2022年椭圆知识点总结及经典习题,推荐文档 .pdf

1 圆锥曲线与方程-椭圆知识点一椭圆及其标准方程1椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数212FFa的点的轨迹叫做椭圆，即点集 M=P|PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|=2c；这里两个定点 F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。（212FFa时为线段21FF，212FFa无轨迹）。2标准方程：222cab焦点在 x 轴上：12222byax（ab0）；焦点 F（c，0）焦点在 y 轴上：12222bxay（ab0）；焦点 F（0,c）注意：在两种标准方程中，总有ab0，并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：221xymn或者 mx2+ny2=1 二椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆12222byax（ab0）横坐标-axa,纵坐标-bxb（2）椭圆12222bxay（ab0）横坐标-b xb,纵坐标-axa 2.对称性椭圆关于 x 轴 y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）（2）线段 A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于 2b，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4 离心率名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -2（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22ca，即ac称为椭圆的离心率，记作 e（10e），22221()beaace0是圆；e越接近于 0（e 越小），椭圆就越接近于圆;e 越接近于 1（e 越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。小结一：基本元素（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量），特征三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线）5椭圆的的内外部（1）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab.（2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab.6.几何性质（1）点 P在椭圆上，最大角12122max,F PFF B F（2）最大距离，最小距离7.直线与椭圆的位置关系（1）位置关系的判定：联立方程组求根的判别式；（2）弦长公式：（3）中点弦问题：韦达定理法、点差法名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -3 例题讲解：一.椭圆定义：方程10222222yxyx化简的结果是2若ABC的两个顶点4,0,4,0AB，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程是3.已知椭圆22169xy=1上的一点 P到椭圆一个焦点的距离为3,则 P到另一焦点距离为二利用标准方程确定参数1.若方程25xk+23yk=1（1）表示圆，则实数k 的取值是 .（2）表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 .（3）表示焦点在 y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 .（4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 .2.椭 圆22425100 xy的 长 轴 长 等 于，短 轴 长 等 于,顶 点 坐 标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是，离心率等于 ,3椭圆2214xym的焦距为 2，则 m=。4椭圆5522kyx的一个焦点是)2,0(，那么k。三待定系数法求椭圆标准方程1若椭圆经过点(4,0)，(0,3)，则该椭圆的标准方程为。2焦点在坐标轴上，且213a，212c的椭圆的标准方程为3焦点在 x轴上，1:2:ba，6c椭圆的标准方程为4.已知三点 P（5，2）、1F（6，0）、2F（6，0），求以1F、2F为焦点且过点 P的椭圆的标准方程；变式：求与椭圆224936xy共焦点，且过点(3,2)的椭圆方程。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -4 四焦点三角形1椭圆221925xy的焦点为1F、2F，AB是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF 的周长是。2设1F，2F为椭圆400251622yx的焦点，P 为椭圆上的任一点，则21FPF的周长是多少？21FPF的面积的最大值是多少？3设点 P 是椭圆2212516xy上的一点，12,F F 是焦点，若12F PF是直角，则12F PF的面积为。变式：已知椭圆14416922yx，焦点为1F、2F，P 是椭圆上一点若6021PFF，求21FPF的面积五离心率的有关问题1.椭圆1422myx的离心率为21，则 m2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率 e为3椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为4.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。5.在ABC中，3,2|,300ABCSABA若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率 e六、最值问题：1、已知椭圆2214xy，A(1，0)，P 为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值最小值。2.椭圆2214xy两焦点为 F1、F2，点 P在椭圆上，则|PF1|PF2|的最大值为 _，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -5 七、弦长、中点弦问题 1、已知椭圆1422yx及直mxy线（1）当 m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程2 已知椭圆1222yx，(1)求过点（1,0）且被椭圆截得的弦长为22的弦所在直线的方程（2）求过点2121，P且被 P 平分的弦所在直线的方程；同步测试 1 已知 F1(-8，0)，F2(8，0)，动点 P满足|PF1|+|PF2|=16，则点 P的轨迹为()A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线 2、椭圆221169xy左右焦点为 F1、F2，CD为过 F1的弦，则CDF1的周长为 _ 3 已知方程22111xykk表示椭圆，则 k 的取值范围是()A-1k0 C k0 D k1或 k-1 4、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为 10，短轴长为 6 (2)长轴是短轴的 2 倍，且过点(2，1)(3)经过点(5，1)，(3，2)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -6 5.椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别是F1、F2，过点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于P点。若F1PF2=60，则椭圆的离心率为 _ 6 已知椭圆的方程为22143xy，P点是椭圆上的点且1260F PF,求12PF F的面积7.若椭圆的短轴为 AB，它的一个焦点为F1，则满足 ABF1为等边三角形的椭圆的离心率为8.椭圆13610022yx上的点 P到它的左焦点的距离是12，那么点 P到它的右焦点的距离是9已知椭圆)5(125222ayax的两个焦点为1F、2F，且821FF，弦 AB过点1F，则2ABF的周长10、椭圆32x22y=1与椭圆22x32y=(0)有 (A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对11、椭圆192522yx与125922yx（0kb0)的左、右焦点 F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是()A(0,1)B.0，22C.22，1D.0，222椭圆x2100y2641 的焦点为 F1、F2，椭圆上的点 P 满足 F1PF260，则F1PF2的面积是()A.64 33B.91 33C.16 33D.6433已知椭圆 E 的短轴长为 6，焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆 E 的离心率等于()4 已知点 F，A 分别是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足FB AB0，则椭圆的离心率等于()A.312B.512C.312D.5125 已知椭圆x24y221 的左右焦点分别为F1、F2，过 F2且倾角为 45 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点，以下结论中：ABF1的周长为 8；原点到 l 的距离为 1；|AB|83；正确结论的个数为()A3B2C1D0 6已知圆(x2)2y236 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线D抛物线7过椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的一个顶点作圆x2y2b2的两条切线，切点分别为A，B，若 AOB90(O 为坐标原点)，则椭圆 C 的离心率为 _名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -8 8 若椭圆x2a2y2b21(ab0)与曲线 x2y2a2b2无公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是_9已知 ABC 顶点 A(4,0)和 C(4,0)，顶点 B 在椭圆x225y291 上，则sinAsinCsinB_.10已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的长轴长为 4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线yx2 相切，求椭圆 C 的焦点坐标；.11椭圆 E 经过点 A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在 x 轴上，离心率 e12.(1)求椭圆 E 的方程；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -