2022年2022年利用空间向量求空间角教案设计 .pdf
实用标准文案精彩文档利用空间向量求空间角备课人：龙朝芬授课人：龙朝芬授课时间： 2016 年 11 月 28 日一、高考考纲要求：能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、 面面角问题 体会向量法在立体几何中的应用二、命题趋势：在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多. 三、教学目标知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；情感态度价值观： 通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力. 四、教学重难点重点：用向量法求空间角线线角、线面角、二面角；难点：将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程（一）空间角公式1、异面直线所成角公式：如图， 设异面直线l，m的方向向量分别为a,b, 异面直线l，m所成的角为，则coscos,a ba ba b. mbal名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 实用标准文案精彩文档2、线面角公式：设直线l为平面的斜线，a为l的方向向量，n为平面的法向量，为l与所成的角，则sincos,a na na n. 3、面面角公式：设1n，2n分别为平面、的法向量，二面角为，则12,n n或12,n n（需要根据具体情况判断相等或互补），其中121212cos,nnn nn n. （二）典例分析如图，已知：在直角梯形OABC中，/OA BC，90AOC，SO面OABC，且1,2OSOCBCOA.求：（1）异面直线SA和OB所成的角的余弦值；（2）OS与面SAB所成角的正弦值；（3）二面角BASO的余弦值 . OO A B C S na名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 实用标准文案精彩文档解：如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O，(2,0,0)A，(1,1,0)B，(0,1,0)C，(0,0,1)S，于是我们有(2,0, 1)SA，( 1,1,0)AB，(1,1,0)OB，(0,0,1)OS，（1）210cos,552SA OBSA OBSA OB，所以异面直线SA和OB所成的角的余弦值为105. （2）设平面SAB的法向量( , , )nx y z，则0,0,n ABn SA，即0,20.xyxz取1x，则1y，2z，所以(1 ,1,2)n，26sincos,316OS nOS nOS n. （3）由（ 2）知平面SAB的法向量1(1,1,2)n，又OC平面AOS，OC是平面AOS的法向量，令2(0,1,0)nOC，则有12121216cos,661nnn nnn. 二面角BASO的余弦值为66. （三）巩固练习1、在长方体1111ABCDABC D中，2AB，11BCAA，点E、F分别11AC，1AD的中点，求：（1）异面直线EF和CD所成的角的余弦值； （2）11D C与平面11ABC所成角的正弦值；（3）平面11ABC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 实用标准文案精彩文档解析：以D为原点，分别以射线DA，DC，1DD，为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz，由于2AB，11BCAA，所以(0, 0,0)D，(0,2,0)C，1(,1,1)2E，11(,0,)22F，1(1,0,1)A，(1,2,0)B，1(0,2,1)C，1(0,0,1)D， 则1( 0 , 1 ,)2EF，(0,2,0)DC，11( 1,2,0)AC，1( 1,0,1)BC，11(0,2,0)DC. （1）2 5cos,5EFDCEF DCEFDC，异面直线EF和CD所成的角余弦值为2 55；（2）设平面11ABC的法向量( , , )nx y z，则有则1110,0,n ACn BC，即20,0.xyxz令2x，则1y，2z，所以(2,1,2)n，又设11D C与平面11ABC所成的角为，则11111121sincos,233D CnD CnD Cn. （3）由（ 2）知平面11ABC的法向量1(2,1,2)n，又1DD平面ABCD，1DD是平面ABCD的法向量，令21(0,0,1)nDD，则12121222cos,3 13nnn nnn. 故所成的锐二面角的余弦值为23. 2、如图所示，四棱锥PABCD，ABC为边长为2的正三角形，3CD，1AD，PO垂直于平面ABCD于O，O为AC的中点，1PO，求：（1）异面直线AB与PC所成角的余弦值；（2）平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 实用标准文案精彩文档解： （）如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，因为AD=1，CD=3 ，AC=2，所以ADCD，DAC=3，AD BC(000)A， ，(31 0)B，(3 10)C，(0 1 0)D，31022O， ，31122P， ， 则(31 0)AB，31122CP，12cos4|22ABCPAB CPABCP，异面直线AB与PC所成角的余弦值为24（）设平面PAB法向量为1n=(x1，y1，z1) ，可得111113102230 xyzxy，令11x，则1(133)n，又311(3 00)22DPDC， ，设平面PCD法向量为2222()nxyz，可得22223102230 xyzx，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 实用标准文案精彩文档令21y，则2n =10 12，则121212105cos=| |35n nnnn n，平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为10535（四）课堂小结1用向量来求空间角，都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算，问题的关键在于确定对应线段的向量2合理建立空间直角坐标系(1) 一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线， 以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点(2) 建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系 易错防范 1利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同2求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角（五）课后作业三维设计课时跟踪检测（四十八）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -
