2022年一元线性回归模型典型例题分析 .pdf

第二章一元线性回归模型典型例题分析例 1、令 kids 表示一名妇女生育孩子的数目，educ 表示该妇女接受过教育的年数。生育率对教育年数的简单回归模型为educkids10（1）随机扰动项包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？（2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。例 2已知回归模型NE，式中 E 为某类公司一名新员工的起始薪金（元），N为所受教育水平（年）。随机扰动项的分布未知，其他所有假设都满足。如果被解释变量新员工起始薪金的计量单位由元改为100 元，估计的截距项与斜率项有无变化？如果解释变量所受教育水平的度量单位由年改为月，估计的截距项与斜率项有无变化？例 3对于人均存款与人均收入之间的关系式tttYS使用美国36 年的年度数据得如下估计模型，括号内为标准差：)011.0()105.151(067.0105.384?ttYS2R0.5380 2 3.1 9 9?（1）的经济解释是什么？（2）和的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如果有冲突的话，你可以给出可能的原因吗？（3）对于拟合优度你有什么看法吗？（4）检验统计值？例 4下列方程哪些是正确的？哪些是错误的？为什么？yxtntt12,yxtnttt12,yxtnttt,1 2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 4 页 -,yxtnttt1 2yxtntt,1 2,yxtntt1 2yxtnttt,1 2,yxtnttt1 2其中带“”者表示“估计值”。例 5对于过原点回归模型iiiuXY1，试证明221)(iuXVar例 6、对没有截距项的一元回归模型iiiXY1称之为过原点回归（regression through the origin）。试证明（1）如果通过相应的样本回归模型可得到通常的正规方程组00iiiXee则可以得到1的两个不同的估计值：XY1，21?iiiXYX。（2）在基本假设0)(iE下，1与1?均为无偏估计量。（3）拟合线XY1?通常不会经过均值点),(YX，但拟合线XY1则相反。（4）只有1?是1的 OLS 估计量。解：（1）由第一个正规方程0te得0)(1ttXY或ttXY1名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 4 页 -求解得XY/1由第 2 个下规方程0)?(1tttXYX得21?tttXYX求解得)/()(?21tttXYX（2）对于XY/1，求期望11111)()1)(11)()(XXEnXEXXnEXXYEEtttt这里用到了tX的非随机性。对于)/()(?21tttXYX，求期望)/()?(21tttXYXEE12212122)()1()()1()()1()()1(ttttttttttttEXXXXXXEXYXEX（3）要想拟合值XY1?通过点),(YX，X1?必须等于Y。但XXYXXttt21?，通常不等于Y。这就意味着点),(YX不太可能位于直线XY1?上。相反地，由于YX1，所以直线XY1?经过点),(YX。（4）OLS 方法要求残差平方和最小Min 212)?(tttXYeRSS关于1?求偏导得0)(?(2?11tttXXYRSS即0)?(1tttXYX名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 4 页 -21?iiiXYX可见1?是 OLS 估计量。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 4 页 -