2022年知识讲解_指数函数及其性质_基础 .pdf

.指数函数及其性质要点一、指数函数的概念：函数 y=ax(a0 且 a 1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R.要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a0且 a1)的函数才是指数函数像2 3xy，12xy，31xy等函数都不是指数函数（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：如果0a，则000 xxxx时，a 恒等于，时,a 无意义.如果0a，则对于一些函数，比如(4)xy，当11,24xx时，在实数范围内函数值不存在如果1a，则11xy是个常量，就没研究的必要了要点二、指数函数的图象及性质：y=ax0a1 时图象图象性质定义域 R，值域（0，+）a0=1,即 x=0 时，y=1，图象都经过(0，1)点ax=a，即 x=1 时，y 等于底数 a 在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数x1 x0 时，0ax1 x0 时，0ax0 时，ax1 既不是奇函数，也不是偶函数要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“1a”和“01a”两种情形讨论。（2）当01a时，,0 xy；当1a时,0 xy。当1a时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快。当01a时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快。（3）指数函数xya与1xya的图象关于y轴对称。要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（1）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 9 页 -.xyaxybxycxyd则：0ba 1dc又即：x(0,+)时，xxxxbadc（底大幂大）x(,0)时，xxxxbadc（2）特殊函数112,3,(),()23xxxxyyyy的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：若0ABAB；0ABAB；0ABAB；当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1AB，或1AB即可【典型例题】类型一、指数函数的概念例 1函数2(33)xyaaa是指数函数，求a的值【答案】2【解析】由2(33)xyaaa是指数函数，可得2331,0,1,aaaa且解得12,01,aaaa或且，所以2a【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0 且不等于1 的常数，指数必须是自变量x举一反三：【变式 1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）4xy；（2）4yx；（3）4xy；（4）(4)xy；（5）1(21)(1)2xyaaa且；（6）4xy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 9 页 -.【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）为指数函数其中（6）4xy=14x，符合指数函数的定义，而（2）中底数x不是常数，而 4 不是变数；（3）是-1 与指数函数4x的乘积；（4）中底数40，所以不是指数函数类型二、函数的定义域、值域例 2求下列函数的定义域、值域.(1)313xxy；(2)y=4x-2x+1；(3)21139x；(4)211xxya(a 为大于 1 的常数)【答案】（1）R，(0，1)；（2）R,43)；（3）1,20,；（4）(-，-1)1，+)1，a)(a，+)【解析】(1)函数的定义域为R(对一切 xR，3x-1).(13)1111313xxxy，又 3x0，1+3x1，10113x，1101 3x，101113x，值域为(0，1).(2)定义域为R，43)212(12)2(22xxxy，2x0，212x即 x=-1时，y 取最小值43，同时 y 可以取一切大于43的实数，值域为,43).(3)要 使函数有意义可得到不等式211309x，即21233x，又函数3xy是 增函数，所以212x，即12x，即1,2，值域是0,.(4)011112xxxx 定义域为(-，-1)1，+)，又111011xxxx且，aayayxxxx1121121且，值域为 1，a)(a，+).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y0 的条件，第(4)小题中112111xxx不能遗漏.举一反三：【变式 1】求下列函数的定义域：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 9 页 -.(1)2-12xy (2)3-3xy(3)2-1xy (4)1-(0,1)xyaaa【答案】（1）R；（2）-3，；（3）0,+；（4）a1 时，-0，；0a1 时，-0，；0a1 时，外层函数y=au在()，上为增函数，内函数u=x2-2x 在区间(1)，上为减函名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 9 页 -.数，在区间1+，上为增函数，故函数2-2()(-1)xxf xa在区间，上为减函数，在区间1+，上为增函数；当 0a1 时，外层函数y=au在()，上为减函数，内函数u=x2-2x 在区间(1)，上为减函数，在区间1+，上为增函数，故函数2-2()xxf xa在区间(1)，上为增函数，在区间1,+上为减函数.例 4证明函数1()(1)1xxafxaa在定义域上为增函数.【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。【解析】定义域为xR，任取 x11，x1x2，12xxaa，120 xxaa，f(x1)1 且 x2-x10，211xxa，2110 xxa.【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后，所学的第一个具体函数.因此，在学习中，尽量体会从一般到特殊的过程.例 5判断下列各数的大小关系：(1)1.8a与 1.8a+1；(2)24-231(),3,()33(3)22.5，(2.5)0，2.51()2 (4)23(0,1)aaaa与【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。【答案】（1）1.8a1.8a+1（2）2-24311()()333（3）2.502.51()(2.5)1 时，23aa，当 0a1，所以函数y=1.8x为单调增函数，又因为 aa+1，所以 1.8a1.8a+1.(2)因为44133，又13xy是减函数，所以-42-23111()()333，即2-24311()()333(3)因为2.521，2.5112，所以2.502.51()(2.5)1 时，23aa，当 0a1 时，23aa【总结升华】(1)注意利用单调性解题的规范书写；(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)；(3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是“0”和“1”).举一反三：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 9 页 -.【变式 1】比较大小：(1)22.1与 22.3 (2)3.53与 3.23 (3)0.9-0.3与 1.1-0.1(4)0.90.3与 0.70.4 (5)110.233241.5,(),()33.【解析】(1)22.122.3(2)3.533.23.观察两函数值，底数不同，而指数不变不是指数函数，而是y=x3，它为增函数.(3)由 0.9-0.3，00.91，-0.31，1.11，-0.1001.1-0.11.1-0.1；(4)由指数函数图象相对位置关系数形结合，0.90.30.70.4.(5)0.20.221.5()3，又函数2()3xy为减函数，001xy，10.23221()()033，4()3xy为增函数，103x时，y1，110.233422()()()333.另解：幂函数13yx为增函数，则有113342()1()33，(下略).【高清课堂：指数函数 369066 例 1】【变式 2】利用函数的性质比较122，133，166【答案】133122166【解析】122=31136662(2)812112366633(3)9作出8,9,6xxxyyy的图象知986xxxyyy所以133122166【变式 3】比较 1.5-0.2，1.30.7，132()3的大小.【答案】7.02.0313.15.1)32(【解析】先比较31512.02.0)32()32()23(5.1与的大小.由于底数32(0，1)，xy)32(在 R上是减函数，05131，1)32()32()32(005131，再考虑指数函数y=1.3x，由于 1.31，所以名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 9 页 -.y=1.3x在 R上为增函数1.30.71.30=1，7.02.0313.15.1)32(.【总结升华】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如 0，1 等)分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断.例 6.(分类讨论指数函数的单调性)化简：4233-2aaa【思路点拨】先把被开方数变形成完全平方式的形式，然后对a进行分类讨论，去掉绝对值。【解析】212422121333333331233-,1-2-,01aaaaaaaaaaaaa举一反三：【变式 1】如果215xxaa（0a，且1a），求x的取值范围【答案】当01a时，6x；当1a时，6x【解析】（1）当01a时，由于215xxaa，215xx，解得6x（2）当1a时，由于215xxaa，215xx，解得6x综上所述，x的取值范围是：当01a时，6x；当1a时，6x类型四、判断函数的奇偶性例 7判断下列函数的奇偶性：)()21121()(xxfx()x为奇函数)【答案】偶函数【解析】f(x)定义域关于原点对称()x定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是()x定义域除掉0 这个元素)，令21121)(xxg，则211222121221121)(xxxxxxg)()21121(21121121121)12(xgxxxx g(x)为奇函数，又()x为奇函数，f(x)为偶函数.【总结升华】求()()()f xg xx的奇偶性，可以先判断()g x与()x的奇偶性，然后在根据奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇，得出()f x的奇偶性举一反三：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 9 页 -.【变式 1】判断函数的奇偶性：()221xxxf x.【答案】偶函数【解析】定义域x|xR且 x0，又112121()()()()222211221xxxxxfxxxx21 111111()(1)()()222212121xxxxxxxfx，f(-x)=f(x)，则 f(x)偶函数.类型五、指数函数的图象问题例 8 如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数xya的图象，而12,3,22a，则图象 C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是_、_、_、_【答案】22123【解析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C2的底数 C1的底数C4的底数 C3的底数【总结升华】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在 y轴的右边“底大图高”，在 y 轴的左边“底大图低”举一反三：【变式 1】设()|31|xf x，cba 且()()()f cf af b，则下列关系式中一定成立的是（）A33cbB33cbC332caD332ca【答案】D【变式 2】为了得到函数9 35xy的图象，可以把函数3xy的图象()A向左平移9 个单位长度，再向上平移5个单位长度B向右平移9 个单位长度，再向下平移5个单位长度C向左平移2 个单位长度，再向上平移5个单位长度D向右平移2 个单位长度，再向下平移5个单位长度【答案】C【解析】注意先将函数935xy转化为235xy，再利用图象的平移规律进行判断293535xxy，把函数3xy的图象向左平移2 个单位长度，再向上平移5 个单位长度，可得到函数935xy的图象，故选C【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 9 页 -