2022年添中点辅助线 .pdf

浅谈怎样添中点问题的辅助线1、构造全等三角形（1）对于题设中有三角形中线的问题，常将中线延长一倍，构成全等三角形，使问题能在充分的条件下得以解决，如图1，AD是 ABC的中线，延长AD到 E，使 DE=AD，连结 EC，则ABDECD。（2）对于题设中有一条线段平分另一条线段的题目，可将第一条线段加倍延长，构成全等三角形，如图 2，CD平分 AB，可延长 DC到 E，使 CE=CD，连结 BE，则 ACD BCE。2、构造中位线若三角形一边（或梯形一腰）的中点，往往取另一边（或另一腰）的中点，连结成中位线，然后利用中位线性质进行证明或求解。3、构造直角三有形斜边上的中线当题设中出现或隐含着直角三角形斜边上的中点的条件，可通过作辅助线构造斜边上的中线，利用直角三角形的性质探求解题方法。例 1 证明：三角形中，如果一个角的平分线是它对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形。已知：如图3，在 ABC中，AD平分BAC，且 BD=DC，求证：AB=AC。思路分析：因为AB、AC分别是 ABD、ACD的边，根据题设这两个三角形全等的条件不全，由于AD是ABC的中线，不妨加倍延长中线试一试，容易证明ABDECD，则 AB=CE，要证AB=AC，再证EC=AC 即可。证明：延长AD到 E，使 DE=AD，连接 EC 在 ABD和 ECD中，ABD ECD AB=EC，1=E 1=2，2=E AC=EC AB=AC 题末点评:对于中线问题，常将中线延长一倍，构成全等三角形，将边、角转移到新的三角形中，从CDBD43EDAD图 1 图 2 图 3 EBCADEDCBAEDCBA4321名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -而为证题创造条件。例 2 已知：如图4，在 ABC与CBA，AB=BA，AC=CA，AD、DA分别是BC 及CB上的中线，且AD=DA。求证：ABCACB。思路分析：要证ABC ABC，因为这两个三角形中已有两边对应相等，需证BAC=BAC。由于 BAC=1+2，BAC=1+2故需证 1=1，2=2。注意到题中中线相等的条件可设法利用这一条件来证。证明：分别延长AD、AD到 E、E，使 DE=AD，DE=AD，连接BE、BE。则 AE=2AD，AE=2AD，AD=AD AE=AE在BDE和CDA中，BDE CDA BE=AC，E=2 同理 BE=AC，E=2 AC，CAEBBE在ABE和EBA中，ABE。EBAEE，1122，2121在ABC和CBA中，ABC ABC。例 3 已知：如图5，AD平分 BAC，M是 BC的中点，MF/AD 交 CA的延长线于F，求证：BECF思路分析：因为BE、CF分别是钝角三角形、锐角三角形的DADECDABDECDBDEAAEEBBEBAABCAACCABBACBAAB图 4 图 5 EDCBAEDCBAGMDCBAEF名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -边，因此不能用直接证明两个三角形全等的方法来证BE=CF，题设中M是 BC的中点，即EM平分线段BC，故考虑用加倍延长EM，构成全等三角形来证。证明：延长EM到 G，使 MG=EM，连接 GC，在 BEM 和CGM 中，GMEMCMGBMECMBMBEM CGM。BE=CG，BEM=G MF/AD BEM=BAD，F=DAC BAD=DAC BEM=F F=G CF=CG BE=CF 题末点评：当直接证明两条线段相等比较困难时，常证这两条线段都等于第三条线段，而第三条线段往往是构造全等三角形得到的，构造全等三角形时，要特别注意题中的中点、中线的条件。例 4、已知：如图6，四边形ABCD 中，ACBD且交于 E，设 M、N 分别为 AB、CD的中点，MN 交AC于 P、交 BD于 Q，求证：EPQ=EQP 思路分析：要证 EPQ=EQP，考虑找到与它们相等的角。不妨从两个中点着眼考虑。取 AD的中点 F，则 EQP=FMN，EOQ=FNM。需证 FMN=FNM。由中位线的性质可得FM=FN，从而 EPQ=EQP。证明：取 AD的中点 F，连接 MF、NF 是MF，ABD 的中位线BD，MF/EQPFMN同理 FNM=EPQ，AC=BD FM=FN FNMFMNEQPEPQ。题末点评：添作中位线后，即可得到平行线，又可得到与已知线段的一半相等的线段，使题中原来比较隐蔽的条件变得充分和明显，问题易于获解。例 5 已知：如图7，ABD和ACE是直角三角形，M为 DE的中点，求证：MB=M。证明：延长BM交 CE于 F BD21MFAC21FN图 6 图 7 PQNMEFDCBAMFEDCBA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -90ECBABD，例 6、已知：如图8，五边形ABCDE 中，AED=ABC=90，BAC=DAE，P是 CD的中点，求证：PB=PE。思路分析：要证PB=PE，图形中缺少条件，需引辅助线，因P是 CD的中点，ABC与AED是直角三角形，取 AC、AD的中点 M、N，利用三角形的中位线定理及直角三角形的性质证明BMPPNE，使问题得以解决。证明：分别取AC、AD的中点 M、N，连接 BM、MP、NE、NP ABC=90 BM=BMC=2 BAC NP是 ACD的中位线AC21PN，PN AC PND=CAD，PN=BM 同理 DNE=2 DAE，CMP=CAD，NE=MP BAC=DAE BMC=DNE且 CMP=PND BMP=PNE BMP PNE PB=PE 题末点评：本题解题的关键是取AC、AD的中点，构造三角形的中位线，直角三角形斜边上的中线。由三角形中位线定理及直角三角形斜边上的中线性质，证出结论中两条线段所在的三角形全等，从而结论成立。专题训练：1、已知：ABC中，90ACB，CD是中线，求证：AB.2CD2、已知：如图9，在ABC中，AB AC，M为 BC的中点，过M点引直线垂直于A的平分线，分别交AB、AC于 D、E。求证：BD=CE。3、已知：如图10，。，CM，BCFRt顺利获解本题能突破了这一点斜边上的中线关键是构造题末点评：本题解题的BF。MCMB，BCFMF。MFEM，BDMFME。BMDEM，DMFEMBDMCE。BD2190B/又AC21图 8 图 9 图 10 PNMEDCBAEFDCBANMEDCBA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -在ABC中，AD是 BC上的中线，E为 AC上一点，BE交 AD于 F，若 AE=EF，求证：AC=BF 4、已知：如图11，过 ABC的 BC边的中点 M，作直线平行于A的平分线AN，而交 BA的延长线AC于 E、F，求证：2CFAB+AC。5、已知：如图12，四边形ABCD中，E、F 分别为 AB、DC的中点，求证：BCAD21EF6、已知：如图 13，四边形 ABCD，ABC=ADC=90 M、N分别是对角线AC、BD的中点，求证:MNBD。7、已知：如图14，ABC的 C 的平分线 CE与 BC边的中线AD垂直 且 相 等，相 交 于F，CE的三条边求ABC，AD4长。8、已知：如图15，ABC中，以 AB、AC为斜边向形外作等腰ABM和等腰 CAN，P 是 BC的中点，求证：（1）PM=PN (2)PM PN 9、已知：如图16，在 ABC中，BAC=120，以 AB、AC为边，分别向形外作正三角形ABD和正三角形 ACE，M为 AD中点，N为 AE中点，P为 BC中点，试求 MPN 的度数。图 11 图 12 图 13 图 14 图 15 图 16 FEDCBANMFECBAFEDBACNMDCBAENMPCBDAPNCBAM名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -