2022年一次函数复习讲义 .pdf

学习好资料欢迎下载一次函数的图象和性质一、知识要点：1、一次函数：形如y=kx+b(k 0,k,b为常数)的函数。注意：（1）k0,否则自变量 x 的最高次项的系数不为1；（2）当 b=0 时，y=kx，y 叫 x 的正比例函数。2、图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个常有的特殊点：与y 轴交于（0，b）；与 x 轴交于（-，0）（2）由图象可以知道，直线y=kx+b 与直线 y=kx 平行，例如直线：y=2x+3 与直线 y=2x-5 都与直线 y=2x平行。3、性质：(1)图象的位置:(2)增减性k0 时，y 随 x 增大而增大k0 时，y 随 x 增大而减小4求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种(1)由已知函数推导或推证(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。(3)用待定系数法求函数解析式。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 13 页 -学习好资料欢迎下载“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：利用一次函数的定义构造方程组。利用一次函数y=kx+b 中常数项 b 恰为函数图象与y 轴交点的纵坐标，即由b 来定点；直线y=kx+b平行于 y=kx，即由 k 来定方向。利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。利用题目已知条件直接构造方程。二、例题举例：例 1已知 y=，其中=(k 0 的常数)，与成正比例，求证y 与 x 也成正比例。证明：与成正比例，设=a(a 0 的常数),y=,=(k 0 的常数),y=a=akx，其中 ak0 的常数，y 与 x 也成正比例。例 2已知一次函数=(n-2)x+-n-3 的图象与 y 轴交点的纵坐标为-1，判断=(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。解：依题意，得解得 n=-1，=-3x-1,=(3-)x,是正比例函数；=-3x-1 的图象经过第二、三、四象限，随 x 的增大而减小；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 13 页 -学习好资料欢迎下载=(3-)x 的图象经过第一、三象限，随 x 的增大而增大。说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n 的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y 轴交点纵坐标”来构造方程。例 3直线 y=kx+b 与直线 y=5-4x 平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y 轴上，求此直线解析式。分析：直线 y=kx+b 的位置由系数k、b 来决定：由k 来定方向，由b 来定与 y 轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k 相等。例 y=2x,y=2x+3的图象平行。解：y=kx+b 与 y=5-4x 平行，k=-4,y=kx+b 与 y=-3(x-6)=-3x+18相交于 y 轴，b=18，y=-4x+18。说明：一次函数 y=kx+b 图象的位置由系数k、b 来决定：由k 来定方向，由b 来定点，即函数图象平行于直线 y=kx，经过(0,b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与 y 轴交点定 b。例 4直线与 x 轴交于点 A（-4，0），与 y 轴交于点 B，若点 B 到 x 轴的距离为 2，求直线的解析式。解：点 B到 x 轴的距离为2，点 B的坐标为（0，2），设直线的解析式为y=kx2,直线过点A（-4，0），0=-4k 2,解得：k=,直线 AB 的解析式为 y=x+2 或 y=-x-2.说明：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。（1）图象是直线的函数是一次函数；（2）直线与 y 轴交于 B点，则点 B（0，）；（3）点 B到 x 轴距离为 2，则|=2；（4）点 B 的纵坐标等于直线解析式的常数项，即b=；（5）已知直线与y 轴交点的纵坐标，可设 y=kx+，下面只需待定k 即可。例 5已知一次函数的图象，交x 轴于 A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点 B在第三象限，它的横坐标为-2，AOB的面积为 6 平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。分析：自画草图如下：解：设正比例函数y=kx，一次函数 y=ax+b，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 13 页 -学习好资料欢迎下载点 B在第三象限，横坐标为-2，设 B（-2，），其中0，=6，AO|=6，=-2，把点 B（-2，-2）代入正比例函数y=kx，得 k=1 把点 A（-6，0）、B（-2，-2）代入 y=ax+b，得解得：y=x,y=-x-3 即所求。说明：（1）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式，注意两个函数中的系数要用不同字母表示；（2）此例需要把条件（面积）转化为点 B 的坐标。这个转化实质含有两步：一是利用面积公式AO BD=6（过点 B 作 BD AO于 D）计算出线段长BD=2，再利用|=BD 及点 B 在第三象限计算出=-2。若去掉第三象限的条件，想一想点B的位置有几种可能，结果会有什么变化？（答：有两种可能，点B可能在第二象限（-2，2），结果增加一组y=-x,y=(x+3).例 6已知正比例函数y=kx(k0)图象上的一点与原点的距离等于13，过这点向x 轴作垂线，这点到垂足间的线段和x 轴及该图象围成的图形的面积等于30，求这个正比例函数的解析式。分析：画草图如下：则 OA=13，=30，则列方程求出点A 的坐标即可。解法 1：设图象上一点A（x,y）满足解得：；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 13 页 -学习好资料欢迎下载代入 y=kx(k1 时，BCD=ABD，BDC=ADB，BCD ABD，=-=8-22x+5=0 x1=,x2=,经检验：x1=,x2=,都是方程的根。x=,不合题意，舍去。x=，D点坐标为（,0）。设图象过 B、D 两点的一次函数解析式为y=kx+b，所求一次函数为y=-x+（2）若点 D在点 C 左侧则 x1，可证 ABC ADB，-8-18x-5=0 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 13 页 -学习好资料欢迎下载x1=-,x2=,经检验 x1=-,x2=,都是方程的根。x2=不合题意舍去，x1=-,D点坐标为（-,0），图象过 B、D（-,0）两点的一次函数解析式为y=4x+综上所述，满足题意的一次函数为y=-x+或 y=4x+.例 8已知：如图一次函数y=x-3 的图象与 x 轴、y 轴分别交于A、B两点，过点C（4，0）作 AB的垂线交 AB于点 E，交 y 轴于点 D，求点 D、E的坐标。解：直线 y=x-3 与 x 轴交于点 A（6，0），与 y 轴交于点 B（0，-3），OA=6，OB=3，OA OB，CD AB，ODC=OAB，cot ODC=cot OAB,即OD=8.点 D的坐标为（0，8），设过 CD的直线解析式为y=kx+8,将 C(4,0)代入0=4k+8,解得 k=-2 直线 CD：y=-2x+8,由解得点 E的坐标为（，-）说明：由于点 E既在直线 AB上，又在直线CD上，所以可以把两直线的解析式联立，构成二元一次方程组，通过解方程组求得。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 13 页 -学习好资料欢迎下载一次函数综合提高题第一部分：灵活应用1.如果一次函数y=mx+1 与 y=nx 2 的图象相交于x 轴上一点，那么 m n=2.一次函数3yx与2yxb的图象交于y轴上一点，则b3.直线ymxn如图所示，化简：2mnm4.如图，相交于P（2，2）点的互相垂直的直线1l与 x 轴的正半轴交点为 A，2l与 y 轴的正半轴交点为B，则四边形OAPB 的面积为_.5.平行四边形ABCD 的对角线交点O 为直角坐标系的坐标原点，点A（2，1），点 B（21，1），则点 C 和 D 的坐标分别为 _ 6.已知点 P（x，2）和点 Q（3，y）不重合，则当 P、Q 关于 _对称时，x=3，y=2；当 PQ 垂直 y 轴，x_，y_.7.若一次函数32yxm和12yxn的图象都经过点(2 0)，且与y轴分别交于BC、两点，那么ABC的面积是8.若函数2(1)2ymxm与y轴的交点在x轴的上方，且10mm，为整数，则符合条件的m有9.点 P坐标为（a2，63a），且点 P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是10.已知直线233yx与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线2yxb经过点B且与x轴交于点C，求ABC的面积11.已知一次函数y=kx+b 的图象过点（1，2），且与 y 轴交于点P，若直线 y=0.5x+2 与 y轴的交点为Q，点 Q 与点 p 关于 x 轴对称，求这个函数解析式.O yxymxn（第 3 题）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 13 页 -学习好资料欢迎下载12.已知直线y=2x+1（1）求已知直线与y 轴交点 M 的坐标；（2）若直线y=kx+b 与已知直线关于y 轴对称，求k，b 的值13.已知 y+2 与 x 成正比例，且x=-2 时，y=0（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x 取何值时，y0？（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；（5）设点 P在 y 轴负半轴上，（2）中的图象与x 轴、y 轴分别交于A，B两点，且SABP=4，求 P点的坐标14.已知 y+a 与 x+b（a，b 为是常数）成正比例（1）y 是 x 的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，y 是 x 的正比例函数？15.如图，直线L：221xy与 x 轴、y 轴分别交于A、B两点，在 y 轴上有一点C（0，4）,动点 M从 A点以每秒 1 个单位的速度沿x 轴向左移动。（1）求 A、B两点的坐标；（2）求 COM 的面积 S与 M的移动时间t 之间的函数关系式；（3）当 t 何值时 COM AOB，并求此时M点的坐标。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 13 页 -学习好资料欢迎下载一次函数增减性与不等式1.已知点（-4，y1），（2，y2）都在直线y=-12 x+b 上，则 y1、y2大小关系是2.已知关于x 的不等式 ax10（a0）的解集是x1，则直线 yax1 与 x 轴的交点是3.若正比例函数y=(2 3m)x 的图象经过点A（x1，y1）和 B（x2，y2），且当x1x2时，y1y2，则 m的取值范围是4.已知 2xy0，且 x5y，则 x 的取值范围是 _5、如图，已知函数y3xb 和 yax3 的图象交于点P(2，5)，则根据图象可得不等式 3xbax3 的解集是 _。O22-2-2xyy3xb yax3 6、如图，一次函数 y1k1xb1与 y2k2xb2的图象相交于A(3，7，则不等式(k2k1)xb2b10 的解集为 _ 8.已知不等式x53x3 的解集是 x2，则直线 y x5 与 y3x3?的交点坐标是_9.无论 m 取何实数，直线y=x+3m 与 y=x+1 的交点不可能在第_象限.10、下图中表示一次函数ymx+n与正比例函数ym nx(m，n 是常数，且mn 0)图像的是()11.已知一次函数ykxk，其在直角坐标系中的图象大体是（）12.如图所示，已知正比例函数(0)ykx k的函数值y随x的增大而增大，则一次函数BAAy1y2yxO名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 13 页 -学习好资料欢迎下载yxk的图象大致是（）3Oy2=xay1=kxb13 题图 14题图13 已知一次函数ykxb的图象如图所示，当x1 时，y 的取值范围是A、2y 0 B、4y0 C、y 2 D、y 4 14、一次函数 y1kxb 与 y2xa的图象如图，则下列结论 k0；a0；当 x3 时，y1y2中，正确的个数是（）A、0 B、1 C、2 D、3 15下面图象中，关于x 的一次函数ymx(m3)的图象不可能是()16.如果 x，y 满足不等式组3050 xxyxy，那么你能画出点(x，y)所在的平面区域吗?0 2 4 x y x y x y x y x y DBA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 13 页 -学习好资料欢迎下载17.一次函数y=kx b 的自变量的取值范围是3 x 6，相应函数值的取值范围是5y2，求这个一次函数的解析式。18小华准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有62 元，?从现在起每个月存12元，小华的同学小丽以前没有存过零用钱，听到小华在存零用钱，?表示从现在起每个月存20 元，争取超过小华（1）试写出小华的存款总数y1与从现在开始的月数x?之间的函数关系式以及小丽存款数 y2与与月数x 之间的函数关系式；（2）从第几个月开始小丽的存款数可以超过小华？19.如图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象（分别为正比例函数和一次函数）.两地间的距离是80 千米.请你根据图象回答或解决下面的问题：（1）谁出发的较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？（3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 13 页 -学习好资料欢迎下载一次函数与方程和方程组1、已知 y1=4bx4,y2=2ax+4a+b（1）求 a、b 为何值时，两函数的图象重合？（2）如果两直线相交于点（1，3），求 a、b 的值.2、在解方程组时，想必你曾碰到过方程组无解的情况，如。学过“一次函数与方程组”后，你能用一次函数的图象来解释这种情况吗？请用上面的例子画图说明。3.已知0720634zyxzyx,则zyxzyx=？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 13 页 -