2022年数学运算&解题技巧可用 .pdf

1 数量关系数学运算一、题型概要及解题技巧考查 四则运算及应用题的解决能力。要求快速、准确进行计算。要求掌握专业解题方法。技巧：基本知识、基本训练、特殊方法。二、题型解析(一)速算巧算：1、加减法中的速算与巧算方法一：运用加法运算定律（交换律、结合律）凑整。（1）凑成整十、整百、整千进行计算；例：6647 345345 找补数规律：个位数字与它的补数相加是10，其它位数相加是9。（2）带符号搬家；例：4735427431643173573（3）分拆凑整；例：999839999839 方法二：运用四则运算性质凑整。运算性质：a-(b-c)=a-b+c a-(b+c)=a-b-c 例：393229973932（30003）6929 方法三：利用基准数凑整。彼此接近的数相加时，选择其中一个数作为基准数，找出每个加数与这个基准数的差，把这些差累计起来。例：19861988199019921994 方法四：运用等差数列求和公式计算例：468,2224 奇数项和中间项项数例：231232233234235236237 应用：（1）17 个连续整数的和是306，求紧接在这17 个数后的17 个整数的和。（595）（2）求 1 到 800 中能被 12 整除的自然数之和。（变形：不能？）熟练掌握等差数列的几个相关公式等比数列求和：12222211991199032111132497792042347454312、乘除法中的速算与巧算（除法转化成乘法可约分）方法一：凑整法：25 425 8125 625 85000（1）乘法交换律：例：2532125（2）乘法对加减法的分配律(逆：提公因式法)a（b+c）=a b+a c a(b-c)=a b-a c 例：33111 242 9（3）四则运算规则a b c=a(b c)=a c b 例：35000 625 8=35000(625 8)=7 a b c=a(b c)=a c b 例：100 4 2=100(4 2)=100 2 4=50 a b c=a c b=a(b c)例：1998 432 216=1998(432 216)=3996 3972 69 1986=3972 1986 69=138 练习：29386293142842421nnnnnn方法二、特殊的巧算规律：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -2（1）一个数乘以以下数的规律9 11 15 101 1001 10001 10101 1001001 循环数书写规律：循环节的长度减1 对应 0 的个数；循环节的个数对应1 的个数。0200020001999199919992000（2）两位数乘法中，十位数相同，个位数和为10 的规律例：3832（首数加 1 再乘以首数做前两位，尾数乘积做后两位）两位数乘法中，个位数相同，十位数和为10 的规律例：7636 2736（首数相乘再加尾数做前两位，尾数乘积做后两位）被乘数的两个数字相同，乘数的两个数字之和为10 的规律例：3364 2112（首数相乘再加相同的数字做前两位，尾数乘积做后两位）12345679 与小于 90 的 9 的倍数的乘积nn111111111912345679123456789 与小于 90 的 9 的倍数的乘积nn11111111019123456789（3）平方差公式：22)(bababa例：322312 练习：3216424114141414（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）123471234512346359502（4）两个整数的和是一定值时，这两个数的差越小，乘积越大。3、尾数计算法：注意 1-9 的 n次方的尾数变化情况4、分数巧算方法：（裂项求和法）（1）111)1(1nnnn（2）knnknnk11)(问：?)(1knn（3）若cba，则bcababcac11问：？abc1（4）baabba11练习：119264253242213)13()231741411nnnn（19913980199032113211211172175615421330112091273115、整体代换法：19971)199613121)(1997131211()1996131211)(199713121(（二）循环小数化为分数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -3 循环小数分类：纯循环小数、混循环小数0200020001999199919992000（三）比较大小：1基本方法：（1）作差法：（2）作商法：（3）倒数法：2分数比较大小（1）通分的方法：A、分子通分；B、分母通分）（0kakbkab例：21435432与与（2）（时，当0kkakbabab例：比较的大小与32851999199911234567811999199912345678与的大小（3）中间值法：向一个目标看齐“1”、“21”、“31”等例：的大小与比较35172731比较6666666666655555555554与的大小（4）如果22baba，则例：比较的大小与1011009987654321的 大 小与1511009987654321提示：5443322154653243（四）单位分数分解：（五）质因数分解：240的约数的个数?