极限与导数.ppt
极限与导数现在学习的是第1页，共27页01sinlimxx【实验目的】1.了解函数极限、导数的基本概念 2.学习、掌握MATLAB软件有关求极限、导数的命令。【实验内容】1.判断极限 的存在。2.验证极限 。3.验证极限 4.求数 的单调区间及极值。0011cos,sinlimlimxxxx0011(1)(1)2.71828.limlimnxxxenx363yxx现在学习的是第2页，共27页【试验准备】a1.极限、导数的基本概念极限、导数的基本概念 数列极限数列极限：如果对于 ，存在正整数 ，使的当 时有 ，则称 为数列 的极限，或称 收敛与 ，记为 。直观上表示：趋于无穷大时，无限接近 。函数极限：函数极限：如果当 时，有 ，则称 为函数 当 时的极限，记为 。若仅当 且 (或 )时，有 ，则称 为函数 当 时的右极限（左极限），记为 （或 ）。当且仅当 时，当 时的极限存在且等于 。0 NnNnxaa nx nxlimnnxa0 xx()f xAA()f x0 xx()limnfxA 0 xx0 xx0 xx()f xAA()f x0 xx0(0)f x 0(0)f x 00(0)(0)f xf x()f x0 xxA nxa现在学习的是第3页，共27页 导数：导数：函数 在点 处导数的定义为 它放映了在点 附近函数 的变化率。当 时，函数在点 附近是上升的；当 时，函数在点 附近时下降的；当 时，往往(不一定)标志函数在点 达到局部极大或极小。()f x0 xx000()()()limhf xhf xfxh0 x()f x0()0f x 0 x0()0f x 0 x0()0f x 0 x现在学习的是第4页，共27页 函数在点 达到局部极大(或局部极小)的充分条件是 且 (或 )。从几意义上说，是函数在点 处切线的斜率。0 x0()0fx0()0fx0()0fx0()fx0 x 函数在点 达到局部极大(或局部极小)的充分条件是 且 (或 )。从几意义上说，是函数在点 处切线的斜率。2.求极限、导数的MATLAB命令0 x0()0fx0()0fx0()0fx0()fx0 xMATLAB中主要用limit,diff分别求函数的极限与导数。可以用help limit,help diff查阅有关这些命令的详细信息。现在学习的是第5页，共27页实验方法与步骤实验方法与步骤练习练习1 首先分别作出函数 在区间等区间 -1,-0.01,0.01,1,-1,-0.001,0.001,1上的图形，观察图形在点x=0附近的形状。在区间-1,-0.01绘图的MATLAB代码为 x=(-1):0.0001:(-0.01);y=cos(1./x);plot(x,y)运行结果如图2.1。1cosyx现在学习的是第6页，共27页1cosyx图2.1 函数 的图形0011limcos,limsinxxxx现在学习的是第7页，共27页当然，也可用limit命令直接求极限，相应的MATLAB代码为 clear;syms x;%说明x为符合变量limit(sin(1/x),x,0)结果为ans=-1.1，即极限值在-1,1之间，而如果极限存在则必唯一，故极限 不存在。同样，极限 也不存在。01limcosxx01limsinxx现在学习的是第8页，共27页练习练习2 首先分别作出函数在区间-1,-0.01,0.01,1,-1,-0.001,0.001,1等区间上的图形，观察图形在点x=0附近的形状。图2.2 函数 的图形sin xyx在区间-1,-0.01绘图的MATLAB代码为x=(-1):0.0001:(-0.01);y=sin(x)./x;plot(x,y)运行结果如图2.2现在学习的是第9页，共27页根据图形，能否判断极限 的正确性？当然，也可用limit命令直接求极限，相应的MATLAB代码为：clear;syms x;limit(sin(x)/x,x,0)结果为ans=1。0sinlim1xxx现在学习的是第10页，共27页练习3 观察当n趋于无穷大时，数列 和 的变化趋势。例如，当 时，计算 的MATLAB代码为for n=1:100,a(n)=(1+1/n)n;,A(n)=(1+1/n)n;,end在同一坐标系中，画出下面三个函数的图形：11nnan111nnAn1,2,100n,nna A1111,1,xxyyyexx现在学习的是第11页，共27页 观察当x增大时图形的走向。例如，在区间10,400绘制图形的MATLAB代码为 x=10:0.01:400;y1=exp(x.*log(1+1./x);y2=exp(x+2).*log(1+1./x);y3=2.71828;plot(x,y1,-.,x,y2,:,x,y3,-);运行结果如图2.3。其中点线表示的图形，虚点线表示的图形。现在学习的是第12页，共27页111nnAn11nnannnaA和2.71828e 图2.4 的图形3263,36yxxyx现在学习的是第13页，共27页当然，也可用limit命令直接求极限，相应的MATLAB代码为clear;syms n;limit(1+1/n)n,n,inf)结果为ans=exp(1)。现在学习的是第14页，共27页练习练习4 （极限的定义和判别）用MATLAB语言来表达推理过程是比较困难的，它必须与实际的数值联系起来。比如无法用无穷小和高阶无穷小的概念，只能用 等数值。极限的定义恰恰是用了 等数值的概念，因此不难用程序表述。函数极限的定义：对于函数 ，当任意给定一个正数 时，有一个对应的正数 存在，使得当102010,10和()yf x0,()cxxAf x时 有现在学习的是第15页，共27页则A就 是在 时的极限，如果找不到这样的 ，就不是 在 时的极限。只考虑左极限时，因为 必为正数，故可以去掉绝对值符合。检验左极限是否正确的程序代码为()f xcxx()f xcxxcxxcleardisp(A是否是f(xc)的左极限？)eps=1.0e-10;%给定计算最小误差A=input(A=,例如A1),%输入左极限xc=input(xc=,例如xc0),%输入对应的自变量值fxc=input(f(x)的表达式为，例如sin(x)/x,s),%输入函数表达式flag=1;delta=1;x=xc-delta;n=1;%初始化现在学习的是第16页，共27页while flag=1 epsilon=input(任给一个小的数)%任意给出 while abs(A-eval(fxc)epsilon delta=delta/2;x=xc-delta;%找 if abs(delta)disp(找不到d),n=0;break%找不到，跳出内循环 end end if n=0 disp(左极限不正确),break%极限不正确，跳出外循环 end 现在学习的是第17页，共27页disp(delta=),delta%找到了 disp(左极限可能正确)flag=input(再试一个吗？再按1，不是按0或任意数字键)%再试？end 我们来检验 （1）时是否以1.001为左极限；（2）时是否以1为左极限。检验（1）得出的结果时“左极限不正确”，而检验（2）得出“左极限可能正确”的结果。读者可以分析为什么要加“可能二字”而不给出肯定的回答。sin()0cxf xxxx在2()83cf xxxx在现在学习的是第18页，共27页练习练习5 求函数 的一阶导数，然后在同一坐标系里作出该函数及其导数的图形函数求导相应的MATLAB代码为 clear;syms x;diff(x.3-6*x+3,x,1)运行结果为ans=3*x2-6。函数绘图相应的MATLAB代码为x=-4:0.1:4;y1=x.3-6*x+3;y2=3*x.2-6;plot(x,y1,x,y2,:)363yxx现在学习的是第19页，共27页运行结果如图2.4。其中实线表示 的图形，点线表示 的图形。363yxx236yx图2.4 ,的图形363yxx236yx现在学习的是第20页，共27页这里画的是区间-4,4上的图形，读者也可以选别的区间练习一下。观察以下现象：(i)当 时，的图形的升降情况，当 时 是否有极大值或极小值？(ii)当 的图形上升或下降时，的图形的凹凸情况，当 取极值时 的图形是否出现拐点？(iii)观察图形得出方程 的根的近似值，(比如在区间-4,-2上有一个根)，再用以下代码求出根的更精确的值。00yy或y0y yyyy0y 现在学习的是第21页，共27页a=fzero(x3-6*x+3,-4,-2)%fzero为方程求根命令计算结果得a=-2.6691。事实上，在整个数轴上方程 共有三个根，其余两个根分别是0.5240和2.1451，请将它们求出来。(iv)观察使函数 取极大或极小值的 ，（比如从图2.4可看出在 附近有一个极小值，在 附近有一个极大值，而这些点的解析解为 ，再用MATLAB代码求极大或极小更精确的值。0y 21.414x yx1.5x 1.5x 现在学习的是第22页，共27页为了方便，先用文本编辑器编写一个脚本M文件，并用 求出数值上极值点，MATLAB代码如下：%fmin1.mfun1=x3-6*x+3;xmin=fmin(fun1,1,2)x=xmin;ymin=eval(fun1)fun2=-(x3-6*x+3);xmax=fmin(fun2,-2,-1)x=xmax;ymax=eval(fun2)minf现在学习的是第23页，共27页下面是M文件的运行结果：xmin=1.4142ymin=-2.6569xmax=-1.4142ymax=-8.6569现在学习的是第24页，共27页练习与思考练习与思考1.求下列各极限。1(1)lim 1xn3(2)lim3nxn(3)lim221nnnn 2121(4)lim11xxx0(5)lim cot2xxx2(6)lim3xxxx(7)lim cosxxmx111(8)lim1xxxe3011(9)limxxx现在学习的是第25页，共27页2.作出函数 的图形，并指出大致单调区间；用 求 ，并求 确切的单调区间。23()3sin(),22f xxxx()f xdiff()fx现在学习的是第26页，共27页3.对函数(1)(2)(3)完成下列工作，并写出总结报告。()做出图形，观察所有局部极大、局部极小和全局最大、全局最小值点的大致位置；()求 所有零点(即 的驻点)；()求出驻点处 的二阶导数值；()用fmin求各极值点的确切位置；()讨论局部极值点与 ，的关系。()f x()fx()f x()fx()fx225332(1)()sin(2),2,2;(2)()310),3,3;(3)()3100,3;f xxxxxf xxxxf xxxxx 现在学习的是第27页，共27页
