2022年2022年绝对值化简专题训练 .pdf

郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。绝对值化简专题训练2（有难度）绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零 即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数反之，相反数的绝对值相等也成立由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数例 1 a，b 为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)a+b=a+b；(2)ab=a b；(3)a-b=b-a；(4)若 a=b，则 a=b；(5)若 a b，则 ab；(6)若 ab，则 a b解(1)不对当a，b 同号或其中一个为0 时成立(2)对(3)对名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 9 页 -郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。(4)不对当a0 时成立(5)不对当b0 时成立(6)不对当ab0 时成立例 2 设有理数 a，b，c 在数轴上的对应点如图1-1 所示，化简 b-a+a+c+c-b 解 由图 1-1 可知，a0，b 0，c0，且有 c a b 0根据有理数加减运算的符号法则，有b-a 0，ac0，c-b 0再根据绝对值的概念，得b-a=a-b，a+c=-(a+c)，c-b=b-c 于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c例 3 已知 x-3，化简：3+2-1+x 分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号解 原式=3+2+(1+x)(因为 1+x0)=3+3+x=3-(3+x)(因为 3+x 0)=-x=-x名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 9 页 -郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。解 因为 abc 0，所以 a0，b0，c0(1)当 a，b，c 均大于零时，原式=3；(2)当 a，b，c 均小于零时，原式=-3；(3)当 a，b，c 中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当 a，b，c 中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1说明本例的解法是采取把a，b，c 中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用例 5 若 x=3，y=2，且 x-y=y-x，求 x+y 的值解 因为 x-y 0，所以 y-x 0，yx由 x=3，y=2 可知，x0，即 x=-3(1)当 y=2 时，x+y=-1；(2)当 y=-2 时，x+y=-5 所以 x+y 的值为-1 或-5例 6 若 a，b，c 为整数，且 a-b19+c-a 99=1，试计算 c-a+a-b+b-c 的值解 a，b，c 均为整数，则a-b，c-a 也应为整数，且a-b19，c-a99为两个非负整数，和为1，所以只能是a-b 19=0 且 c-a99=1，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 9 页 -郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。或a-b 19=1 且 c-a99=0 由有 a=b 且 c=a 1，于是 b-c=c-a=1；由有 c=a 且 a=b 1，于是 b-c=a-b=1无论或都有b-c=1 且 a-b+c-a=1，所以c-a+a-b+b-c=2解 依相反数的意义有x-y+3=-x+y-1999 因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有x-y+3=0 且 x+y-1999=0即由有 x-y=-3，由有 x+y=1999 -得2y=2002，y=1001，所以名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 9 页 -郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。例 8 化简：3x+1 +2x-1 分析本题是两个绝对值和的问题解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事例如，化简3x+1，只要考虑3x+1 的正负，即可去掉绝对值符号这里我们为三个部分(如图 12 所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 9 页 -郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。原式=(3x+1)+(2x-1)=5x即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”例 9 已知 y=2x+6+x-1-4 x+1，求 y 的最大值分析首先使用“零点分段法”将y 化简，然后在各个取值范围内求出y 的最大值，再加以比较，从中选出最大者解 有三个分界点：-3，1，-1(1)当 x-3 时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于 x-3，所以 y=x-1-4，y 的最大值是-4(2)当-3x-1 时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 9 页 -郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。由于-3x-1，所以-45x+11 6，y 的最大值是6(3)当-1x1 时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1x1，所以 0-3x+3 6，y 的最大值是6(4)当 x1 时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于 x 1，所以 1-x 0，y 的最大值是0综上可知，当x=-1 时，y 取得最大值为6例 10 设 abc d，求x-a+x-b+x-c+x-d 的最小值分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦 若能利用 x-a，x-b，x-c，x-d 的几何意义来解题，将显得更加简捷便利解 设 a，b，c，d，x 在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则 x-a 表示线段AX 之长，同理，x-b，x-c，x-d 分别表示线段BX，CX，DX 之长现要求x-a，x-b，x-c，x-d之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D 四点距离之和最小因为 abcd，所以 A，B，C，D 的排列应如图13 所示：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 9 页 -郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。所以当 X 在 B，C 之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)例 11 若 2x+4-5x+1-3x+4 的值恒为常数，求x 该满足的条件及此常数的值分析与解要使原式对任何数x 恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x 的项相加为零，即x 的系数之和为零故本题只有2x-5x+3x=0一种情况因此必须有4-5x=4-5x 且 1-3x=3x-1 故 x 应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7练习二1x 是什么实数时，下列等式成立：(1)(x-2)+(x-4)=x-2+x-4；(2)(7x+6)(3x-5)=(7x+6)(3x-5)2化简下列各式：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 9 页 -郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。(2)x+5+x-7+x+10 3若 ab0，化简 a+b-1-3-a-b 4已知 y=x+3+x-2-3x-9，求 y 的最大值5设 T=x-p+x-15+x-p-15，其中 0p15，对于满足px15 的 x 来说，T 的最小值是多少？6已知 ab，求 x-a+x-b 的最小值7不相等的有理数a，b，c 在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果 a-b+b-c=a-c，那么 B 点应为()(1)在 A，C 点的右边；(2)在 A，C 点的左边；(3)在 A，C 点之间；(4)以上三种情况都有可能名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 9 页 -