2022年模型组合讲解——渡河模型 .pdf

1 模型组合讲解渡河模型【模型概述】在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有效方法是看见的运动就是合运动。合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的实际效果进行分解。小船渡河和斜拉船等问题是常见的运动的合成与分解的典型问题【模型讲解】一、速度的分解要从实际情况出发例 1.如图 1 所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度0v拉水平面上的物体A，当绳与水平方向成角时，求物体A 的速度。图 1 解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A 的两个分运动。物体 A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于01vv；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度的值。这样就可以将Av按图示方向进行分解。所以1v及2v实际上就是Av的两个分速度，如图1 所示，由此可得coscos01vvvA。解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 7 页 -2 来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。设船在 角位置经 t 时间向左行驶x 距离，滑轮右侧的绳长缩短L，如图 2 所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有cosxL，两边同除以t 得：costxtL即收绳速率cos0Avv，因此船的速率为：cos0vvA图 2 总结：“微元法”。可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子的拉力为F，则对绳子做功的功率为01FvP；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率为cos2AFvP，因为21PP所以cos0vvA。评点：在上述问题中，若不对物体A 的运动认真分析，就很容易得出cos0vvA的错误结果；当物体A 向左移动，将逐渐变大，Av逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物体 A却在做变速运动。总结：解题流程：选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 7 页 -3 确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；作出速度分解的示意图，寻找速度关系。二、拉力为变力，求解做功要正确理解例 2.如图 3 所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m 的重物，开始时人在滑轮的正下方，绳下端 A 点离滑轮的距离为H。人由静止拉着绳向右移动，当绳下端到 B点位置时，人的速度为v，绳与水平面夹角为。问在这个过程中，人对重物做了多少功？图 3 解析：人移动时对绳的拉力不是恒力，重物不是做匀速运动也不是做匀变速运动，故无法用cosFsW求对重物做的功，需从动能定理的角度来分析求解。当绳下端由A 点移到 B点时，重物上升的高度为：sin)sin1(sinHHHh重力做功的数值为：sin)sin1(mgHWG当绳在 B 点实际水平速度为v 时，v 可以分解为沿绳斜向下的分速度1v和绕定滑轮逆时针转动的分速度2v，其中沿绳斜向下的分速度1v和重物上升速度的大小是一致的，从图中可看出：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 7 页 -4 cos1vv以重物为研究对象，根据动能定理得：02121mvWWG人2cossin)sin1(22mvmgHW人【实际应用】小船渡河两种情况：船速大于水速；船速小于水速。两种极值：渡河最小位移；渡河最短时间。例 3.一条宽度为L的河，水流速度为水v，已知船在静水中速度为船v，那么：（1）怎样渡河时间最短？（2）若水船vv，怎样渡河位移最小？（3）若水船vv，怎样渡河船漂下的距离最短？解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如图4 所示。设船头斜向上游与河岸成任意角。这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为sin1船vv，渡河所需要的时间为sin1船vLvLt，可以看出：L、v船一定时，t 随 sin增大而减小；当90时，1sin（最大）。所以，船头与河岸垂直船vLtmin。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 7 页 -5 图 4（2）如图 5 所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度 v 的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度，所以有水船vvcos，即船水vvarccos。图 5 因为1cos0，所以只有在水船vv时，船才有可能垂直河岸渡河。（3）若水船vv，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图 6 所示，设船头 v船与河岸成 角。合速度 v 与河岸成 角。可以看出：角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下 角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当 v 与圆相切时，角最大，根据水船vvcos名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 7 页 -6 图 6 船头与河岸的夹角应为水船vvarccos，船沿河漂下的最短距离为：sin)cos(min船船水vLvvx此时渡河的最短位移：船水vLvLscos误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最小对应。【模型要点】处理“速度关联类问题”时，必须要明白“分运动”与“合运动”的关系：（1）独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（分分、sv）互不干扰。（2）同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。功是中学物理中的重要概念，它体现了力对物体的作用在空间上的累积过程，尤其是变力做功中更能体现出其空间积累的过程。所以在处理变力功可采用动能定律、功能原理、图象法、平均法等。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 7 页 -7【模型演练】（2005 祁东联考）小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，dvkkxv04，水，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为0v，则下列说法中正确的是（）A.小船渡河的轨迹为曲线B.小船到达离河岸2d处，船渡河的速度为02vC.小船渡河时的轨迹为直线D.小船到达离河岸4/3d处，船的渡河速度为010v答案：A 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 7 页 -