给出九个自然数30,33,42,52,65,66，77,78,105，把这九个数分成三组,使三组数的每组三数的乘积相同.如果某数除 492、2241、3195 都余 15，那么这个数是多少？（六）整除问题：特征及性质四位数 45ab，能同时被 2，3，4，5，9 整除，求此四位数。六位数abc865能同时被 3，4，5 整除，要使abc865尽可能小，a，b，c 各是多少？说明abcabc能被 7 和 13 整除。（七）带余除法：（剩余定理）957除以一个数商为 15，且除数比余数大 35，求除数，余数各是多少？大、小两个数之和是119，大数除以小数商是4，余数也是 4，求这两个数？（八）同余问题：（九）奇偶性：（十）数阵图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -4(二)应用题：1和、差、倍分问题；年龄问题；基本方法：线段图示法、方程法例：甲乙丙丁4个数的和是549，如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2 后，四个数相等。求四个数各是多少？P48 例：甲对乙说当我的岁数是你现在岁数时，你才4 岁。乙对甲说当我的岁数到你现在的岁数时，你将有67岁。甲乙现在各多少岁？P49 例：母子年龄和是41 岁，4 年前母亲的年龄恰好是儿子年龄的10 倍，母子现在的年龄各是多少岁？（34,7）例：被除数、除数、商三数的和是639，商是 3，被除数、除数各是多少？（477,159）2还原问题；基本方法：图表法、线段图示法、方程法例：甲、乙、丙三人各有球若干个，甲给乙的球如乙现有的那么多球，甲给丙的如丙现有的那么多球，然后乙也按甲和丙手中的球数分别给甲、乙添球，最后丙也按甲和乙手中的球数分别给甲、乙添球，此时三人都各有16 个球，问开始时三人各有多少个球？例：一位牧羊人说：“我的羊数减去7，除以 5，再加上 8，乘以 4，正好是 100 只。”请你算一算，牧羊人有多少只羊？例：有一堆桃子，第一个猴子拿走了这堆桃的一半中一个桃子，第二个猴子拿走了余下的一半加一个，第三个猴子拿走了最后剩下的一半加一个，桃子就被拿光了，这堆桃子原有多少个？3植树问题；基本方法：图示法、方程法例：一列火车共25 节，每节长5 米，每两节之间相距1 米，求火车全长多少米？（149 米）在一条长 75 米的大路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽52 棵，相邻两棵树之间距离相等，求相邻两树之间的距离？（3 米）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -5 有 5 段长 20 米的木料，每4 米锯一段，每锯下一段需要3 分钟，全部锯完需要多少分钟？（60）A、B 两人比赛爬楼梯，A 跑到 4 层时，B 恰好跑到 3 层，照这样计算，A 跑到 16 层楼时，B 跑到几层楼？（11）一次检阅，接受检阅的一列车队共30 辆，每辆车长4 米，前后每辆车相距5 米，这列车队有多长？如果车队每秒行驶2 米，那么这列车队要通过535 米长的检阅场地，需要多少时间？（265 米，6 分 40 秒）4方阵问题（空心方阵、实心方阵）；知识点：一层点数、相邻两层点数差8、基本方法：图示法、方程法例：小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成个正三角形，正好用完。后来又改围成个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5 枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是多少元？P47 例：有若干人，恰好能排成5 层的中空方阵，最外层每边人数是12 人，共有多少人？（140）例：用棋子摆成方阵，恰好可排成每边24 粒的实心方阵，若改为三层的空心方阵，它的最外层每边应放多少粒棋子？（51）例：小刚用棋子摆成一个实心方阵，后来他又加了11 个棋子，横竖各增加了一排，成为大一点的方，求原来实心方阵有多少个棋子？（25）5行程问题（相遇问题、追及问题、流水问题、火车过隧道问题）；例：甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行20千米，乙每小时行 18 千米，两人相遇时距全程中点3 千米，求全程长多少千米？甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100 千米，甲每小时走6 千米，乙每小时走4 千米，甲带着一只狗，狗每小时走10 千米，这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它又掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙这边走，直到两人相遇，问这只狗一共走了多少千米？6时钟问题；从 5 时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -6 5在 7 点到 8 点之间，分针与时针什么时候在一条直线上？7工程问题；例：师徒二人合作生产一批零件，6 天可以完成任务，师傅先做5 天后，因事外出，由徒弟接着做3 天，共完成任务的7/10，如果每人单独做这批零件各需几天？加工一批零件，甲、乙合作24 天可以完成，现在由甲先做16 天，然后由乙再做12 天，还剩下这批零件的2/5 没完成。已知甲每天比乙多加工3 个零件，求这批零件共有多少个？8比例问题；分数知识，列方程，份数知识（1）求一个数的几分之几是多少？解法：这个数分率分率所对应的量例：已知一个数是360，求这个数的52是多少？（2）已知一个数的几分之几是多少，求这个数？解法：分率所对应的量分率这个数例：某数的52是 144，求这个数是多少？若甲数的ba等于乙数的dc，则甲数是乙数的badc；乙数是甲数的dcba；如果甲数是乙数的nm，则乙数是甲数的mn。一块长方形的地，长和宽的比是4:3，长方形的周长是154 米，这块地的面积是多少平方米？（1452）甲、乙两同学的分数比是5:4，如果甲少得22.5 分，乙多得22.5 分，则他们分数比是5:7，问甲乙原来各得多少分？（90、72）某校初中一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的3 倍，如果该年级学生减少6 人，未参加的学生增加6 人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是21求参加竞赛的与未参加竟赛的人数及初中一年级的人数(24,72,96)例：我的年龄的81是你年龄的21，问你的年龄占我年龄的几分之几？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页 -7 例：一个筐里有桔子和苹果共90 千克，其中桔子的74与苹果的32共 56 千克，桔子和苹果各有多少千克？9利润问题；若进货价降低8，而售出价不变，那么利润可由目前的p增加到(p+10)，求 px(1+p)=0.92x1+(10+p)(p=15)10容斥原理问题；某学校共有三个科技兴趣小组：天文、无线电和计算机。已知参加这三个兴趣小组的学生分别有 25、24、30 人；同时参加天文、计算机兴趣小组的有2 人；同时参加天文、无线电兴趣小组的有 5 人，同时参加无线电、计算机兴趣小组的有4 人，有 1 人同时参加这三个兴趣小组。问：（1）共有多少学生参加科技兴趣小组？（2）只参加天文兴趣小组的学生有多少？（3）只参加一个兴趣小组的学生有多少？（4）只参加两个兴趣小组的学生有多少？11浓度问题；掌握基本数量关系；2应根据稀释前、后或混合前后溶质（重量不变）分析或根据溶液重量不变分析；基本方法：方程法在浓度为 10%、重量为80 克的盐水中，加入多少克水就能得到浓度为8%的盐水？甲容器中有8%的盐水 300 克，乙容器中有12.5%的盐水 120 克，往甲、乙两个容器中倒入等量的水，使两个容器中盐水的浓度一样，每个容器中应倒入多少克水？12“牛吃草”问题；知识点：（1）草原原有的草的总量是不变的，（2）每周（时间）新生长的草量是一定的（匀速生长？），只要设法求出这两个量，问题就可以解决了。基本方法：线段图法、方程法有一片匀速生长的草地，可以供27 头年吃 6 周，或供 23 头牛吃 9 周，问可以供21 头牛吃几周？（12）有一只行驶在大海中的船，发现船仓漏水，水从一缝隙匀速进入。立即安排人员进行淘水，10 人 3 小时可以把水淘干或5 人 8小时把水淘干，问2 小时把水淘干，需要多少人？（14）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页 -8 13数的问题；有四个小朋友,他们恰好一个比一个大一岁,他们年龄的乘积是360。问其中最大的一个是多少岁？把 462 名学生分成人数相等的若干组参加课外活动小组，每组人数在10 到 25 人之间，求每组人数及分成的组数。小王是个中学生，参加了全区的数学竞赛，他说：“我的名次、分数和我的年龄乘积是4074。”你能算出他得了多少分？获得第几名吗？有三根铁丝，长度分别为120 厘米、180 厘米、300 厘米，现把它们截成相等的小段，每根不能有剩余，问每小段最长是多少厘米？