2022年线性代数复习总结 .pdf

线性代数复习总结大全第一章行列式二三阶行列式N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和nnnnjjjjjjjjjnijaaaa.)1(21212121).(（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：行列式行列互换，其值不变。（转置行列式TDD）行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。常数 k 乘以行列式的某一行（列），等于 k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。行列式具有分行（列）可加性将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ijM、代数余子式ijjiijMA)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0D时，有唯一解：)21(njDDxjj、齐次线性方程组：当系数行列式01D时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D等于零特殊行列式：转置行列式：332313322212312111333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaa对称行列式:jiijaa反对称行列式:jiijaa奇数阶的反对称行列式值为零三线性行列式:3331222113121100aaaaaaa方法：用221ak把21a化为零，。化为三角形行列式上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章矩阵矩阵的概念：nmA*（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵)矩阵的运算：加法（同型矩阵）-交换、结合律数乘nmijkakA*)(-分配、结合律乘法nmlkjiknlkjlmikbabaBA*1*)()(*)(*注意什么时候有意义一般 AB=BA，不满足消去律；由AB=0，不能得 A=0或 B=0 转置AATT)(TTTBABA)(TTkAkA)(TTTABAB)(反序定理)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 20 页 -方幂：2121kkkkAAA2121)(kkkkAA几 种 特 殊 的 矩 阵：对 角 矩 阵：若AB 都 是N阶 对 角 阵，k是 数，则kA、A+B、AB都是 n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若）对称矩阵反对称矩阵阶 梯 型 矩 阵：每 一 非 零 行 左 数 第 一 个 非 零 元 素 所 在 列 的 下 方都是 0 分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设 A是 N阶方阵，若存在 N阶矩阵 B的 AB=BA=I则称 A是可逆的，BA1(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)初等变换1、交换两行（列）2.、非零 k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵倍乘阵倍加阵）等价标准形矩阵OOOIDrr矩阵的秩 r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若 A可逆，则满秩若 A是非奇异矩阵，则r（AB）=r（B）初等变换不改变矩阵的秩求法：1 定义 2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵nijnijakka)()(，行列式nijnnijakka逆矩阵注：AB=BA=I则 A与 B一定是方阵BA=AB=I则 A与 B一定互逆；不是所有的方阵都存在逆矩阵；若A可逆，则其逆矩阵是唯一的。矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的，且AA11)(2、可逆矩阵A的数乘矩阵kA 也是可逆的，且111)(AkkA 3、可逆矩阵A的转置TA也是可逆的，且TTAA)()(11 4、两个可逆矩阵A与 B的乘积 AB也是可逆的，且111)(ABAB但是两个可逆矩阵A与 B的和 A+B不一定可逆，即使可逆，但11)(BABAA为 N阶方阵，若|A|=0，则称 A为 奇异矩阵，否则为 非奇异矩阵。5、若 A可逆，则11AA伴随矩阵：A为 N阶方阵，伴随矩阵：22211211*AAAAA（代数余子式）特殊矩阵的逆矩阵：（对 1 和 2，前提是每个矩阵都可逆）1、分块矩阵COBAD则11111COBCAAD名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 20 页 -2、准对角矩阵4321AAAAA，则141312111AAAAA 3、IAAAAA*4、1*AAA（A可逆）5、1*nAA 6、AAAA1*11*（A可逆）7、*TTAA 8、*ABAB判断矩阵是否可逆：充要条件是0A，此时*11AAA求逆矩阵的方法：定义法IAA1伴随矩阵法AAA*1初等变换法1|AIIAnn只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系：设nmijaA*是 m*n 阶矩阵，则对A的行实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同等的m阶初等矩阵左乘以A：对 A的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A （行变左乘，列变右乘）第三章线性方程组消元法非齐次线性方程组：增广矩阵简化阶梯型矩阵 r(AB)=r(B)=r 当 r=n 时，有唯一解；当nr时，有无穷多解 r(AB)r(B)，无解齐次线性方程组：仅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)n 当齐次线性方程组方程个数未知量个数，一定有非零解当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要|A|=0 齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个N维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组。希腊字母表示（加法数乘）特殊的向量：行（列）向量，零向量，负向量，相等向量，转置向量向量间的线性关系:线性组合或线性表示向量组间的线性相关（无）：定义179P向量组的秩：极大无关组（定义P188）定理：如果rjjj,.,21是向量组s,.,21的线性无关的部分组，则它是极大无关组的充要条件是：s,.,21中的每一个向量都可由rjjj,.,21线性表出。秩:极大无关组中所含的向量个数。定理：设 A为 m*n 矩阵，则rAr)(的充要条件是：A的列（行）秩为r。现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量，若k则是线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合向量组间的线性相关（无）注：n 个 n 维单位向量组 一定是线性无关名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 20 页 -一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关含有零向量的向量组一定是线性相关若两个向量成比例，则他们一定线性相关向量可由n,.,21线性表示的充要条件是).().(2121TTnTTTnTTrr判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设nkkk.21，求nkkk.21（适合维数低的）2、向量间关系法183P：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关3、分量法（n 个 m维向量组）180P：线性相关（充要）nrTnTT).(21线性无关（充要）nrTnTT).(21推论当 m=n时，相关，则0321TTT；无关，则0321TTT当 mn时，线性相关推广：若向量s,.,21组线性无关，则当s 为奇数时，向量组13221,.,s也线性无关；当 s 为偶数时，向量组也线性相关。定理：如果向量组,.,21s线性相关，则向量可由向量组s,.,21线性表出，且表示法唯一的充分必要条件是s,.,21线性无关。极大无关组 注：向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在；无关的向量组的极大无关组是其本身；向量组与其极大无关组是等价的。齐次线性方程组（I）解的结构：解为.,21（I）的两个解的和21仍是它的解；（I）解的任意倍数k还是它的解；（I）解的线性组合ssccc.2211也是它的解，sccc,.,21是任意常数。非齐次线性方程组（II）解的结构：解为.,21（II）的两个解的差21仍是它的解；若是非齐次线性方程组AX=B的一个解，v 是其导出组AX=O的一个解，则u+v 是（II）的一个解。定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A的秩nrAr)(，则该方程组的基础解系存在，且在每个基础解系中，恰含有 n-r 个解。若是非齐次线性方程组AX=B的一个解，v 是其导出组AX=O的全部解，则u+v 是（II）的全部解。第四章向量空间向量的内积实向量定义：（，）=nnTbababa.2211性质：非负性、对称性、线性性 (,k)=k(,);(k,k)=2k(,);(+,)=(,)+(,)+(,)+(,);),(),(1111jisjjriijsjjriiilklknR,向量的长度),(0的充要条件是=0；是单位向量的充要条件是（，）=1 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 20 页 -单位化向量的夹角正交向量：是正交向量的充要条件是（，）=0 正交的向量组必定线性无关正交矩阵：阶矩阵IAAAATT性质：1、若 A为正交矩阵，则可逆，且TAA1，且1A也是正交矩阵；、若 A为正交矩阵，则1A；、若 A、为同阶正交矩阵，则也是正交矩阵；、阶矩阵（ija）是正交矩阵的充要条件是的列（行）向量组是标准正交向量；第五章矩阵的特征值和特征向量特征值、特征向量 A是 N阶方阵，若数使 AX=X，即（I-A）=0 有非零解，则称为 A的一个特征值，此时，非零解称为A的属于特征值的特征向量。|A|=n.*21注：1、AX=X 2、求特征值、特征向量的方法0AI求i将i代入（I-A）X=0求出所有非零解 3、对于不同的矩阵，有重根、单根、复根、实根（主要学习的）特殊：nI)(的特征向量为任意N阶非零向量或)(21不全为零incccc 4、特征值：若)0(是 A的特征值则1A-1则mA-m则kA-k若2A=A 则-=0 或 1 若2A=I 则-=-1 或 1 若kA=O则-=0 迹 tr(A)：迹（A）=nnaaa2211性质：1、N阶方阵可逆的充要条件是A的特征值全是非零的 2、A与1A有相同的特征值 3、N阶方阵 A的不同特征值所对应的特征向量线性无关 4、5、P281 相似矩阵定义 P283：A、B是 N阶矩阵，若存在可逆矩阵P，满足BAPP1，则矩阵 A与 B 相似，记作 AB 性质 1、自身性：AA,P=I 2、对称性：若AB则 BA BAPP11PBPAABPP111)(3、传递性：若AB、BC则AC BAPP111CBPP212-CPPAPP)()(21121 4、若 AB，则 A与 B同（不）可逆名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 20 页 -5、若 AB，则11 BABAPP1两边同取逆，111BPAP 6、若 AB，则它们有相同的特征值。（特征值相同的矩阵不一定相似）7、若 AB，则)()(BrAr初等变换不改变矩阵的秩例子：BAPP1则1100100PPBAOAPP1 A=O IAPP1 A=I IAPP1 A=I矩阵对角化定理：N阶矩阵 A与 N阶对角形矩阵相似的充要条件是A有 N个线性无关的特征向量注：1、P与中的iix与顺序一致 2、A,则与 P不是唯一的推论：若n 阶方阵 A有 n 个互异的特征值，则A（P281）定理：n 阶方阵A的充要条件是对于每一个iK重特征根i，都有iiKnAIr)(注：三角形矩阵、数量矩阵I的特征值为主对角线。约当形矩阵约当块：形如111J的 n 阶矩阵称为n 阶约当块；约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵nJJJJ21（iJ是约当块）称为约当形矩阵。定理：任何矩阵A都相似于一个约当形矩阵，即存在n 阶可逆矩阵JAPP1。第六章二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的n 元多项式 f()称为一个 n 元二次型，简称二次型。标准型：形如的二次型，称为标准型。规范型：形如的二次型，称为规范型。线性变换矩阵的合同：设AB是 n 阶方阵，若存在一个n 阶可逆矩阵C，使得则称 A与 B是合同的，记作A B。合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换（二次型中不含有平方项）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 20 页 -()0Ar AnAAxAA不可逆有非零解是 的特征值的列（行）向量线性相关12()0,TsinAr AnAxAAAA AAAp pppAx可逆只有零解的特征值全不为零的列（行）向量线性无关是正定矩阵与同阶单位阵等价是初等阵总有唯一解R具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 关于12,ne ee：称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量；12,ne ee线性无关；12,1ne ee；tr()=En；任意一个n维向量都可以用12,ne ee线性表示.行列式的计算：若AB与都是方阵（不必同阶）,则(1)mnAAAA BBBBAA BB名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 20 页 -上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.关于副对角线：(1)211212112111(1)n nnnnnnnnnnaaaaa aaaa 逆矩阵的求法:1AAA1()()A EE A初等行变换11abdbcdcaadbcTTTTTABACCDBD12111121naanaaaa21111211naanaaaa11111221nnAAAAAA11121211nnAAAAAA 方阵的幂的性质：mnm nA AA()()mnmnAA 设1110()mmmmf xa xaxa xa，对n阶矩阵 A规定：1110()mmmmfAa AaAa Aa E为 A的一个多项式.设,m nn sABA 的 列 向 量 为12,n,B 的 列 向 量 为12,s，AB 的 列 向 量 为12,sr rr,1212121122,1,2,(,)(,),(,),.iissTnnniiiirAisAAAAA Bb bbAbbbABirAABirB则：即用中简若则单的一个提即：的第 个列向量 是 的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度的第 个行向量 是 的行向量的线性组合组合系数就是的各分量名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 20 页 -用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即：11112222,kkkkABABABAB11112222kkkkA BA BABA B 矩阵方程的解法：设法化成AXBXAB(I)或 (II)当0A时,BA BE X初等行变换（当 为一列时(I)的解法：构造()()即为克莱姆法则）TTTTA XBXX(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得Ax和 Bx同解（,A B列向量个数相同）,则：它们的极大无关组相对应,从而秩相等；它们对应的部分组有一样的线性相关性；它们有相同的内在线性关系.判断12,s是0Ax的基础解系的条件：12,s线性无关；12,s是0Ax的解；()snr A每个解向量中自由变量的个数.零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 20 页 -部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.向量组12,n中任一向量i(1i)n都是此向量组的线性组合.向量组12,n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余1n个向量线性表示.向量组12,n线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余1n个向量线性表示.m维列向量组12,n线性相关()r An；m维列向量组12,n线性无关()r An.()0r AA.若12,n线性无关，而12,n线性相关,则可由12,n线性表示,且表示法惟一.?矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.?矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.向量组等价12,n和12,n可以相互线性表示.记作：1212,nn矩阵等价A经过有限次初等变换化为B.记作：AB?矩阵 A与 B等价()(),r Ar BA B作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵 A与 B作为向量组等价1212(,)(,)nnrr1212(,)nnr矩阵 A与 B等价.?向量组12,s可由向量组12,n线性表示1212(,)nsr12(,)nr12(,)sr12(,)nr.?向量组12,s可由向量组12,n线性表示,且sn，则12,s线性相关.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 20 页 -向量组12,s线性无关,且可由12,n线性表示,则sn.?向量组12,s可由向量组12,n线性表示,且12(,)sr12(,)nr,则两向量组等价；?任一向量组和它的极大无关组等价.?向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.?若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.?若 A是mn矩阵,则()min,r Am n,若()r Am，A的行向量线性无关；若()r An，A的列向量线性无关,即：12,n线性无关.线性方程组的矩阵式Ax向量式1122nnxxx1112111212222212,nnmmmnnmaaaxbaaaxbAxaaaxb12,1,2,jjjmjjn名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 20 页 -1212120,0,()(),AnAnnAxAxAnAxAxAAxr Ar An当 为方阵时当 为方阵时有无穷多解有非零解线性相关有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关12()(),()()()1()Anr Ar AAxr Ar Ar Ar A当 为方阵时克莱姆法则不可由线性表示无解矩阵转置的性质：()TTAA()TTTABB A()TTkAkATAA()TTTABAB矩阵可逆的性质：11()AA111()ABBA111()kAkA11AA11()()TTAA11()()kkkAAA伴随矩阵的性质：2()nAAA()ABB A1()nkAkA1nAA11()()()()AATTAAAA()()kkAAAAA AA E名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 20 页 -()()1 ()10 ()1 nr Anr Ar Anr An若若若ABA BnkAkAkkAA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 20 页 -线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0,(2)0,(3),0,(4),0,(5),0(6)kkkkAxAxk kAxkAxAxAxAxAx是的解也是它的解是的解 对任意也是它的解齐次方程组是的解 对任意个常数也是它的解是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),100kkkkkkkAxAxAxAxAx是的解 则也是它的解是其导出组的解是的解 则也是的解是的解 设 A为mn矩阵,若()r Am,则()()r Ar A,从而Ax一定有解.当mn时,一定不是唯一解.方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m是()()r Ar A和的上限.矩阵的秩的性质：()()()TTr Ar Ar A A()r AB()()r Ar B()r ABmin(),()r A r B()0()00r Akr kAk若若()()Arr Ar BB0,()Ar A若则1,()0,()()m nn sABr ABr Ar B若且则n名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 20 页 -,()()()P Qr PAr AQr A若可逆,则,()()Ar ABr B若 可逆 则,()()Br ABr A若 可逆 则(),()(),r Anr ABr B若则且 A在矩阵乘法中有左消去律:0ABBABACBC标准正交基n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为 1.与正交(,)0.是单位向量(,)1.内积的性质：正定性：(,)0,(,)0且 对称性：(,)(,)双线性：1212(,)(,)(,)1212(,)(,)(,)(,)(,)(,)ccc施密特123,线性无关,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()正交化单位化：111222333名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 20 页 -正交矩阵TAAE.A是正交矩阵的充要条件：A的n个行（列）向量构成n的一组标准正交基.正交矩阵的性质：1TAA；TTAAA AE；A是正交阵,则TA（或1A）也是正交阵；两个正交阵之积仍是正交阵；正交阵的行列式等于1 或-1.A的特征矩阵EA.A的特征多项式()EAf.A的特征方程0EA.AxxAxx与 线性相关 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.若0A,则0为 A的特征值,且0Ax的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量.12nA1niAtr若()1r A,则A 一 定 可 分 解 为A=1212,nnaabbba、21 122()nnAa ba ba bA,从而A的特征值为：11122nnAa ba ba btr,230n.若 A的全部特征值12,n，()f x是多项式,则:()f A的全部特征值为12(),(),()nfff；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 20 页 -当 A可逆时,1A 的全部特征值为12111,n,A 的全部特征值为12,nAAA.1122,.mmAkkAabaAbEAAAAA是 的特征值则:分别有特征值1122,mmAkkAabaAbEAxAxAAA是 关于的特征向量则 也是关于的特征向量.A与 B相似1BP AP（P为可逆阵）记为：ABA相似于对角阵的充要条件：A恰有n个线性无关的特征向量.这时,P为 A的特征向量拼成的矩阵，1P AP为对角阵,主对角线上的元素为A的特征值.A可对角化的充要条件：()iinrEAkik为i的重数.若n阶矩阵 A有n个互异的特征值,则 A与对角阵相似.A与 B正交相似1BPAP（P为正交矩阵）相似矩阵的性质：11AB若,A B均可逆TTABkkAB（k 为整数）EAEB,从而,A B有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x是 A关于0的特征向量,1Px名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 20 页 -是 B 关于0的特征向量.AB从而,A B同时可逆或不可逆()()r Ar B()()ABtrtr 数量矩阵只与自己相似.对称矩阵的性质：特征值全是实数,特征向量是实向量；与对角矩阵合同；不同特征值的特征向量必定正交；k 重特征值必定有 k 个线性无关的特征向量；必可用正交矩阵相似对角化（一定有n个线性无关的特征向量,A可能有重的特征值,重数=()nrEA）.A可以相似对角化A与对角阵相似.记为：A（称是 A的相似标准型）若 A为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）()r A.设i为对应于i的线性无关的特征向量,则有：121212112212(,)(,)(,),nnnnnnPAAAA.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 20 页 -若AB,CD,则：ABCD.若 AB,则()()fAf B,()()f Af B.二次型12(,)Tnf x xxXAXA为对称矩阵12(,)TnXx xxA与 B合同TBC AC.记作：AB（,A BC为对称阵为可逆阵）两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.两个矩阵合同的充分条件是：AB 两个矩阵合同的必要条件是：()()r Ar B12(,)Tnfx xxX AX经过正交变换合同变换可逆线性变换XC化为2121(,)nniif x xxd y标准型.二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由()r A正惯性指数负惯性指数惟一确定的.当标准型中的系数id为 1，-1 或 0 时,则为规范形 .实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.任一实对称矩阵 A与惟一对角阵111100合同.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 20 页 -用正交变换法化二次型为标准形:求出 A 的特征值、特征向量；对n个特征向量单位化、正交化；构造 C（正交矩阵）,1CAC；作变换 XCY,新的二次型为2121(,)nniif x xxd y,的主对角上的元素id即为 A的特征值.正定二次型12,nx xx不全为零，12(,)0nf x xx.正定矩阵正定二次型对应的矩阵.合同变换不改变二次型的正定性.成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：正惯性指数为n；A的特征值全大于 0；A的所有顺序主子式全大于0；A合同于 E，即存在可逆矩阵Q使TQ AQE；存在可逆矩阵 P，使TAP P（从而0A）；存在正交矩阵，使121TnC ACCAC（i大于0）.成为正定矩阵的必要条件：0iia；0A.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 20 页 -