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数学模型答案第 1 页 共 3 页数学模型答案一、相遇问题李经理每天早上由从公司开出的轿车接他去上班，7 时 30 分到他家。有一天，李经理 7 时从家出发步行去公司，路上遇到按时来接他的车，乘车去公司，结果早到5 分钟。问李经理什么时候遇上轿车？轿车速度是步行速度的多少倍？关键是理解轿车少走5 分钟正好是由于李经理步行了一段时间。5 分钟的一半时间正好是相遇点到李经理家轿车所需的时间故相遇时间为7 时 27 分半；两者速度之比为27.5112.5二、席位分配问题学校现有1000 名学生,235 人在 A 系,333 人在 B 系,432 人在 C 系.学生要组织一个10 人的委员会，试用下列方法分配各系的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者；（2）按课本第二章2.1 节中的 Q 值方法.（1）系别 A B C 总数学生数 235 333 432 1000 学生人数比例 235/1000=2.35 333/1000=3.33 432/1000=4.32 席位分配 2 3 4 9 由于 A系小数部分最大，故第十个名额分配给A系最后的席位分配为：A 3 席B 3 席 C 4 席（2）Q值计算公式为2(1)kkkkpQnn先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q值分配。本问题的整数名额共分配了席，具体为：A系 2 席，B系 3 席，C系 4 席，对第 1席的分配，计算Q值212359204.167(21)2Q；223339240.75(3 1)4Q；234329331.2(41)4Q因为3Q最大，因此第1席应该给C系最后的席位分配为：A 2 席B 3 席 C 5 席三、双层玻璃的功效根据课本上建立的双层玻璃的功效所建立的数学模型，进一步讨论如下问题：1 若单层玻璃窗的玻璃厚度也是d，结果将如何？2 怎样讨论三层玻璃的功效？1、双层玻璃的热量流失记双层窗内窗玻璃的外侧温度为aT，外层玻璃的内侧温度为bT，玻璃的热传导系数为1k，空气的热传导系数为2k，由单位时间单位面积的热量传导（热量流失）：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 3 页 -数学模型答案第 2 页 共 3 页12121aabbTTTTTTQkkkddd由11aTTQkd及21bTTQkd可得121()2abQdTTTTk再代入2abTTQkd就将（2）中aT、bT消去，变形可得：11212(),2k TTklQshhd skd（1）2、单层玻璃的热量流失对于厚度为d的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为：121TTQkd（2）单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较比较（1）（2）有：12QQs（3）显然，QQ。三层玻璃的热量流失类似双层玻璃的讨论。四、导弹跟踪问题设位于坐标原点的甲舰向位于x 轴上点 A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y 轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？建立该问题的数学模型即可。建坐标系，取导弹基地处为原点O(0,0),X轴指向正东方,Y轴指向正北方.设当t=0 时,导弹位于点O,敌艇位于A(0,H)点,其中H=1.导弹在t时刻的位置为P x ty t(),().由题意知222ddddwvtytx (1)其中vw630(km/h)；而在t时刻,敌艇位置为M v t He(,),其中ve90(km/h).由于导弹轨迹的切线方向必须指向敌舰,即直线PM的方向就是导弹轨迹上点P的切线方向，故有xtvyHxyedd或写为xtvyHyxe)(dd (2)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 3 页 -数学模型答案第 3 页 共 3 页将式(2)两边对t求导得到txvtyyxyHtyyxedd)dd(dd)(dddd22,即有evyHtyyx)(dddd22.(3)由于tyyxtxdddddd，式(1)可写为1dddd2yxvtyw，(4)将式(4)代入(3)就得到一个二阶微分方程:wevvyxyHyx1)dd()(dd222,(5)而方程的初始条件为00yx,0dd0yyx.这个方程可以通过降阶法来求解.五、生产计划问题一工厂生产A和 B两种产品，生产1 单位 A产品需消耗1 单位煤，3 个劳动日，获利40 元，生产 1 单位 B产品需消耗2 单位煤，2 个劳动日，获利50 元；生产 A产品不必占用仓库，生产B产品在要占用仓库2 单位容量；煤还有30 单位，劳动日不超过60，仓库最大容量为24，如下面的表所示：A B 备用资源煤1 2 30 劳动日3 2 60 仓库0 2 24 利润40 50 问如何安排生产计划，使工厂获利最大？设生产 A和 B两种产品的数量分别为x1、x2，可建立以下线性规划模型：12min4050zxx121262303260.2240,1,2ixxxxstxxi名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 3 页 -