一共可以截成多少段？兄弟三人在外工作，大哥6 天回家一次，二哥8 天回家一次，小弟12 天回家一次，兄弟三人同时在十月一日回家，问下一次三人再见面是哪一天？14数列问题；某剧院有 25 排座位，后一排比前一排多两个，第一排有24 个座位，问这个剧院共有多少个座位？求所有除以4 余 1 的三位数的和。15杂题(统筹规划、概率)；平均数问题黑山敬老院有18 位老奶奶，平均年龄 75 岁，有 12 位老爷爷，平均年龄70 岁，这些老人的平均年龄多少岁？7甲、乙二数的平均数是72，丙数是 18，问甲、乙、丙三个数的平均数是多少？有 10 名学生，他们的成绩由第一名到第八名平均93 分，由第一名到第十名平均91 分，第九名比第十名多4 分，求第九名和第十名的成绩？（85,81）果品店把 3 千克酥糖，4 千克水果糖，5 千克奶糖混合成什锦糖，酥糖每千克4 元，水果糖每千克5 元，奶糖每千克8 元，问什锦糖每千克多少元？（6 元）平均速度问题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -9 鸡兔同笼问题（做对或做错题问题）今有鸡兔同笼，鸡与兔的头共57 个，鸡脚与兔脚共174 只，问笼中鸡、兔各几只？（27，30）2现有 5 角和 1 元的硬币共68 枚，共值 55 元 5 角，问 5 角硬币有多少枚？1 元硬币有多少枚？（25,43）3李老师带领本班44 名学生去划船，共租10 条船？已知每条大船坐8 人，每条小船坐3 人，问他们租的大船、小船各多少只？（3，7）4数学竞赛共10 题，规定做对一题得15 分，做错一题扣10 分，小亮在这次竞赛中得了100 分，问他做错几道题？（2）盈亏问题：王阿姨给幼儿园小朋友分苹果，如果每人3 个；则剩 17 个；如果每人分5 个，则还差3 个，问有多少个小朋友？多少个苹果？2学生们植树，如果说每人挖4 个坑，则剩10 个坑没人挖；若每人分配5 个坑，则缺3 个坑，问有多少学生？多少个坑？3学生分本，如果有4 人每人分 8 本，其余每人分3 本，则少10 本；如果其中2 人每人分10 本，其余每人分 2 本，则多 24 本，问学生有几人？本有多少？（30 人，100 本）定义新运算：例：a，b 是自然数。规定a*b=a bba，求：2*（3*6）例：已知 13=123 65=678910 计算：4554 例：已知ababa，如果183x，求x。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -10 抽屉原理：(极端原理)例：一副扑克牌共有52 张（去掉大小王），问（1）至少要取出多少张牌，才能保证其中必有3 种或 3 种以上花色？（2）至少从中取出多少张牌，才能保证有花色相同的牌至少5 张？（27,17）逻辑推理：矛盾法、假设法、表格法找矛盾：就是通过寻找完全对立的说法，随后迅速判断出某句话是真是假的方法。A、B、C、D 中有一人做好事A 说：“是 B”B 说：“是 D”C 说：“不是我”D 说：“B 说的不对”这四人中只有一人说了实话，这件好事是谁做的？(C)假设法：有的逻辑推理问题，并不能立即找出完全对立的情况迅速得出判断，因此需要用到假设法。假设法就是先假设某个结论正确，然后再看这个结论与已知情况是否有矛盾之处，如果有矛盾，则说明我们的假设不正确；如果没有矛盾，说明我们的假设是正确的，从而就可以得出正确的结论。有 A、B、C 三人，一人是教师，一人是工人，一人是职员。又知道下面的三种说法只有一种是对的：（1）A 是工人；（2）B 不是工人；（3）C 不是职员请问 A、B、C 三人各是什么职业？列表法：解决这类问题可以使用假设法，但在分析与解答之前，我们首先列出一个表格，可以帮助我们更加清晰地分析问题。某校最近举行一次“庆澳门回归知识竞赛”活动，赛前，人们对甲、乙、丙、丁四个班的比赛名次做如下估计：（1）丙得第二名，丁得第三名：（2）丙得第一名，乙得第二名；（3）甲得第二名，丁得第四名。赛后，大家发现每一种估计都只对了一半，错了一半，请问他们各得第几名？(丙第一、甲第二、丁第三、乙第四)在一次游戏中,主持人拿出A、B、C、D 四种商品，让参加竞赛的甲、乙、丙、丁四人猜出商品价格的高低顺序，每个人只能猜两种商品，结果如下：甲：“A 第二贵，C 第三”；乙：“D 最贵，其次是B”；丙：“A 第二贵，D 最便宜”；丁：“D 最便宜，C 最贵”。正确答案公布后，发现每人都只猜对了一半，你能排出四种商品价格的高低顺序吗？（正确答案：A、B、C、D）刘、张、冯三个女孩各有一个表弟，六人进行乒乓球混合双打比赛，规定姐弟俩人不许搭伴。第一场，张与小刚对冯与小强，第二场，冯和小明对张和刘的表弟，则刘、张、冯的表弟分别是：、。（正确答案：小强、小明、小刚）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -