量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析 .pdf

摘要量子力学中的Jaynes-Cummings 模型态演化分析专业：光信息科学与技术学号：20080810090205 学生姓名：胡丽红指导老师：熊狂炜摘要Jaynes Cummings(J-C)模型是由单个二能级原子（或分子）与一个单模量子化光场组成的相互作用系统，反映的是单原子和单模辐射场之间的相互作用的两能级量子力学模型。它基于偶极近似和旋转波近似，着重处理电磁场与原子的近共振作用。J-C 模型形式简单，是个精确可解的量子系统，并蕴含了丰富的物理内涵，能广泛的应用到许多领域中去，是量子光学、激光物理、核磁共振等问题中常用的一种模型。本文主要通过两种不同的方法：待定系数法和矩阵法对Jaynes Cummings模型的态演化进行理论计算。主要考虑在共振情况下，我们求得态函数系数的变化图。在光场初始态处于真空态或相干态等不同情况下，系统会呈现出不同的量子特征如：真空拉比震荡、崩塌与复原现象。为了进一步完善光场与原子相互作用的量子理论，本文还介绍了几种推广的Jaynes Cummings 模型。关键词：Jaynes Cummings 模型；态演化；共振名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 45 页 -Abstract The state evolution analysis of Jaynes-Cummings model in quantum mechanics Abstract Jaynes-Cummings(J-C)model is up to the individual two-level atoms(or molecular)and a single-mode optical field of quantization interaction system.It reflects a two-level quantum mechanical model of the interaction between a single atom and the Single-mode radiation field.It is based on dipole approximation and the rotating wave approximation,mainly deal with the near resonance effect between the electromagnetic field and the atomic.J-C model is simple in form and it is a quantum systems that can be solved precisely.It contains rich connotation of physical,which can widely used to many fields.Its a model commonly used in the study of quantum optics,laser physics,nuclear magnetic resonance(NMR)and many other problems.This paper mainly uses two different methods:the method of undetermined coefficients and matrix method to perform the theoretical calculation of the state evolution of the Jaynes-Cummings mode.Mainly considering in the condition of resonance,We can obtain the variation diagrams of the coefficients to the corresponding normal function.In the different initial states of light field like in vacuum state or coherent states and so on the different cases,the system will be present different quantum characteristics such as vacuum rabbi shocks,collapse and restoration phenomenon.In order to further perfect the quantum theory of the interaction between the light field and the atoms,this paper introduces several kinds of promotion Jaynes-Cummings models.Keywords:Jaynes-Cummings model;State evolution;resonanc名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 45 页 -摘要I 目 录引言.1第一章JAYNES-CUMMINGS 模型.21.1 J-C 模型的相关介绍 .21.1.1 标准 J-C 模型的物理内涵，重要性和局限性.21.1.2 标准 J-C 模型的线性与非线性推广.31.2 J-C 模型的基本原理 .4第二章用待定系数法计算J-C 模型的态函数随时间演化规律.8第三章用矩阵法计算 J-C 模型的态函数随时间演化规律.17 3.1 光与原子的相互作用-缀饰原子态 .17 3.1.1 光场中原子的波函数 .17 3.1.2 互作用哈密顿量的对角化.19 3.1.3 缀饰原子态 .22 3.2 光与原子的相互作用J-C 模型.25 3.2.1 量子拉比振荡 .25 3.2.2 单模自发发射 .28 3.2.3崩塌和复原 .29 第四章几种推广的J-C模型.33 4.1 双光子 J-C 模型.33 4.2型三能级原子与光场RAMAN相互作用.33 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 45 页 -目录II 第五章总结.34 致谢.35参考文献.36 附录.37 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 45 页 -华东交通大学毕业设计（论文）1 引言Jaynes-Cummings(J-C)模型是由 ETJaynes 和FWCummings于1963年提出来的，是由单个二能级原子（或分子）与一个单模量子化光场组成的相互作用系统，反映的是单原子和单模辐射场之间的相互作用的两能级量子力学模型。它基于偶极近似和旋转波近似，着重处理电磁场与原子的近共振作用。J-C模型形式简单，是个精确可解的量子系统，并蕴含了丰富的物理内涵，能广泛的应用到许多领域中去，是量子光学、激光物理、核磁共振等问题中常用的一种模型。