2022年二次型化为标准形的几种方法 .pdf

1 二次型化为标准形的几种方法摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法。正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。关键词：正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法Several Methods of Changing the Quadratic into the Standard Abstract：Quadratic is the important content should study algebra,in our studies of quadratic problem,for convenience,will usually be quadratic into standard form.This is both a key is a difficulty,this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method,method:match method,elementary transformation,jacobian method,partial derivative method.The text introduces several methods defined and concrete step,simultaneously gives appropriate examples to illustrate.Among them,the partial derivative method and match method and similar,but the former has the fixed steps,and match method need to observed to formula.Keywords:orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method 1.引言二次型是代数学中的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形，本文介绍了五种化二次型为标准形的方法，各种方法的解题思路步骤及依据在正文部分都有详细的说明，并且每种方法后面配有例题这样理解起来就会更加容易。正交变换法是常用的方法之一，需要求出特征值，特征值就是对应的平方项的系数；配方法需要通过观察依次对每项配方，直到各项全部配成平方为止；初等变换法用一系列的合同变换将二次型矩阵化成与之合同形式上又比较简单的对角矩阵；雅可比方法相对其他方法更为简便，但是它要求二次型矩阵的各阶顺序主子式都名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 14 页 -2 不为零，然后通过固定的公式确定平方项的系数；偏导数法的实质与配方法是一样的，但是偏导数法有固定的步骤，相对更好实施。2.正交变换法由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性变换将此实二次型化简成为不含混合项的形式。定理 11 任意一个实二次型11nnijijija x x，ijjiaa 都可以经过正交的线性替换变成平方和2221122.nnyyy 其中平方上的系数12,.n就是矩阵 A 的特征多项式的全部的根。2.1 解题步骤1将实二次型表示成矩阵形式TAXfX并写出矩阵A。2求出矩阵A的所有特征值12,.n，可能会出现多重特征值，分别记它们的重数为21,nk kk（21nkkk=n）3求出每个特征值所对应的特征向量21,n，列出方程1()0EA X，能解出与1对应的1k 个线性无关的特征向量。同理，对其他的特征值2,n也是采用此方法求出与之对应的特征向量。因为21nkkk=n，所以一共能出 n个特征向量。4将所求出的 n个特征向量21,n先后施行正交化，单位化得到21,n，记为C=21)(,Tn5作正交变换XCY,则得二次型f的标准形f=2221122.nnyyy例 1 用上面所述的方法化下面的二次型222212341234121314232434,)264462(xx xxxxxx xx xx xx xx xx xf x为标准形。解：（1）首先写出原二次型的矩阵名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 14 页 -3 A=1132112332112311由A的特征多项式EA=1132112332112311=(3)(7)(1)(1)从而得A的特征值为1=-3，2=7，3=-1，4=1（2）求特征向量，将1=-3 带入1()0EA X中，得到方程12341234123412324320423032402340 xxxxxxxxxxxxxxxx解此方程可得出基础解系1=(1,1,1,1)，同样地，分别把2=7，3=-1，4=1 带入()0EA X中，解方程能够得出与2=7，3=-1，4=1 对应的基础解系依次为2=(1,1,1,1)，3=(1,1,1,1)，4=(1,1,1,1)（3）将所求出的特征向量正交化，方法如下：令1=1=(1,1,1,1)2=221111(,)(,)=(1,1,1,1)3=33132121122(,)(,)(,)(,)=(1,1,1,1)4=4434142123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)=(1,1,1,1)（4）将已正交的向量组单位化，如下：令名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 14 页 -4 iii（i=1,2,3,4）于是能够得到1=12(1,1,1,1)，2=12(1,1,1,1)，3=12(1,1,1,1)，4=12(1,1,1,1)所以C=12111 1111 111111111于是所求正交变换为1234xxxx=12111 1111 1111111111234yyyy原二次型化为f=2222123173yyyy3.配方法配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()ijx x ij这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。定理 21 数域 P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221 122.nnd xd xd x 的形式。3.1 解题思路使用配方法化二次型为标准形时，视具体情况又可以将二次型分为下面两种不同的情形：1如果二次型含有ix 的平方项，那么先把含有ix 的乘积项集中，然后再配方，再对其余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 14 页 -5 2如果所给二次型中不含有ix 平方项，但是0ija()ij,我们就可以用前面所提到的方法构造出平方项，可以先做出可逆的线性变换.iijjijkkxyyxyyxy,(1,2,kn且,)ki j代入到原二次型中，这时二次型中就含有平方项了，然后再按照上述1中的方法进行配方。例 2 用上述所给出的方法化二次型23(,)f x x x22112223224xx xxx x 为标准形，写出所用的变换矩阵。解：原二次型中含有ix 的平方项，先将含有1x 的项集中，利用平方和公式消去12xx，然后对2x 配平方，消去23x x 项。此过程为23(,)f x x x221122(2)xx xx222233(44)xx xx234x2221223324xxxxx于是作非退化的线性替换：11221233yxxyxxyx11232233322xyyyxyyxy即123xxx112012001123yyy于是就得到23(,)f x xx2221234yyy所用的变换矩阵为C112012001名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 14 页 -6 且有C AC100110001110122020112012001100010004例 3 将二次型23(,)f x x x=121323422x xx xx x 化为标准形，并写出所用的变换矩阵。解：由于所给的二次型中无ix 平方项，就需要构造出平方项，令11221233xyyxyyxy即123xxx110110001123yyy代入到原二次型中有23(,)f x x x12121231234()()2()2()yyyyyyyyyy221213444yyy y此时就可以按照情形1 中的步骤进行，将含有1y的项集中，消去13y y项，再分别对2,3y y配平方即可。所以有23(,)f x x x221213444yyy y2222113332444yy yyyy222133224yyyy作非退化线性替换11322332zyyzyzy11222331122yzzyzyz即名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 14 页 -7 123yyy11022010001123zzz于是能够得到23(,)f x xx2221234zzz所用的变换矩阵为C110110001110220100011112211122001且有C AC110221101112202120111011122111220011000400014.初等变换法从以上配方法的过程可以看出，将一般二次型通过配方法化成标准形，实际上就是通过一系列的可逆线性替换将n 个元逐渐配方的过程，从上述例2，例 3也可以看出，这个过程可以用矩阵的形式来表示，这就是将二次型化为标准形的第三种方法-初等变换法。这种方法的实质就是将二次型矩阵通过一系列的合同变换（即进行矩阵的初等行、列变换），一步一步地化成与它是合同的且在形式上又比较简单的矩阵，最后化成对角矩阵的过程。定理 31在数域 P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵。定理 43对每个实对称矩阵A，存在初等矩阵12SPPP 使得2112TTTsSPP P APPP(diag12,nd dd)根据初等矩阵的有关性质知，用初等矩阵左乘A相当于对A作一次初等行变换；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 14 页 -8 用初等矩阵右乘A相当于对A作一次初等列变换，再结合定理 3 知，对初等矩阵施行一个初等行变换，同时要对矩阵作一次相应的列变换，以保证每对变换作过以后得到的矩阵与原来的矩阵相合。4.1 解题步骤1写出二次型12,nfx xx的矩阵A,让A与E构造2nn矩阵AE2对A进行初等行变换和相同的初等列变换，化成与A合同形式上简单的矩阵，直至将A化成对角矩阵；但是对E只进行其中的列变换。3写出2过程中所进行的一系列可逆线性变换XCY化原二次型为12,nfx xxY DY为理解方便，此过程可用图表示如下AEAE对 进行同样的初等行、列变换对只进行其中的列变换DC例 4 用上述方法将二次型23(,)f x xx22211213223322243xx xx xxx xx解：首先写出二次型23(,)f x xx的矩阵A111122123然后构造出6 3矩阵AE111122123100010001111013032100010001100013032111010001100010037114013001100010007114013001名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 14 页 -9 从上过程可以看出C114013001,最后作可逆线性替换XCY，则23(,)f x x xY100010007Y5.雅可比方法此种方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式（也即雅可比行列式）来确定标准形中各平方项的系数。这种方法较为简便，但是有条件限制，它需要二次型的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零。5.1 解题思路设二次型,1nijiji jfa x x，ijjiaa，首先将二次型写成12,nfx xxX AX的形式，写出矩阵A，如果A的顺序主子式iA0(1,2,)in，即1A11a,2A11122122aaaa，1nA11121,121222,11,11,21,1nnnnnnaaaaaaaaa，nA111212122212nnnnnnaaaaaaaaa都不等于零，那么二次型12,nfx xx必可以化为如下的标准形：12,nfx xx1A21y21AA22y1nnAA2ny例 5 用雅可比方法将二次型23(,)f x x x22211213223322243xx xx xxx xx 化为标准形。解：首先写出二次型23(,)f x xx的矩阵A，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 14 页 -10 A111122123然后分别求出A的顺序主子式：11A，211112A，31111227123A23(,)f x x x23222112312AAA yyyAA2221237yyy6.偏导数法偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间的关系这一原理，依据配方法提出的化二次型为标准形的新方法，配方法需要仔细观察然后进行配方，而这种方法具有固定的程序，可以按步骤一步一步进行计算。因此，能够提高准确性易于理解，同时求解过程也更加简单。6.1 解题思路与配方法类似，运用此方法时，同样也要将二次型分两种情形来讨论。情形 1：如果二次型12,nfx xx中含有ix 的平方项，即iia1,2,in 至少有一个不为零时，不妨设11a 不等于零，首先求出f对1x 的偏导数1fx，则有1112ffx，再根据12,nfx xx=21111fga，通过计算对比可以得出g，此时g中已不含1x，再求出g对2x的偏导数2gx，记1212ggx，此时12,nfx xx2211112211fguaa，（11a 为12,nfx xx中21x 的系数，22a为g中22x 的系数），u 中已不含2x，照这种程序继续运算，最终可将二次型化为标准形。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 14 页 -11 情形 2 如果二次型12,nfx xx中不含ix 的平方项，即所有的含iia1,2,in全等于零，但是至少有一1(1)jaj不等于零，不妨设12a不等于零，首先求出f对1x的偏导数1fx，f对2x 的偏导数2fx，令1112ffx，2212ffx，此时12,nfx xx221212121ffffa，其中已不含12,x x 的项。观察的结构，如果中含有ix 的平方项，则按照情形1 中的方法进行计算，如果中仍然不含ix 的平方项，则按照上述的步骤继续计算，直至将二次型化为标准型。例 6 用偏导数法化二次型23(,)f x xx22212312232422xxxx xx x 为标准形。解：原二次型中含有ix 的平方项，符合情形1，首先求出f对1x 的偏导数1fx1222xx，1112ffx12xx23(,)f x xx21111fga212xxg整理并与原二次型对比可得到22232342gxxx x再求出g对2x的偏导数2gx232 xx,1212ggx23xx23(,)f x xx2221131122115fgxaa222122335xxxxx令名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 14 页 -12 11222333yxxyxxyx112322333xyyyxyyxy于是23(,)f x x x2221235yyy所用的变换矩阵为111011001C且有C AC=100110111110121014111011001100010005例 7 用偏导数法化二次型23(,)f x xx121323422x xx xx x 为标准形。解：由于所给的二次型中无ix 平方项，符合情形2，分别求出f对1x 的偏导数1fx，f对2x 的偏导数2fx1fx2342xx，2fx1342xx1112ffx232xx，2132122ffxxx23(,)f x xx221212121ffffa整理上式并与原二次型作对比，可得23x于是能得到23(,)f x x x2223121231222224xxxxxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 14 页 -13 222312123xxxxxx222123yyy令112321233yxxxyxxyx1123212333111222111222xyyyxyyyxy可以得到所用的可逆矩阵为111222111222001C且有111110222220211111102012222211011001122C AC1000100017.小结化二次型为标准形的方法还有很多，上文中给出了五种化二次型为标准形的方法，但这不是绝对的，同一个二次型除了例题中举出的方法，还可以使用其他的方法，在这种情况下，要根据其特征，选择简便或熟悉的适当方法，才能够提高解题效率。二次型不仅是代数学研究的重要内容，而且它的应用也拓宽到物理学，工程学，经济学等领域，随之也会出现越来越多的解决这类问题的方法，这名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 14 页 -14 就需要同学们在学习中，善于发现知识间的联系并及时总结。参考文献1王萼芳，石生明.高等代数（第三版）M 北京：高等教育出版社，2007.2同济大学数学教研室.线性代数（第三版）M 北京：高等教育出版社，1999.3丘维声.高等代数（上册）M.北京：高等教育出版社，2002.4屠伯.线性代数方法导引M.上海：上海科技出版社，1986.5蓝以中.高等代数简明教程M.北京：北京大学出版社，2003.6王琳.用正交变换化实二次为标准形方法研究.J数学通讯，1990（3）.7李五明，张永金，张栋春.实二次型化为标准形的几种方法J和田师范专科学校学报（汉文综合版）2007，27（5）8郭佑镇.实二次型的化简及应用J 渭南师专学报（自然科学版）2000（2）.9胡明琼.把二次型化为标准形的方法J工程数学.1998，14（1）.10Jane M.Day,Dan KalmanTeaching Linear Algebra:Issues and ResourcesJ.The College 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