2022年新课标人教B版高中数学选修-空间向量与立体几何教 .pdf

第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算（一）教学目标：知识目标：空间向量；相等的向量；空间向量的加减与数乘运算及运算律；能力目标：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律教学难点：应用向量解决立体几何问题教学方法：讨论式教学过程：.复习引入师在必修四第二章平面向量中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？生既有大小又有方向的量叫向量向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母 a、b 等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB 师 数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下生长度相等且方向相同的向量叫相等向量.师学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：向量的加法：向量的减法：实数与向量的积：实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a，其长度和方向规定如下：(1)|a|a|(2)当 0 时，a 与 a 同向；当 0 时，a 与 a 反向；当 0 时，a0.师关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？生向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：abba加法结合律：(ab)ca（bc）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 19 页 -数乘分配律：(ab)a b师 今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用请同学们阅读课本P26 P27.新课讲授师如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量例如空间的一个平移就是一个向量那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？生与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量师 由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示因此我们说空间任意两个向量是共面的师空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？生空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：ABOAOB=a+b，OAOBAB（指向被减向量），OP a)(R师空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律生空间向量加法与数乘向量有如下运算律：加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；（课件验证）数乘分配律：(a+b)=a+b师空间向量加法的运算律要注意以下几点：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：nnnAAAAAAAAAA11433221因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：011433221AAAAAAAAAAnnn两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则例已知平行六面体DCBAABCD（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；BCAB；AAADAB21CCADAB名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 19 页 -)(31AAADAB说明：平行四边形ABCD 平移向量a 到 ABC D 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体记作 ABCDABC D 平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱解：（见课本 P27）说明：由第 2 小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广.巩固练习课本 P92练习.教学反思平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法.课后作业课本 P106 1、2、预习课本P92P96，预习提纲：怎样的向量叫做共线向量？两个向量共线的充要条件是什么？空间中点在直线上的充要条件是什么？什么叫做空间直线的向量参数表示式？怎样的向量叫做共面向量？向量 p 与不共线向量a、b 共面的充要条件是什么？空间一点P 在平面 MAB 内的充要条件是什么？板书设计：9.5 空间向量及其运算（一）一、平面向量复习二、空间向量三、例 1 定义及表示方法定义及表示加减与数乘运算加减与数乘向量小结运算律运算律教学后记：空间向量及其运算（2）一、课题：空间向量及其运算（2）二、教学目标：1理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用四、教学过程：（一）复习：空间向量的概念及表示；（二）新课讲解：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 19 页 -1共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：a平行于b，记作：/ab2共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),/a b bab的充要条件是存在实数，使ab（唯一）推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAt AB，其中向量a叫做直线l的方向向量。在l上取ABa，则式可化为OPOAt AB或(1)OPt OAtOB当12t时，点P是线段AB的中点，此时1()2OPOAOB和都叫空间直线的向量参数方程，是线段AB的中点公式3向量与平面平行：已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：/a通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的4共面向量定理：如 果 两 个 向量,a b不 共 线，p与 向 量,a b共 面 的 充 要 条件是存 在 实 数,x y使pxayb推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对,x y，使MPxMAyMB或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB上面式叫做平面MAB的向量表达式（三）例题分析：例 1已知,A B C三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OPOAOBOC，试判断：点P与,A B C是否一定共面？解：由题意：522OPOAOBOC，()2()2()OPOAOBOPOCOP，22APPBPC，即22PAPBPC，所以，点P与,A B C共面alPBAOaa名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 19 页 -说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算【练 习】：对 空 间 任 一 点O和 不 共 线 的 三 点,A B C，问 满 足 向 量 式OPxOAyOBzOC（其中1xyz）的四点,P A B C是否共面？解：(1)OPzy OAyOBzOC，()()OPOAy OBOAz OCOA，APyABzAC，点P与点,A B C共面例 2已知ABCD，从平面AC外一点O引向量,OEkOAOFKOB OGkOC OHkOD，（1）求证：四点,E F G H共面；（2）平面AC/平面EG解：（1）四边形ABCD是平行四边形，ACABAD，EGOGOE，()()()k OCk OAk OCOAk ACk ABADk OBOAODOAOFOEOHOEEFEH,E F G H共面；（2）()EFOFOEk OBOAk AB，又EGk AC，/,/EFAB EGAC所以，平面/AC平面EG五、课堂练习：课本第96 页练习第 1、2、3 题六、课堂小结：1共线向量定理和共面向量定理及其推论；2空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式七、作业：1已知两个非零向量21,e e不共线，如果21ABee，2128ACee，2133ADee，求证：,A B C D共面2已知324,(1)82amnp bxmnyp，0a，若/ab，求实数,x yOABCDHFGE名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 19 页 -的值。3 如 图，,EFGH分 别 为 正 方 体1AC的 棱111111,A BA DB CD C的中点，求证：（1）,E F D B四点共面；（2）平面AEF/平面BDHG4已知,E F G H分别是空间四边形ABCD边,AB BC CD DA的中点，（1）用向量法证明：,E F G H四点共面；（2）用向量法证明：/BD平面EFGH3.1.3空间向量的数量积（1）教学目标：1掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神教学过程学生探究过程：（一）复习：空间向量基本定理及其推论；（二）新课讲解：1空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b，在空间任取一点O，作,OAa OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作,a b；且规定0,a b，显然有,a bb a；若,2a b，则称a与b互相垂直，记作：ab；2向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a；3向量的数量积：已知向量,a b，则|cos,aba b叫做,a b的数量积，记作a b，即a b|cos,aba b已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则A B叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影；可以证明A B的长度D1C1B1A1HGFEDCBAABCDFEGHACBABe名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 19 页 -|cos,|A BABa ea e4空间向量数量积的性质：（1）|cos,a eaa e（2）0aba b（3）2|aa a5空间向量数量积运算律：（1）()()()aba bab（2）a bb a（交换律）（3）()abca ba c（分配律）（三）例题分析：例 1用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。已知：,m n是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点为B，且,lm ln求证：l证明：在内作不与,m n重合的任一直线g，在,l m n g上取非零向量,l m n g，,m n相交，向量,m n不平行，由共面定理可知，存在唯一有序实数对(,)x y，使gxmyn，lgxlmyln，又0,0lmln，0lg，lg，lg，所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l例 2已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC证明：（法一）()()AD BCABBDACAB2AB ACBD ACABAB BD()0ABACABBDAB DC（法二）选取一组基底，设,ABa ACb ADc，ABCD，()0acb，即a cb a，同理：a bb c，a cb c，()0cba，0AD BC，即ADBC说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。例 3如图，在空间四边形OABC中，8OA，6AB，4AC，5BC，45OAC，60OAB，求OA与BC的夹角的余弦值。解：BCACAB，OA BCOA ACOA AB|cos,|cos,OAACOA ACOAABOA AB84cos1358 6cos12024 16 2lmnmngglOABC名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 19 页 -24 16 232 2cos,8 55|OA BCOA BCOABC，所以，OA与BC的夹角的余弦值为3225说明：由图形知向量的夹角时易出错，如,135OA AC易错写成,45OA AC，切记！五巩固练习：课本第99 页练习第 1、2、3 题。六 教学反思：空间向量数量积的概念和性质。七作业：课本第106页第 3、4 题补充：1已知向量ab，向量c与,a b的夹角都是60，且|1,|2,|3abc，试求：（1）2()ab；（2）2(2)abc；（3）(32)(3)abbc向量的数量积（2）一、教学目标：向量的数量积运算利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角二、教学重点：向量的数量积运算利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角三、教学方法：练习法，纠错法，归纳法四、教学过程：考点一：向量的数量积运算（一）、知识要点：1）定义：设=,则 a b（的范围为）设11(,)ax y，22(,)bxy则 a b。注：a b不能写成 ab，或 ab a b的结果为一个数值。2）投影：b在 a方向上的投影为。3）向量数量积运算律：a bb a()()()a ba bab()ab ca cb c注：没有结合律()()a b ca b c二）例题讲练1、下列命题：若0a b，则 a，b中至少一个为 0若 a0且 a ba c，则 bc()()a b ca b c 22(32)(32)94ababab中正确有个数为（）A.0 个B.1 个C.2个D.3 个名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 19 页 -2、已 知ABC中，A，B，C 所 对 的 边 为 a,b,c，且 a=3,b=1,C=30,则BC CA=。3、若a，b，c满 足0abc，且3,1,4abc，则abbca=。4、已 知2ab，且 a 与 b 的 夹 角 为3，则 ab 在 a 上 的 投 影为。考点二：向量数量积性质应用一）、知识要点：0aba b（用于判定垂直问题）2aa（用于求模运算问题）cosa ba b（用于求角运算问题）二）例题讲练1、已知2a，3b，且 a 与 b 的夹角为2，32cab，dmab，求当 m 为何值时 cd2、已知1a，1b，323ab，则3ab。3、已知 a和 b是非零向量，且a=b=ab，求 a与 ab 的夹角4、已知4a，2b，且 a 和b不共线，求使 ab与 ab的夹角是锐角时的取值范围巩固练习1、已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3，则（12ee）12(32)ee等于（）A.-8 B.92C.52D.8 2、已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3，则下面向量中与212ee 垂直的是（）A.12eeB.12eeC.1eD.2e3、在ABC中，设 ABa，BCb，CAc，若0)(baa，则ABC（）)(A直角三角形)(B锐角三角形)(C钝角三角形)(D无法判定名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 19 页 -4、已知 a 和b 是非零向量，且3ab与 75ab 垂直，4ab 与72ab 垂直，求 a与 b的夹角。5、已知 OA、OB、OC 是非零的单位向量，且OA+OB+OC=0，求证：ABC为正三角形。3.1.5 空间向量运算的坐标表示课题向量的坐标教学目的要求1理解空间向量与有序数组之间的1-1 对应关系2掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示主要内容与时间分配1投影与投影定理25 分钟2分向量与向量的坐标30 分钟3模与方向余弦的坐标表示35 分钟重点难点1投影定理2分向量3方向余弦的坐标表示教学方法和手段启发式教学法，使用电子教案一、向量在轴上的投影1几个概念(1)轴上有向线段的值：设有一轴u，AB是轴u上的有向线段，如果数满足AB，且当AB与轴u同向时是正的，当AB与轴u反向时是负的，那么数叫做轴u上有向线段AB的值，记做 AB，即AB。设 e 是与u轴同方向的单位向量，则eAB(2)设 A、B、C 是 u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有BCABAC(3)两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和b，任取空间一点O，作aOA，bOB，规定不超过的AOB称为向量a和 b 的夹角，记为),(ba(4)空间一点 A 在轴u上的投影：通过点 A 作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 19 页 -叫做点 A 在轴u上的投影。(5)向量AB在轴u上的投影：设已知向量AB的起点 A 和终点 B 在轴u上的投影分别为点A和B，那么轴u上的有向线段的值BA叫做向量AB在轴u上的投影，记做ABjuPr。2投影定理性 质1：向 量 在 轴u上 的 投 影 等 于 向 量 的 模 乘 以 轴 与 向 量 的 夹 角的 余 弦：cosPrABABju性 质2：两 个 向 量 的 和 在 轴 上 的 投 影 等 于 两 个 向 量 在 该 轴 上 的 投 影 的 和，即2121aaaajjjuPrPr)(Pr性质 3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即aajjuPr)(Pr二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标1向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。设 a=21MM是以),(1111zyxM为起点、),(2222zyxM为终点的向量，i、j、k 分别表示图 7 5 沿 x，y，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7 5，并应用向量的加法规则知：)(1221xxMMi+)(12yyj+)(12zzk 或a=axi+ayj+azk 上式称为向量a 按基本单位向量的分解式。有序数组ax、ay、az与向量 a 一一对应，向量a 在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 19 页 -叫做向量a 的坐标，并记为a ax，ay，az。上式叫做向量a 的坐标表示式。于是，起点为),(1111zyxM终点为),(2222zyxM的向量可以表示为,12121221zzyyxxMM特别地，点),(zyxM对于原点 O 的向径,zyxOM注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。向量 a 在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，向量 a 在坐标轴上的分向量是三个向量axi、ayj、azk.2向量运算的坐标表示设,zyxaaaa，,zyxbbbb即kjiazyxaaa，kjibzyxbbb则(1)加法：kjiba)()()(zzyyxxbababa减法：kjiba)()()(zzyyxxbababa乘数：kjia)()()(zyxaaa或,zzyyxxbabababa,zzyyxxbabababa,zyxaaaa平行：若 a0 时，向量ab/相当于ab，即,zyxzyxaaabbb也相当于向量的对应坐标成比例即zzyyxxababab三、向量的模与方向余弦的坐标表示式名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 19 页 -设,zyxaaaa，可以用它与三个坐标轴的夹角、（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称、为非零向量a 的方向角，见图76，其余弦表示形式coscoscos、称为方向余弦。图76 1 模222zyxaaaa2 方向余弦由性质 1 知coscoscoscoscoscos212121aaaMMaMMaMMazyx，当0222zyxaaaa时，有222222222coscoscoszyxzzzyxyyzyxxxaaaaaaaaaaaaaaaaaa任意向量的方向余弦有性质：1coscoscos222与非零向量a 同方向的单位向量为：cos,cos,cos,1zyxaaaaaaa03 例子：已知两点M1(2,2,2)、M2(1,3,0)，计算向量21MM的模、方向余弦、方向角以及与21MM同向的单位向量。解：21MM1-2，3-2，0-2=-1，1，-2 2)2(1)1(22221MM21cos，21cos，22cos32，3，43设0a为与21MM同向的单位向量，由于cos,cos,cos0a名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 19 页 -即得22,21,210a3.2立体几何中的向量方法空间距离利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题例如图，已知正方形ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GC平面 ABCD，且 GC2，求点 B 到平面 EFG 的距离分析：由题设可知 CG、CB、CD 两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系用向量法求解，就是求出过B 且垂直于平面 EFG 的向量，它的长即为点B 到平面 EFG 的距离解：如图，设 CD4i，CB4j，CG2k，以 i、j、k 为坐标向量建立空间直角坐标系Cxyz由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)(2,0,0)BE，(4,2,0)BF，(0,4,2)BG，(2,4,2)GE，(2,2,0)EF设BM平面 EFG，M 为垂足，则 M、G、E、F 四点共面，由共面向量定理知，存在实数 a、b、c，使得 BMaBEbBFcBG(1)abc，(2,0,0)(4,2,0)(0,4,2)BMabc(2a+4b,2b4c,2c)由BM平面 EFG，得BMGE，BMEF，于是0B MG E，0BMEF(24,24,2)(2,4,2)0(24,24,2)(2,2,0)01abbccabbccabc整理得：102305cbacbaca，解得1511711311abc名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 19 页 -BM(2a+4b,2b4c,2c)116,112,112(2222262 11|11111111BM故点 B 到平面 EFG 的距离为11112说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了例 2 已知正方体 ABCDA B C D的棱长为 1，求直线DA与 AC 的距离分析：设异面直线DA、AC 的公垂线是直线l，则线段AA在直线l 上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解解：如图，设ABi，CBj，BBk，以 i、j、k 为坐标向量建立空间直角坐标系Bxyz，则有(1,0,0)A，(1,1,1)D，(1,0,1)A，(0,1,1)C(0,1,1)DA，(1,1,0)AC，(0,0,1)A A设 n(,)x y z是直线 l 方向上的单位向量，则2221xyznDA，nAC，100222zyxyxzy，解得33zyx或33xyz取 n333(,)333，则向量AA在直线 l 上的投影为nAA)33,33,33()1,0,0(33由两个向量的数量积的几何意义知，直线DA与 AC 的距离为33向量的内积与二面角的计算在高等代数与解析几何 课程第一章向量代数的教学中，讲到几何空间的内积时，有一个例题（见1，p53）要求证明如下的公式：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 19 页 -,cossinsincoscoscos(1)其中点 O 是二面角 P-MN-Q 的棱 MN 上的点，OA、OB 分别在平面 P 和平面 Q内。AON，BON，AOB。为二面角 P-MN-Q（见图 1）。baMyzDxBAQPNO图 1公式（1）可以利用向量的内积来加以证明：以 Q 为坐标平面，直线MN 为 y 轴，如图 1 建立直角坐标系。记 xOz平面与平面 P 的交线为射线 OD，则MNOD，得2AOD，DOx，2DOz。分别沿射线 OA、OB 的方向上作单位向量a，b，则ba,。由计算知a，b 的坐标分别为)sinsin,cos,cos(sin，)0,cos,(sin，于是，cossinsincoscos|cosbababa。公式（1）在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的两个应用。例 1立方体 ABCD-A1B1C1D1的边长为 1，E、F、G、H、I 分别为 A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B 的中点。求面 EFG 和面 GHI 的夹角的大小（用反三角函数表示）。解 由于图 2 中所画的两平面EFG 和 GHI 只有一个公共点，没有交线，所以我们可以将该立方体沿AB 方向平移 1 个单位。这样就使平面EFG 平移至平面GHI。而就是二面角 G-IH-G（见图 3）。利用公式（1），只要知道了，和的大小，我们就能求出。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 19 页 -HIFEGCC1D1DBB1A1A图 2 由已 知 条 件，GHI和GHI均 为 等边 三 角 形，所 以3，而2GGI。因此，GEHD1C1CGIFB1A1BDA图 3cos3sin3sin3cos3cos2cos，即cos232321210。解得31cos，31ar c c o s。当然，在建立了直角坐标系之后，通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量，利用法向量同样也可算出夹角来。例 2计算正十二面体的两个相邻面的夹角的大小。解 我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形，且在正十二面体的每个顶点上均有3 个面围绕。设 P 和 Q 是两个相邻的面，MN 是它们的交线（如图 4），则公式（1）中的，分别为：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 19 页 -AMN，BMN，AMB，因此它们均为正五边形的内角。所以108。BANMQP图 4 所以，由公式（1）知cos108sin108sin108cos108cos108cos，或55108sin)108cos1(108coscos2。因此，55arccos，或4533116。如果不使用公式（1），要求出例 2 中的夹角的大小在计算上要复杂很多。利用例 2 的结果，我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积V。设单位棱长正十二面体的中心为O，则该十二面体可以切割成十二个全等的正五棱锥，每个五棱锥以该多面体的一个面为底面、以O 为其顶点。设该正五棱锥为，从而可知：VV12。再设的底面积为 S、高为 h，设O为单位边长正五边形（即的底）的中心，A、B 为该五边形的两个相邻的顶点，H 为 AB 的中点，aHO|，则54 AHO，54tan21tan21AHOa，54tan4525aS。仍设为正十二面体两相邻面的夹角，则2tanah。所以2tan54tan21h。但是，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 19 页 -215cos1cos12tan，从而ShVV4122t a n54tan2154tan4542t an)54(tan25221555252545715，或6631.7V名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 19 页 -