2022年职高数学各章节知识点汇总 2.pdf

1 第一章 集合一、集合的概念1、集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性。2、元素与集合的关系：AaAa,3、常用数集集合名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示N N或N*Z Q R 二、集合之间的关系注：1、子集:一个集合中有n 个元素，则这个集合的子集个数为n2，真子集个数为12n。2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。三、集合之间的运算 1、交集：BxAxxBA且|2、并集：BxAxxBA或|3、补集：AxUxxACU,|且四、充要条件：qp，p是q的充分条件，q是p的必要条件。qp，p是q的充要条件，q是p的充要条件。第二章不等式一、不等式的基本性质：1、加法法则：2、乘法法则：3、传递性：4、移项：二、一元二次不等式的解法acb42000二次函数的图象)0(2acbxaxyy x o x1x2y x o y x o x1=x2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 16 页 -2 注：当0a时，可先把二次项系数a化为正数，再求解。三、含有绝对值不等式的解法：axaaaxaxaxaax)0(|)0(|或第三章 函数一、函数的概念：1、函数的两要素：定义域、对应法则。函数定义域的条件：（1）分式中的0分母；（2）偶次方根的被开方数0；（3）对数的真数0，底数10且；（4）零指数幂的底数0。2、函数的性质：（1）单调性：一设二求三判定设：21,xx是给定区间（）上的任意两上不等的实数函数为减函数函数为增函数00)()(1212xyxyxfxfyxxx（2）奇偶性：判断方法：先判断函数的定义域是否关于原点对称，再看)(xf与)(xf的关系：)()(xfxf偶函数；)()(xfxf奇函数；)()(xfxf非奇非偶图象特征：偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称。二、一次函数 1、)0(kbkxy一元二次方程的根)0(02acbxax有两个不等的实根)(,2121xxxx有两个相等的实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21|xxxxx或abxx2|R的解集)0(02acbxax21|xxxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 16 页 -3 当0b时kxy为正比例函数、奇函数，图象是过原点的一条直线。2、一次函数的单调性四象限。，减函数，图象定过二象限。增函数，图象定过一三0,0kk三、二次函数：1、解析式：)0()()(2122axxxxaykhxaycbxaxy两点式：顶点式：一般式：2、二次函数)0(2acbxaxy的图象和性质)0(2acbxaxy0a0a图象开口方向向上向下开口大小|a越大，开口越小；|a越小，开口越大顶点坐标)44,2(2abacab对称轴abx2单调性在区间2,(ab上是减函数在区间),2ab上是增函数在区间2,(ab上是增函数在区间),2ab上是减函数最大值与最小值当abx2时，abacy442min当abx2时，abacy442max奇偶性当0b时，caxy2是偶函数，图象关于y轴对称第四章指数函数和对数函数一、有理指数y x y x 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 16 页 -4 1、零指数幂规定：)0(10aa 2、负整指数幂aa11；nnaa1（Nna,0）3、分数指数幂nnaa1；nmnmaa),(为既约分数且nmNnm 4、实数指数幂运算法则nmnmaaa；mnmnaaa；mnnmaa)(；mmmbaab)(（nmba,0,0为任意实数）二、指数函数函数指数函数)1,0(aaayx且a的范围1a10a图象定义域R 值域),0(性质（1）过点（0，1）（2）在 R上是增函数（3）当0 x时，1y当0 x时，10y（1）过点（0，1）（2）在 R上是减函数（3）当0 x时，10y当0 x时，1y三、对数1、对数的性质：对数恒等式NaNlog；1 的对数是零01loga；底的对数是1 1log aa2、对数的换底公式：)0,1,0,1,0(logloglogNbbaaaNNbba3、积、商、幂的对数：NMMNaaaloglog)(log；NMNMaaalogloglog；MpMapaloglog4、常用对数和自然对数：常用对数NNlglog10；自然对数)71828.2(lnlogeNNe四、对数函数y x o(0,1)y x o(0,1)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 16 页 -5 函数指数函数)1,0(logaaxya且a的范围1a10a图象定义域),0(值域R 性质（1）过点（1，0）（2）在),0(上是增函数（3）当1x时，0y当10 x时，0y（1）过点（1，0）（2）在),0(上是减函数（3）当1x时，当10 x时，0y第五章三角函数一、三角函数的有关概念1、所有与a 角终边相同的角表示为Zkk,360/2、象限角：a 为第一象限角，Zkkk,222 a 为第二象限角，Zkkk,2220y a 为第三象限角，Zkkk,2232 a 为第四象限角，Zkkk,22223 3、任意角三角函数定义：已知角终边上任意一点的坐标（，），（22yx）则xyarxaryatan,cos,sin 4特殊角的三角函数值表角 a 00030045060090018002700360弧度6432232sina 212223cosa 2322210 y x o(1,0y x o(1,0)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 16 页 -6 tana 333不存在不存在二、同角的三角函数关系式平方关系式：1cossin22aa商数关系式：aaacossintan三、诱导公式：为偶数）k(sin)sin(aka为奇数）k(sin-)sin(aka为偶数）k(cos)(cosaka为奇数）k(-cos)(cosaka为整数）k(tan)(tanaka四、两角和与差的三角函数sincoscossin)sin(aaasinsincoscos)cos(aaatantan1tantan)tan(aaa五、二倍角公式aaacossin22sinaaaaa2222sin211cos2sincos2cosaaa2tan1tan22tan六、正弦定理：CcBbAasinsinsin应用范围：（）已知两角与一边（）已知两边及其中一边的对角（两解，一解或无解）七、余弦定理：Abccbacos2222，Bbccabcos2222，Cbcbaccos2222应用范围：（）已知三边（）已知两边及其夹角八、三角形面积公式21 sinC=21bcsinA=21acsinB 九、三角函数性质：函数 sinx y=cosx y=tanx 定义域)2,2(kk值域【,】【,】周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 16 页 -7 单调性增函数,22,22kk减函数,223,22kk增函数,2,2kk减函数,2,2kk)2,2(kk上是增函数最值当kx22时取最大值当kx22时取最小值-当kx2时取最大值当kx2时取最小值-无最值图像第六章 等差数列等比数列名称等差数列等比数列定义daann 1(从第二项起)0(1qqaann通项公式an=a1+(n-1)d an=a1q1n(q 0)前 n 项和公式Sn=2)(1naan=a1n+2)1(nnd 当 q1 时，Sn=qqan1)1(1当 q=1 时，Sn=na1中项如果 a,A,b 三个数成等差数列等差中项公式A=2ba如果 a,G,b 三个数成等比数列等比中项公式：G2=ab 判定定义法：a1n-an=d(常数)中项法：a1n+a1n=2 an(n 2)定义法：nnaa1=q(常数)中项法：a1na1n=a2n(n 2）性质若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aqmnaadmn若 m+n=p+q,则 aman=apaqsn与 s1n的关系)2()1(11nSSnSannn三个数的设法daadx,)0(,qaqaqa名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 16 页 -8 第七章平面向量（一）有关概念向量：既有大小又有方向的量向量的大小：有向线段的长度。向量的方向：有向线段的方向。大小和方向是确定向量的两个要素。零向量：长度为0 的向量叫做零向量，零向量没有确定的方向，记作0。（二）向量的加法,减法(三)向量的运算律（四）向量的内积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把a b cos叫做a和b的内积，记作ab即 ab=a b cos注意：内积是一个实数，不在是一个向量。规定：零向量与任一向量的数量积是a0=0 a=（a，1,a2,）b=(b1,b2)ab=a1b1+a2b2(五)向量内积的运算律ab=ba（a）b=（ab）=a（b）（a+b）c=ac+bc（六）向量内积的应用a=（a，1,a2,）b=(b1,b2)向量的模：aaa|2221|aaaa与b的夹角:|cosbaba222122212211cosbbaababa(七)平面向量的坐标运算设a=（a，1,a2,）b=(b1,b2)则a+b=（a1+b1,a2+b2）a-b=（a1-b1,a2-b2）a=(a1,a2)数乘运算律）（a=（）a)(ba=a+b（）a=a+a（-1）a=-a加法运算律a+b=b+a（a+b）+c=a+（b+c）a+0=0+a=aa+（-a）=（-a）+a=0名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 16 页 -9 ab=a1b1+a2b2(八)两向量垂直，平行的条件设a=（a，1,a2）b=(b1,b2)则向量平行的条件：aba=bab a，1b2-a2b1=0 向量垂直的条件：abab=0 ab a，1b1+a2b2=0解析几何直线一、直线与直线方程 1、直线的倾斜角、斜率和截距（1）直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正向所成的最小正角，叫这条直线的倾斜角。（2）、倾斜角的范围：1800 2、直线斜率BAxxyyk1212tan(其中0,2,12Bxx)注：任何直线都有倾斜角，但不一定有斜率，当倾斜角为90时，斜率不存在。3、直线的截距在x轴上的截距，令0y求x在y轴上的截距，令0 x求y注：截距不是距离，是坐标，可正可负可为零。4、直线的方向向量和法向量（1）方向向量：平行于直线的向量,一个方向向量为),(),1(ABaka或(2)法向量：垂直于直线的向量，一个法向量为),(BAn二、直线方程的几种形式名称已知条件直线方程说明斜截式k和在y轴上的截距bbkxyk存在，不包括y轴和平行于y轴的直线点斜式),(00yxP和k)(00 xxkyyk存在，不包括y轴和平行于y轴的直线一般式CBA,的值0CByAxBA,不能同时为0 几种特殊的直线：（1）x 轴：0y名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 16 页 -10（2）Y轴：0 x（3）平行于X轴的直线：)0(bby（4）平行于Y轴的直线：)0(aax（5）过原点的直线；kxy（不包括 Y轴和平行于Y轴的直线）三、两条直线的位置关系位置关系斜截式一般式222111:bxkylbxkyl0:0:22221111CyBxAlCyBxAl平行2121,bbkk212121CCBBAA重合2121,bbkk212121CCBBAA相交21kk2121BBAA垂直121kk02121BBAA与直线0CByAx平行的直线方程可设为：)(0mCmByAx与直线0CByAx垂直的直线方程可设为：0mAyBx四、点到直线的距离公式：1、点),(00yx到直线0CByAx的距离2200|BACByAxd 2、两平行线0:0:2211CByAxlCByAxl间的距离2212|BACCd五、两点间距离公式和中点公式 1、两点间距离公式：212212)()(|yyxxAB 2、中点公式:22210210yyyxxx圆一、圆方程方程圆心坐标半径圆的标准方程222)()(rbyax),(bar名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 16 页 -11圆的一般方程022FEyDxyx)04(22FED)2,2(ED2422FEDR二、圆与直线的位置关系：1、圆心到直线的距离为d，圆的半径为r相切相交相离rdrdrd 2、过圆222ryx上点),(00yx的切线方程：200ryyxx 3、圆中弦长的求法：（1）222drl（d是圆心到弦所在直线的距离）（2）直线方程与圆方程联立4)(1(212212xxxxkl椭圆的标准方程及性质标准方程（）（）图像范围byax，aybx，对称轴关于 x 轴 y 轴成轴对称;关于原点成中心对称顶点坐标A1（-a，0）A2(a，0)，B1(0，-b)B2(0，b)A1(0，-a)A2(0，a)B1（-b，0）B2(b，0)焦点坐标F1(-c，0),F2(c，0)F1(0，-c),F2(0，c)半轴长长半轴长是a，短半轴长是b 焦距焦距是 2c ab，c 的关系a2=b2+c2 b2=a2-c2离心率)10(122eabace双曲线的标准方程及性质标准方程(a0,b0)(a0,b0)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 16 页 -12图像渐近线xabyxbay对称轴关于 x 轴 y 轴成轴对称顶点坐标A1（-a，0），A2 (a，0)A1(0，-a)，A2(0，a)焦点坐标F1(-c，0),F2(c，0)F1(0，-c),F2(0，c)离心率221abace(e1)ab，c 的关系c2=a2+b2 b2=c2-a2 a2=c2-b2 ca0,cb0 图形标准方程焦点坐标准线方程0,2p2px0,2p2px2,0p2py2,0p2py抛物线的标准方程及性质注意：一次变量定焦点，开口方向看负正，焦点准线要互异，四倍关系好分析。第九章 立体几何pxy220ppyx220ppyx220ppxy220p名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 16 页 -13mll直线与平面的位置关系线在面外线在面内线面平行线面相交图形lAll符号l/All证明线线平行方法用线面平行来实现用面面平行来实现用垂直来实现图形符号mlmll/mlml/若ml,则ml/证明线面平行方法用线线平行 实现。用面面平行 实现。图形符号/llmml/ll证明线线垂直方法用线面垂直 实现三垂线定理及其逆定理图形符号mlmlPOlOAlPAllmmlmllAOP名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 16 页 -14证明线面垂直方法用线线垂直 实现用面面垂直 实现图形符号lpbabablal,llmlm,证明面面平行方法用线线平行 实现用线面平行 实现图形符号/,/且相交且相交mlmlmmll/,/且相交mlml证明面面垂直方法用线面垂直 实现计算所成 二面角为直角图形符号ll空间角名称异面直线所成的角直线与平面所成的角平面一平面所成的角图形AOPnmlPlmmllmmll名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 16 页 -15范围90,0(90,0180,0方法1：平移，使它们相交，找到夹角。2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)(计算结果可能是其补角)1：找（作）垂线，找出射影，斜线与射影所成的角即是线面角，并证明。2：解三角形，求出线面角。1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。2：解三角形，求出二面角的平面角。1.若长方体的长宽高分别为a、b、c，则体对角线长为222cba，体积为abc2.hS底棱柱VhS31底椎体V3.球的表面积公式：2R4球S。体积公式：3R34V球第十章排列组合与二项式定理（一）排列1 排列的定义：从 n 个不同元素中，任取m（m n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列。mn叫选排列，m=n叫全排列。（排列与顺序有关）2 排列数的定义：从 n 个不同元素中每次取出m（m n）个元素进行排列，所有不同的排列个数，叫做从n 个不同元素中每次取出m个不同元素的排列数。记作Amn3 排列数的计算公式：Amn=n(n-1)(n-2)(n-m+1)其中(n,mN 且 m n)Ann=n(n-1)(n-2)321 4 n 的阶乘 n!=n(n-1)(n-2)321 Amn=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=)!(!mnnAnn=n!规定：0！=1（二）组合1 组合的定义：从 n 个不同元素中，任取m（m n）个元素，不管顺序并成一组，叫做从n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合。（组合与顺序有关）2 排列数的定义：从 n 个不同元素中取出m（m n）个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m个不同元素的组合数。记作Cmn3 组合数的计算公式：Cmn=mmmnAA=!)1()2)(1(mmnnnn其中(n,mN 且 m n)规定：C0n=1 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 16 页 -164 组合数的性质 Cmn=CmnnCmn 1=Cmn+C1mn（三）二项式定理公式（a+b）n=C0nan+C1na1nb+C1nnab1n+Cnnbn(2)通项公式T1r=Crnarnbr其中 Crn称为二项展开式中第r+1 项的系数(3)二项展开式的性质展开式共有n+1 项；a 的指数由n 逐渐递减 1 到 0.b 的指数由0逐渐递增1 到 n；二项式系数依次为C0n，C1n，C2n，Cnn，且第 r 项与倒数第r 项的二项式系数相等；n 为偶数时，展开式的项数为奇数项，展开式的中间一项二项式系数最大；n 为奇数时，展开式的项数为偶数项，中间两项二项式系数最大；（4）两个等式C0n+C1n+C2n+Cnn=2n（在二项式定理中，令a=b=1 可得）C0n+C2n+C4n+Cnn=21n（奇数项的二项式系数之和，偶数项的二项式系数之和都为21n）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 16 页 -