单调性易得在1t时取最小值1F ABS在1t即0k时取最大值为4 33，此时直线AB的方程为1x（三角形问题、直线方程、最值问题、函数单调性的综合应用）（从特殊入手，求出定点（定值），再证明这个点（值）与变量无关。）8 设椭圆方程为1422yx，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足OP(21OA)OB，点N的坐标为)21,21(，当l绕点M旋转时，求（1）动点P的轨迹方程；（2）|NP的最小值与最大值.【专家解答】（1）法 1：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1.记A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设可得点A、B的坐标 (x1,y1)、(x2,y2)是方程组14122yxkxy的解.将代入并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以.48,42221221kyykkxx于是).44,4()2,2()(21222121kkkyyxxOBOAOP设点P的坐标为(x,y),则.44,422kykkx消去参数k得 4x2+y2-y=0 当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程，所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0 解法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上，所以,142121yx .142222yx得0)(4122212221yyxx，所以.0)(41)(21212121yyyyxxxx当21xx时，有.0)(4121212121xxyyyyxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 34 页 -并且.1,2,221212121xxyyxyyyyxxx 将代入并整理得 4x2+y2-y=0 当x1=x2时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，2），这时点P的坐标为（0，0）也满足，所以点P的轨迹方程为.141)21(16122yx（2）由点P的轨迹方程知.4141,1612xx即所以127)61(3441)21()21()21(|222222xxxyxNP故当41x，|NP取得最小值，最小值为1;4当16x时，|NP取得最大值，最大值为.6219.椭圆 E的中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率32e,过点 C（1,0）的直线l与椭圆 E相交于 A、B 两点，且满足点 C分向量BA的比为 2.（1）用直线l的斜率 k(k 0)表示 OAB的面积；（2）当 OAB的面积最大时，求椭圆E 的方程。解：（1）设椭圆E的方程为12222byax(ab0)，由e=32aca2=3b2故椭圆方程x2+3y2=3b2设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（1，0）分向量AB的比为 2，0321322121yyxx即21212)1(21yyxx由)1(33222xkybyx消去y整理并化简得 (3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0 由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）,B(x2,y2)两点得：13331360222212221kbkxxkkxxABC的内分点）是恒成立（点而SOAB|1|23|)1(|23|23|2|21|212222221xkxkyyyyy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 34 页 -y O 1A2B2A1B.M 1F0F2Fx.由得:x2+1=1322k，代入得：SOAB =)0(13|32kkk（2）因SOAB=23323|1|3313|32kkkk,当且仅当,33kSOAB取得最大值此时x1+x2=1,又3221xx=1 x1=1,x2=2 将x1,x2及k2=31代入得 3b2=5 椭圆方程x2+3y2=5 10.我 们 把 由 半 椭 圆12222byax(0)x与 半 椭 圆12222cxby(0)x合 成 的 曲 线 称 作“果 圆”，其 中222cba，0a，0cb如图，设点0F，1F，2F是相应椭圆的焦点，1A，2A和1B，2B是“果圆”与x，y轴的交点，M是线段21AA的中点（1）若012F F F是边长为 1 的等边三角形，（2）求该“果圆”的方程；（2）设P是“果圆”的半椭圆12222cxby(0)x上任意一点 求证：当PM取得最小值时，P在点12BB，或1A处；（3）若P是“果圆”上任意一点，求PM取得最小值时点P的横坐标解：（1）2222012(0)00FcFbcFbc，222220212121F FbccbF Fbc，于是22223744cabc，所求“果圆”方程为2241(0)7xyx，2241(0)3yxx（2）设()P x y，则2222|ycaxPM22222()1()04bacxac xbcxc，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 34 页 -0122cb，2|PM的最小值只能在0 x或cx处取到即当PM取得最小值时，P在点12BB，或1A处（3）|21MAMA，且1B和2B同 时 位 于“果 圆”的 半 椭 圆22221(0)xyxab和 半 椭 圆22221(0)yxxbc上，所以，由（2）知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆22221(0)xyxab上的情形即可2222|ycaxPM22222222224)(4)(2)(ccaacabccaaxac当22()2aacxac，即2ac时，2|PM的最小值在222)(ccaax时取到，此时P的横坐标是222)(ccaa当accaax222)(，即ca2时，由于2|PM在ax时是递减的，2|PM的最小值在ax时取到，此时P的横坐标是a综上所述，若2ac，当|PM取得最小值时，点P的横坐标是222)(ccaa；若ca2，当|PM取得最小值时，点P的横坐标是a或c11.P、Q、M、N四点都在椭圆xy2221上，F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点。已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且PFMF20。求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值。分析：显然，我们只要把面积表示为一个变量的函数，然后求函数的最值即可。解：如图，由条件知MN和 PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），且 PQ MN，直线 PQ、MN中至少有一条存在斜率，不妨设 PQ的斜率为 k，又 PQ过点 F（0，1），故 PQ方程为ykx1。代入椭圆方程得221022kxkx设 P、Q两点的坐标分别为xyxy1122，则：xkkkxkkk122222222222，从而PQxxyykkPQkk21221222222228 122 2 12，当k0时，MN的斜率为1k，同上可推得名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 34 页 -MNkk22 112122故四边形面积SPQMNkkkkkkkk124 1112214 21522222222222令ukk221，得Suuu4 2522 1152因为ukk2212，此时kuS12169，且 S 是以 u 为自变量的增函数，所以1692S。当k0时，MN为椭圆长轴，MNPQ222，SPQMN1222综合知，四边形PMQN 面积的最大值为2，最小值为169。12.已知抛物线ypxp220，过 M（a，0）且斜率为1 的直线l与抛物线交于不同的两点A、B，ABp2。（1）求 a 的取值范围；（2）若线段 AB的垂直平分线交x 轴于点 N，求 NAB面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a 的范围，即“求范围，找不等式”。或者将 a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围。对于（2）首先要把 NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值。解：（1）直线l的方程为：yxa，将yxa代入抛物线方程ypx22，设得xap xa2220设直线l与抛物线两交点的坐标分别为A xyB xy1122，则44022212122apaxxapx xa，并且yxayxa1122，ABxxyyxxx xp pa122122122122482又02820ABpp pa，所以0822p pap解得：pap24（2）令 AB中点为 Q，SABQNpABpppNAB122222222222|即 NAB的面积的最大值为22p。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 34 页 -圆锥曲线中的定值问题【热点透析】圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征解答此类问题的基本策略有以下两种：1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关【题型分析】1.过抛物线m：2yax（a0）的焦点F作直线l交抛物线于,P Q两点，若线段PF与FQ的长分别为,p q，则11pq的值必等于（）A2a B12a C4a D4a解法 1：（特殊值法）令直线l与x轴垂直，则有l：14ya12pqa，所以有114pqa解法 2：（参数法）如图 1，设11(,)P x y，22(,)Q xy且PM，QN分别垂直于准线于,M N114pPMya，214qQNya抛物线2yax（a0）的焦点1(0,)4Fa，准线14ya 来源:Zxxk.Com l：14ykxa又由lm，消去x得222168(12)10a yaky212122121,216kyyy yaa，221212221111,()4164kkpqpqy yyyaaaa114pqa【难点突破】2.若AB是过椭圆中心的一条弦,M是椭圆上任意一点,且AM,BM与 坐标轴不平行,分别表示直线AM,BM的斜率,则=()A.B.C.D.【答案】B PQMNFOyx图 1 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 34 页 -【解析】本题可用特殊值法不妨设弦AB为椭圆的短轴M为椭圆的右顶点，则A(0，b)，B(0，b)，M(a，0)所以故选 B3.已知 F1、F2是两个定点，点P 是以 F1和 F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1PF2，e1和 e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有A.+=4 B.+=2 C.e12+e22=4 D.e12+e22=2【答案】B 设椭圆长轴长为2a1,双曲线实轴长为2a2,焦距均为 2c,|PF2|=a1+a2,|PF1|=a1-a2.PF1与 PF2垂直,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,2a12+2a22=4c2.+=2.4.已知定圆 O1、O2的半径分别为r1、r2,圆心距|O1O2|=2,动圆 C与圆 O1、O2都相切,圆心 C 的轨迹为如图所示的两条双曲线,两条双曲线的离心率分别为e1、e2,则的值为A.r1+r2 B.r1和 r2中的较大者C.r1和 r2中的较小者 D.|r1-r2|【答案】B 若动圆与 O1，O2外切或内切，则2a=|r1-r2|,2c=2,当 r1r2时，=;当 r1r2,则=.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 34 页 -若动圆与 O1和 O2内切与外切，则2a=r1+r2,2c=2,=.r1r2时，=+=+=r1;r2r1时，=+=+=r2,故选 B.5.如图2 所示，F 为双曲线C:=1 的左焦点，双曲线C 上的点Pi与 P7-i(i=1,2,3)关于y 轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|-|P4F|-|P5F|-|P6F|的值是图 2 A.9 B.16 C.18 D.27【答案】C 取双曲线右焦点记为F2,P3与 P4关于 y 轴对称,|P4F|=|P3F2|.|P3F|-|P4F|=|P3F|-|P3F2|=2a=6.同理,|P2F|-|P5F|=|P1F|-|P6F|=6.|P1F|+|P2F|+|P3F|-|P4F|-|P5F|-|P6F|=18.6双曲线-y2=1 的虚轴端点与一个焦点连线的中点恰在双曲线的一条准线上,PQ 是双曲线的一条垂直于实轴的弦,O 为坐标原点,则2等于A.0 B.-1 C.1 D.与 PQ的位置及 a 的值有关【答案】答案：C 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 34 页 -解析:由题意知 2=c 得 c2=2a2,又 c2=a2+b2=a2+1,a2=1.双曲线为 x2-y2=1.设 P(x0,y0),则 Q(x0,-y0).故=(x0,y0),=(x0,-y0),2=x02-y02=1.7过点 M(p,0)任作一条直线交抛物线y2=2px(p 0)于 P、Q两点,则+的值为A.B.C.D.【答案】答案:D【解析】不妨取PQ x 轴,则 P(p,p),Q(p,-p),|MP|=p,|MQ|=p.来源:Zxxk.Com+=.来源:学科网 8椭圆 C1：+=1(a b0)的左准线为l，左右焦点分别为F1、F2，抛物线 C2的准线为 l，一个焦点为F2，C1与 C2的一个交点为P，则-等于()A.-1 B.1 C.-D.【答案】答案：B【解析】因为C为抛线上的点，所以P 到其焦点 F2的距离|PF2|与其到准线 l 的距离 d 相等，因为 P也是椭圆上的点，P到其准线 l 的距离也是 d，由椭圆第二定义，得再由椭圆第一定义，得|PF1|+|PF2|=2a，由两式解得|PF1=|，故=1.9双曲线 C:-=1(ab0)中，F1、F2是它的焦点，设抛物线l 的焦点与双曲线C 的右焦点 F2重合，l 的准线与 C的左准线重合，P是 C与 l 的一个交点，那么=_.【答案】【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,由抛物线定义有|PF2|=|PN|(N为点 P在左准线上的射影),又=e,=e=,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 34 页 -又|PF1|-|PF2|=2a，即 m-n=2a.由得 m=.原式=-=e-2c 2=1.答案：1 10设抛物线的顶点为O，经过抛物线的焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B、C，经过抛物线上任一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q，若|PQ|2=|BC|2|OQ|，则 的值为A.B.1 C.2 D.3【答案】答案：B 设抛物线方程为y2=2px(p 0)，则 BC为抛物线的通径，故|BC|=2p；设 P(,y0)，则 Q(,0)，于是|PQ|2=y02，|OQ|=，又由|PQ|2=|BC|2|OQ|得 y02=3 2p3，解得=1.11.知抛物线 y2=2px(p 0)的焦点为 F，过 F的直线 l 与抛物线交于A，B两点，A，B在抛物线准线上的射影分别是A1，B1，点 M是 A1B1的中点，若|AF|=m，|BF|=n，则|MF|=()A.m+n B.C.D.mn【答案】答案：C【解析】本题考查抛物线的定义及性质和图像等知识.如图,连接 AlF、BlF,由抛物线的定义,有 AAl=AF,BBl=BF,则有 AA1F=AFA1,BB1F=BFB1,容易证明 AlFB1=90.所以 MF为直角三角形 A1FB1斜边上的中线.故在直角梯形 AA1B1B 中,构造直角三角形可解得|A1B1|=12经过抛物线y2=2px(p 0)的焦点作一条直线与该抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则 y12y2的值为()A.2p2 Bp2 C-2P2 D-p2【答案】D 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 34 页 -【解析】本题考查直线与抛物线的交点个数问题，注意将交点坐标转化为方程的根来讨论.已知抛物线y2=2px(p 0)的焦点坐标为(，0)，设过焦点的直线方程为：y=k(x-),则有，代入抛物线方程有：y2=2P()即y12 y2=-p2.13.椭圆=1(a b0)上两点 A、B与中心 O的连线互相垂直，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D 解析:假设 A、B为椭圆的长轴和短轴的顶点，则=.排除选项 A、B、C，选 D.14.【3 分】过点 M(-2,0)的直线 l 与椭圆 x2+2y2=2 交于 P1、P2两点,线段 P1P2的中点为 P,设直线 l 的斜率为 k1(k10),直线OP的斜率为 k2,则 k12k2的值为（）A.2 B.-2 C.D.-【答案】【解析】设P1(x1,y1)、P2(x2,y2),中点 P(x0,y0),则 k1=,k2=.将 P1、P2两点坐标代入椭圆方程x2+2y2=2,相减得=-.k12 k2=2 =-.答案：D 15已知点P是双曲线(a0,b0)右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，H为PF1F2的内心，若成立，则 的值为 _.【答案】【解析】设 R 为PF1F2内切圆的半径,且名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 34 页 -,故|PF1|=|PF2|+|F1F2|,即|PF1|PF2|=|F1F2|,.16已知F1、F2是双曲线-y2=1 的两个焦点,P在双曲线上,当 F1PF2的面积为1 时,2的 值 为_.【答案】答案：0 由已知 F1(,0),F2(,0),P(),PF1的斜率 k1=,PF2的斜率k2=,k1k2=-1,PF1PF2,即=0.17过抛物线y2=2px(p 0)的焦点的直线x-my+m=0与抛物线交于A、B 两点,且 OAB(O为坐 标原点)的面积为,则m6+m4=_.【答案】【解析】直线x-my+m=0过焦点,m=.直线方程为2x+py-p=0.解方程组消去 x,得 y2+p2y-p2=0.设 A、B的纵坐标为 y1、y2,y1、y2为方程的两根,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 34 页 -y1-y2=.S=3 y1-y2=.p6+4p4=163 8.又 p=-2m,26m6+26m4=27.m6+m4=2.答案：2 18.过抛物线22ypx（p0）上一定点000(,)(P xyy0），作两条直线分别交抛物线于11(,)A x y，22(,)B xy，求证：PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，直线AB的斜率为非零常数【解析】设直线PA的斜率为PAK，直线PB的斜率为PBK由2112ypx2002ypx相减得，101010()()2()yyyyp xx故1010102PAyypKxxyy10()xx同理可得，2020202PByypKxxyy20()xx由,PA PB倾斜角互补知：PAPBKK102022ppyyyy1202yyy由2222ypx2112ypx相减得，212121()()2()yyyyp xx21211200222AByypppKxxyyyy直线AB的斜率为非零常数19已知,椭圆 C经过点 A(1,),两个焦点为(1,0),(1,0).(1)求椭圆 C的方程;(2)E,F是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE的斜率与 AF的斜率互为相反数,证明直线 EF的斜率为定值,并求出这个定值.【答案】解:(1)由题意,c 1,可设椭圆方程为,因为 A在椭圆上,所以,PBAOyx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 34 页 -解得 b23,(舍去).所以椭圆方 程为.(2)设直线 AE方程:,代入得(3+4k2)x2+4k(3 2k)x+4()2120.设 E(xE,yE),F(xF,yF),因为点 A(1,)在椭圆上,所以,.又直线 AF的斜率与 AE的斜率互为相反数,在上式中以 k 代 k,可得,.来源:学科网 所以直线 EF的斜率,即直线 EF的斜率为定值,其值为.20.已知定点0,0()M x y在抛物线m：22ypx（p0）上，动点,A Bm且0MA MB求证：弦AB必过一定点【解析】设AB所在直线方程为：xmyn与抛物线方程22ypx联立，消去x得2220ypmypn设11(,)A xy，22(,)B xy则122yypm,122y ypn,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 34 页 -由已知0MA MB得，1MAMBKK即102010201yyyyxxxx,221010101011()()()22xxyyyyyypp222020202011()()()22xxyyyyyypp式可化为1020221ppyyyy，即221201204()py yyyyy将代入得，002npmyx直线AB方程化为：00002()2xmypxmym yyxp直线AB恒过点00(2,)xpy21B是经过椭圆22221.xyab(0)ab右焦点的任一弦，若过椭圆中心的弦/MNAB，求证：2|MN：|AB是定值解析：对于本题，MN,AB分别为中心弦和焦点弦，可将其倾斜角退到0，此时有22|4MNa，|2ABa,2|:|2MNABa（定值）下面再证明一般性设平行弦MN、AB的倾斜角为，则斜率tank，MN的方程为(tan)yx代入椭圆方程，又212|(1)|MNkxx即得2222224|sina bMNbc1，另一方面，直线AB方程为tan()yxc同理可得222222|sinabABbc2由12可知2|:|2MNABa（定值）关于式也可直接由焦点弦长公式得到22 设上的两点，已知向量，,若m2n=0 且椭圆的离心率短轴长为 2，为坐标原点.()求椭圆的方程；（）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（）试问：AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.【答案】解：（）由题意知名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 34 页 -椭圆的方程为（）由题意，设AB的方程为由已知得：()（1）当直线 AB斜率不存在时，即,由 m 2 n=0 得又在椭圆上，所以，所以 S=所以三角形 AOB的面积为定值（2）.当直线 AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b,由名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 34 页 -所以三角形的面积为定值.23.过抛物线y2=2px(p0)的对称轴上的定点M(m,0)(m0),作直线AB与抛物线相交于A,B两点.(1)试证明A,B两点的纵坐标之积为定值;(2)若点N是定直线l:x=m上的任意一点,分别记直线AN,MN,BN的斜率为k1,k2,k3,试探求k1,k2,k3之间的关系,并给出证明.【答案】证明：(1)设A(x1,y1),B(x2,y2)有y1y2=2pm,下证之:设直线AB的方程为:x=ty+m与y2=2px联立得,消去x得y22pty2pm=0,由韦达定理得y1y2=2pm.(2)三条直线AN,MN,BN的斜率成等差数列,下证之:设点N(m,n),则直线AN的斜率为;直线BN的斜率为,.又直线MN的斜率为kAN+kBN=2kMN,即直线AN,MN,BN的斜率成等差数列.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 34 页 -24.如图,在直角坐标系xOy中,AiBiAi+1(i=1,2,n,)为正三角形,|AiAi+1|=2i1(i=1,2,3,n,).(1)求证:点B1,B2,Bn,在同一条抛物线上,并求该抛物线C的方程;(2)设直线l过坐标原点O,点B1关于l的对称点B在y轴上,求直线l的方程;(3)直线m过(1)中抛物线C的焦点F并交C于M、N,若(0),抛物线C的准线n与x轴交于E,求证:与的夹角为定值.【答案】解：(1)设Bn(x,y),则消去n得y2=3x.所以点B1,B2,Bn,在同一条抛物线y2=3x上.(2)解 1:由(1)得,所以,因为点B与点B1关于直线l对称,则,所以所求直线方程为(3)设M,N在直线n上的射影为M,N,则有:,.由于,所以.因为,所以所以与的夹角为 90(定 值)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 34 页 -25.如图，已知椭圆1(ab0)过点(1，)，离心率为，左、右焦点分别为F1、F2.点P为直线l：xy2 上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点 来源:学科网 ZXXK(1)求椭圆的标准方程(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2.()证明：2.()问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOAkOBkOCkOD0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】(1)解：因为椭圆过点(1，)，e，所以1，.又a2b2c2，所以a，b1，c1.来源:学科网 ZXXK 故所求椭圆方程为y21.(2)()证明：方法一：由于F1(1,0)、F2(1,0)，PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，且点P不在x轴上，所以k1k2，k10，k20.又直线PF1，PF2的方程分别为yk1(x1)，yk2(x1)，联立方程解得所以P(，)由于点P在直线xy2 上，所以2.因此 2k1k23k1k20，即2，结论成立名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 34 页 -方法二：设P(x0，y0)，则k1，k2.因为点P不在x轴上，所以y00.又x0y02，所以2.因此结论成立()解：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)联立直线PF1与椭圆的方程得化简得(2k1)x24kx 2k20，因此xAxB，xAxB，由于OA，OB的斜率存在，所以xA0，xB0，因此k0,1.因此kOAkOB2k1k1k1(2)来源:学科网 ZXXK.相似地，可以得到xC0，xD0，k0,1，kOCkOD，故kOAkOBkOCkOD 2()2.若kOAkOBkOCkOD0，须有k1k20 或k1k21.当k1k20 时，结合()的结论，可得k2 2，所以解得点P的坐标为(0,2)；当k1k21 时，结合()的结论，解得k23 或k2 1(此时k1 1，不满足k1k2，舍去)，此时直线CD的方程为y3(x1)，联立方程xy2 得x，y.因此P(，)综上所述，满足条件的点P的坐标分别为(0,2)，(，)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 34 页 -26.在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆1 的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m0，y10，y20.来源:学科网 (1)设动点P满足PF2PB24，求点P的轨迹；(2)设x12，x2，求点T的坐标；(3)设t9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)【答案】解：由题设得A(3,0)，B(3,0)，F(2,0)(1)设点P(x，y)，则PF2(x2)2y2，PB2(x3)2y2.由PF2PB24，得(x2)2y2(x3)2y24，化简得x.故所求点P的轨迹为直线x.(2)由x12，1 及y10，得y1，则点M(2，)，从而直线AM的方程为yx1；由x2，1 及y20，得y2，则点N(，)，从而直线BN的方程为y.由所以点T的坐标为(7，)(3)由题设知，直线AT的方程为y(x3)，直线BT的方程为y(x3)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 24 页，共 34 页 -点M(x1，y1)满足得.因为x1 3，则，解得x1，从而得y1.点N(x2，y2)满足.若x1x2，则由及m0，得m2，此时直线MN的方程为x1，过点D(1,0)若x1x2，则m2，直线MD的斜率kMD，直线ND的斜率kND，得kMDkND，所以直线MN过D点因此，直线MN必过x轴上的点(1,0)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 25 页，共 34 页 -27.如图，已知椭圆1(ab0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k12k21；(3)是否存在常数，使得|AB|CD|AB|2|CD|恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：，2a2c4(1)，所以a2，c2.又a2b2c2，因此b2.故椭圆的标准方程为1.由题意设等轴双曲线的标准方程为1(m0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m2，因此双曲线的标准方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则k1，k2.因为点P在双曲线x2y24 上，所以xy4.因此k12k221，即k12k21.来源:Zxxk.Com(3)由于PF1的方程为yk1(x2)，将其代入椭圆方程得(2k1)x28kx8k80，来源:Zxxk.Com 显然 2k10，显然 0.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 26 页，共 34 页 -由韦达定理得x1x2，x1x2.所以|AB|.同理可得|CD|.则，又k12k21，所以.故|AB|CD|AB|2|CD|.因此存在，使|AB|CD|AB|2|CD|恒成立28、已知双曲线C:(a 0,b 0)的离心率为,右准线方程为.()求 双曲线 C的方程;()设直线 l 是圆 O:x2+y2=2上动点 P(x0,y0)(x0y00)处的切线,l与双曲线 C交于不同的两点A,B,证明 AOB的大小为定值.【答案】分析：由以及易求第()问结论,第()问圆 x2+y2=2上点 P(x0,y0)处切线方程为x0 x+y0y=2,代入椭圆