2022年中考数学第一编教材知识梳理篇第五章图形的相似与解直角三角形第二节锐角三角函数及解直角三角形的应 .pdf

1 第二节锐角三角函数及解直角三角形的应用,河北 8 年中考命题规律)年份题号考查点考查内容分值总分20159 认识方位角考查方式依题意画出方位角3 3 201422(3)解直角三角形的应用以三个垃圾存放点为背景，(3)通过解直角三角形求垃圾运送费用4 4 20138 解直角三角形的应用以航行、方向角为背景，利用解直角三角形求距离3 3 20098 解直角三角形的应用以手扶电梯为背景，利用解直角三角形求高度2 2 2010、2011、2012、2016 四年未考查命题规律纵观河北 8 年中考，锐角三角函数及解直角三角形，在中考中只出一题，题型多为选择和解答题，分值 29分，难度中等，主要考查解直角三角形的应用的选择题和解答题形式各考查了2次，2015 年考查了对方位角的认识，其中20102012 年都未考查，2016 年也没独立考查命题预测预计 2017 年河北中考，仍然会考此知识点，命选择题可能性较大，也有可能出解答题，应强化训练不留死角,河北 8 年中考真题及模拟)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 11 页 -2 解直角三角形的应用(3 次)1(2015 河北 9题 3 分)已知：岛P 位于岛 Q的正西方，由岛P，Q 分别测得船R 位于南偏东30和南偏西45方向上，符合条件的示意图是(D),A),B),C),D)2(2009 河北 8 题 2 分)如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，ABC 150，BC的长是 8 m，则乘电梯从点B到点 C上升的高度h 是(B)A.833 m B4 mC43 m D8 m(第 2 题图)(第 3 题图)3(2013 河北 8 题 3 分)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70方向的 M处，它以每小时40 海里速度向正北方向航行，2 小时后到达位于灯塔P的北偏东 40的 N处，则 N处与灯塔 P的距离为(D)A40 海里B60 海里C70 海里D80 海 里4(2016石家庄四十三中一模)已知sin6 a，sin36b，则sin26(A)Aa2B2a Cb2Db 5(2016 定州模拟)如图，在RtABC 中，C90，AB13，BC12.则下列三角函数表示正确的是(A)AsinA1213BcosA1213CtanA512DtanB125(第 5 题图)(第 6 题图)6(2016 唐山二模)如图，ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为(B)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 11 页 -3 A.3510B.255C.55D.12(第 7 题图)(第 8 题图)7(2016 张家口一模)河堤横断面如图所示，堤高BC 5 米，迎水坡AB的坡比是13(坡比是坡面的铅直高度 BC与水平宽度AC之比)，则 AC的长是(A)A53 m B10 m C15 m D103 m8(2016 保定十三中二模)如图，港口A在观测站O的正东方向，OA 4.某船从港口A 出发，沿北偏东15方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60的方向，则该船航行的距离(即 AB的长)为_22_9(2016 张家口九中二模)芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型(如甲图)，图乙是从图甲引伸出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30，拉索CD与水平桥面的夹角是60，两拉索顶端的距离BC为 2 m，两拉索底端距离AD为 20 m，请求出立柱BH的长(结果精确到 0.1 m，31.732)解：设 DH x m，CDH 60，H90，CH DH sin603x，BH BC CH 23x，A30，AH 3BH 233x，AH AD DH，233x20 x，解得 x103，BH 23(10 3)103116.3(m)答：立柱BH的长约为 16.3 m.10(2016 邯郸二十五中模拟)保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30 cm.图(1)是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C 和笔端A 的位置关系抽象成图(2)的ABC.已知BC 30 cm，AC 22 cm，ACB 53，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由.(参考数据：sin53 0.8，cos53 0.6，tan531.3)解：他的这种坐姿不符合保护视力的要求，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 11 页 -4 理由：如图(2)所示：过点B作 BD AC于点 D，BC 30 cm，ACB 53，sin53BDBCBD300.8，解得：BD 24，cos53DCBC0.6，解得 DC 18,AD 22184(cm)，AB AD2BD242242592900，他的这种坐姿不符合保护视力的要求,中考考点清单)锐角三角函数的概念在RtABC中，C90，AB c，BC a，AC b，则A的正弦sinAA的对边斜边ac余弦cosAA的邻边斜边bc正切tanAA的对边A的邻边 ab特殊角的三角函数值三角函数304560sin12_22_ 32cos3222_12_ tan_33_ 1 3 解直角三角形解直角三角形常用的关系：在RtABC中，C90，则三边关系_a2b2c2_ 两锐角关系 AB 90边角关系sinAcosBac名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 11 页 -5 cosAsinBbctanAab解直角三角形的应用仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫 _仰角 _，视线在水平线下方的角叫_俯角 _如图坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h 和?_水平宽度 _l 的比叫坡度(坡比)，用字母 i 表示；坡面与水平线的夹角 叫坡角 i tan?_hl_.如图方位角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做?_方位角 _，如图，A点位于 O点的北偏东30方向，B点位于 O点的南偏东 60方向，C点位于 O点的北偏西45方向(或西北方向)【规律总结】解直角三角形的方法：(1)解直角三角形，当所求元素不在直角三角形中时，应作辅助线构造直角三角形，或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素；(2)解实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为直角三角形中的边角计算问题,中考重难点突破)锐角三角函数及特殊角三角函数值【例 1】(2016 攀枝花中考)在ABC中，如果 A，B满足|tanA1|cosB1220，那么 C _.【解析】先根据非负性，得tanA1，cosB12，求出A及B 的度数，进而可得出结论在 ABC中，tanA1，cosB12，A45，B60，C180 AB 75.【学生解答】75【点拨】熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键1(2016 唐山九中一模)在ABC中，若sinA12cosB 1220，则C 的度数是(D)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 11 页 -6 A30B 45C60D902(2016 温州中考)如图，在 ABC 中，C90，AB 5，BC 3，则cosA的值是(D)A.34B.43C.35D.453(2016 无锡中考)sin30的值为(A)A.12B.32C.22D.334(2016 孝感中考)式子 2cos30tan45（1tan60）2的值是(B)A23 2 B0 C23 D2 解直角三角形的实际应用【例 2】(2016 钦州中考)如图，在电线杆CD上的 C 处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角CED 60，在离电线杆6 m的 B 处安置高为1.5 m的测角仪AB，在 A处测得电线杆上C处的仰角为30，求拉线 CE的长(结果保留小数点后一位，参考数据：21.41，31.73)【解析】由题意可先过点A 作 AH CD 于点 H，在RtACH中，可求出CH，进而 CD CH HD CH AB，再在RtCED中，求出CE的长【学生解答】解：如图，过点A作 AH CD，垂足为H，由题意，可知四边形ABDH 为矩形，CAH 30，AB DH 1.5，BD AH 6.在RtACH中，tanCAH CHAH，CH AH tanCAH 6tan3063323(m)DH 1.5，CD 231.5，在RtCDE中，CED 60，sinCED CDCE，CE CDsin60435.7(m)，拉线 CE的长约为 5.7 m.【方法总结】解此类题的一般方法：(1)作出辅助线，构造直角三角形；(2)利用锐角三角函数将各边之间的关系表示出来；(3)根据已知条件求值5(2016 石家庄十一中二模)如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，宽为 30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度 i 15，则 AC的长度是 _210_cm.(第 5 题图)(第 6 题图)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 11 页 -7 6(2016 河北石家庄二十八中一模)如图，一渔船由西往东航行，在A 点测得海岛C 位于北偏东60的方向，前进20 n mile到达 B 点，此时，测得海岛C 位于北偏东30的方向，则海岛C 到航线 AB的距离 CD等于_103_n mile.7(2016 保定十七中二模)如图，将45的AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O 与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2 cm.若按相同的方式将37的AOC放置在该刻度尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数约为_2.7_cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin370.60，cos37 0.80，tan37 0.75)8(2016 邢台中学二模)如图，在一笔直的海岸线l 上有 A，B 两个观测站，A在 B 的正东方向，AB 2km.有一艘小船在点P处，从 A处测得小船的北偏西60的方向，从B处测得小船的北偏东45的方向(1)求点 P到海岸线l 的距离；(2)小船从点P 处沿射线 AP的方向航行一段时间后，到达点C处此时，从B处测得小船在北偏西15的方向，求点 C与点 B这间的距离(上述 2小题的结果都保留根号)解：(1)如图，过点P 作 PD AB 于点 D.设 PD x km.在RtPBD 中，BDP 90，PBD 904545，BD PD x.在RtPAD中，ADP 90，PAD 906030，AD 3PD 3x.BD AD AB，x3x2，x31.点 P到海岸线 l 的距离为(31)km；(2)如图，过点B 作 BF AC 于点F.根据题意，得 ABC 105，在RtABF 中，AFB 90，BAF 30，BF12AB 1.在ABC 中，C180BAC ABC 45.在Rt BCF 中，BFC 90，C45，BC 2BF2，点 C与点 B之间的距离为2km.,中考备考方略)1(2016 山西中考)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点 A，B，C都在格点上，则 ABC 的正切值是(D)A2 B.255C.55D.12(第 1 题图)(第 2 题图)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 11 页 -8 2(2016 济宁中考)如图，斜面AC的坡度(CD 与 AD的比)为 12，AC 35 m，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与 A点有一条彩带相连若AB 10 m，则旗杆BC的高度为(A)A5 m B6 mC8 m D(35)m3(2016 乐山中考)如图，在RtABC中，BAC 90，AD BC于点 D，则下列结论不正确的是(C)AsinBADABBsinBACBCCsinBADACDsinBCDAC4(2016 永州中考)下列式子错误的是(D)Acos40sin50Btan15tan751 Csin225cos225 1Dsin602sin305(2016 福州中考)如图，以圆O为圆心，半径为1 的弧交坐标轴于A，B 两点，P 是AB上一点(不与 A，B 重合)，连接 OP，设 POB ，则点 P的坐标是(C)A(sin，sin)B(cos，cos)C(cos，sin)D(sin，cos)6(2016 益阳中考)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明将PB 拉到 PB 的位置，测得 PB C(BC 为水平线)，测角仪BD 的高度为1 m，则旗杆PA的高度为(A)A.11sinm B.11sinmC.11cosm D.11cosm(第 6 题图)(第 7 题图)7(2016 金华中考)一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与 CA的夹角为.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA 4 m，楼梯宽度1 m，则地毯的面积至少需要(D)A.4sinm2B.4cosm2C.44tanm2D(4 4tan)m28(2016 重庆中考)如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15 m的旗杆 ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 11 页 -9 端 E 的俯角 是 45，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC是 20 m，梯坎坡长BC是 12 m，梯坎坡度i 13，则大楼AB的高度约为(精确到 0.1 m，参考数据：21.41，31.73，62.45)(D)A30.6 m B32.1 m C37.9 m D39.4 m(第 8 题图)(第 9 题图)9(2016 巴中中考)一个公共房门前的台阶高出地面1.2 m，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是(B)A斜坡 AB的坡度是10B斜坡 AB的坡度是tan10CAC 1.2tan10mDAB 1.2cos10m10(2016 绍兴中考)如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P 的仰角是45，向前走 6 m到达 B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60和 30.(1)求BPQ的度数；(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m，备用数据：31.7，21.4)解：延长PQ 交直线AB 于点E.(1)BPQ 90 60 30；(2)设 PE x m在直角 APE 中，A45，则AE PE x m；PBE 60，BPE 30；在直角 BPE 中，BE 33PE 33x m，AB AE BE6 m，则 x33x6，解得x933.则 BE(333)m，在直角 BEQ 中，QE 33BE 33(333)(3 3)m.PQ PE，QE 933(3 3)6239(m)答：电线杆PQ的高度约为9 m.11(2016 长沙中考)如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30，看这栋楼底部 C处的俯角为60，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为(A)A1603 m B 1203 mC300 m D1602 m(第 11 题图)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 11 页 -10(第 12 题图)12(2016 廊坊二模)如图，轮船沿正南方向以30 海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P 在西偏南68方向上，航行2 小时后到达N 处，观测灯塔P 在西偏南46方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68 0.927 2，sin46 0.719 3，sin22 0.374 6，sin44 0.694 7)(B)A22.48 海里B41.68 海里C43.16 海里D55.63 海里13(2016 十堰中考)在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF MN，小聪在河岸MN上点 A处用测角仪测得河对岸小树C位地东北方向，在后沿河岸走了30 m，到达 B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30方向，此时，其他同学测得CD 10 m请根据这些数据求出河的宽度为_(30 103)_m(结果保留根号)14(2016 潍坊中考)如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得 BC6 m，CD 4 m，BCD 150，在 D 处测得电线杆顶端A 的仰角为30，试求电线杆的高度(结果保留根号)解：延长AD交 BC的延长线于E，作 DF BE于 F，BCD 150，DCF 30，又 CD 4，DF2，CFCD2DF223，由题意得 E 30，EF DFtanE23，BE BC CFEF643，AB BE tanE(6 43)33(234)m.答：电线杆的高度为(234)m.15(2016 广安中考)如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶已知台阶总高1.5 m，为了安全现要作一个不锈钢扶手AB及两根与FG垂直且长为1 m的不锈钢架杆AD和 BC(杆子的底端分别为D、C)，且DAB 66.5.(参考数据：cos66.5 0.40，sin66.5 0.92)(1)求点 D与点 C的高度 DH；(2)求所有不锈钢材料的总长度(即 AD AB BC的长，结果精确到0.1 m)解：(1)DH1.5 45 1.2 m；(2)过 B作 BM AD于 M，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 11 页 -11 在矩形 BCHM 中，MH BC 1 m，AM AD DH MH 1 m1.2 m1 m1.2(m)，在RtAMB中，AB ADcos66.5 3.0 m，所以有不锈钢材料的总长度为1 m3.0 m1 m5.0(m)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 11 页 -