所以一直备受人们的青睐，得到物理学界相关领域科研工作者的广泛注重，而且J-C模型也是人们了解比较深入的为数不多物理模型之一。根据(多模)辐射场和原子相互作用的经典理论，将经典的辐射场和原子相互作用的哈密顿量量子化以致所有的物理变量都被著作算符以后，再忽略会导致双光子跃迁的相互作用项，进一步将辐射场量子化(称作二次量子化)并在偶极近似和旋转波近似的情况下得到狄克(Dicke)模型。Jaynes Cummings(J-C)模型实际上就是狄克(Dicke)模型的一种特殊情形。它是在将辐射场和原子均量子化的基础上得到的关于辐射场和原子相互作用的最简单量子理论模型。本文主要通过两种不同的方法：待定系数法和矩阵法对Jaynes-Cummings模型的态演化进行理论计算。主要考虑在共振情况下，我们求得态函数系数平方的变化图。通过在光场初始态处于真空态或相干态不同情况下时，系统会呈现出来不同的量子特征如：真空拉比震荡、崩塌与复原现象。为了进一步完善光场与原子相互作用的量子理论，本文还介绍了几种推广的Jaynes-Cummings模型，如：双光子 Jaynes-Cummings模型、型三能级原子与光场Raman相互作用、V型三能级原子与光场Raman相互作用等等。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 45 页 -胡丽红量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析2 第一章Jaynes-Cummings模型1.1 J-C 模型的相关介绍众所周知，光的量子学说最初是由AEinstein 于 1905 年在研究光电效应现象时提出来的，爱因斯坦本人则是因为研究外光电效应现象并从理论上对其做出了正确的量子解释而获得了诺贝尔物理学奖；这是量子光学发展史上的第一个重大转折性历史事件，同时也是量子光学发展史上的第一个诺贝尔物理学奖。光量子学说的提出最终导致了量子光学的建立，并在接下来的时间里迅猛发展，但有关光的量子理论的研究最明显的特征就是还未形成完整的理论体系。真正将量子光学的理论研究工作引上正轨并推向深入的，是 E T Jaynes 和 F W Cummings 两人。1963 年，E.T.Jaynes和 F.W.Cummings 两人提出了表征单模光场与单个理想二能级原子单光子相互作用的Jaynes-Cummings 模型(以下简称标准J-C 模型)，这标志着量子光学的正式诞生。此后，人们围绕着标准J-C 模型及其各种推广形式做了大量的而且是富有成效的理论与实验研究工作。1.1.1 标准 J-C 模型的物理内涵，重要性和局限性其物理内涵为：这个模型的建立，标志着量子光学的正式诞生。其重要性体现于它的科学价值和技术价值：第一，标准J-C 模型的建立，既标志着量子光学领域的理论研究工作步入正轨，使得人们关于场-原子之间相互作用的理论研究工作一下子深入到了物质结构的深层次，同时又促进量子光学领域的理论研究向纵深发展。虽然，在当今量子光学领域中标准J-C 模型只是一个很简单的模型，但它在整个量子光学的建立与发展过程中所起到的历史性转折作用却是毋须置疑的。这就是标准J-C 模型的科学价值。第二，随着微波激射技术的发展，随着单原子微波激射器的研制成，人们目前已经能够在微波腔中产生并制备各种非经典光场态，并利用单原子微波激射器来研究场-原子相互作用过程中场及原子的各种动力学特性、各种线性和非线性效应的物理机制，以及各种经典和非经典效应的物理本质等。尤为重要的是，利用单原子微波激射器还可以在微波腔内再现标准J-C 模型的各种物理属性等。因此，从这个意义上讲，单原子微波激射器实质上就是标准J-C 模型的物化和技术再现。可见，标准 J-C 模型不只体现在理论上，而且还体现在实物原型上，它是科学名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 45 页 -华东交通大学毕业设计（论文）3 与技术的完美结合体。这就是标准J-C 模型的技术价值。然而标准 J-C 模型也具有一定的局限性：由于标准 J-C 模型过于简单，故不足以描述整个量子光学领域中场-物质(原子、分子或离子)之间的各种相互作用问题。其局限性主要表现在以下5 个方面：标准J-C 模型只考虑了单模光场情形，而对于双模及多模光场未进行任何探讨；标准J-C 模型只考虑了单个理想二能级原子情形，而对于两个及多个二能级原子以及两个及多个多能级原子的情形未进行任何探讨；标准J-C 模型只考虑了场原子之间的单光子相互作用，而对于简并双光子和简并多光子相互作用的情形未进行任何探讨；标准 J-C 模型是一个线性相互作用模型，而对于场原子之间以及原子原子之间的各种非线性交叉耦合相互作用未进行任何探讨；标准J-C 模型是在旋转波近似下获得的，而对于未作旋转波近似时虚光场(即在系统的 Hamiltonian中违背能量守恒定律的项)的影响等未进行任何探讨。这就是标准J-C 模型的理论缺限和不足之处。1.1.2 标准 J-C 模型的线性与非线性推广非旋转波近似下的J-C 模型，其特点在于在原标准J-C 模型的基础上，进一步考虑单模虚光场(即 Hamiltonian 中违背能量守恒定律的项)的影响，于是便得到了非旋转波近似下的J-C 模型。这一工作主要是由M.D.Crisp 于 1991 年完成的。简并双光子与简并多光子J-C 模型，这主要是针对单模光场与单个理想二能级原子之间的简并双光子与简并多光子相互作用而言的。由于忽略了光场强度对场原子之间相互作用的影响因而在旋转波近似下，人们便得到了表征单模光场与单个理想二能级原子相互作用的所谓简并双光子J-C 模型和简并多光子 J-C 模型。缀饰多光子 J-C 模型：其基本思想是采用规范缀饰变换技术，通过对上述的简并多光子J-C 模型施行规范缀饰变换操作，即可获得表征单模光场与单个理想二能级原子缀饰相互作用的简并多光子J-C 模型。这一模型的重要性在于，人们利用它可进一步研究场原子作为强耦合关联体的各种量子统计性质以及各种动力学特性等。单、双模光场单个三能级及多能级原子系统的 J-C 模型由于以上 J-C 模型中将原子作为理想二能级原子考虑，故不足以描述场原子相互作用过程中的所有物理属性，于是人们便进行了各种各样的推广与扩展。人们曾经提出过单模光场与单个三能级原子相互作用的各种J-C名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 45 页 -胡丽红量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析4 模型，甚至提出了单模光场与单个多能级原子相互作用的J-C 模型，并且将其推广和扩展到了双模光场及多光子的情形，这对量子光学领域的理论研究工作无疑具有重要的推动作用。但上述所有这些研究，只是讨论了场原子相互作用与光强无关的情形，而对于光强相关耦合作用的影响未进行任何探讨。事实上，进一步研究光强相关耦合作用所引起的各种非线性复杂性效应不仅具有重要的学术价值，而且还具有更为广泛的实际意义。因此，有必要对标准J-C 模型进行非线性推广。标准J-C 模型的非线性推广有如任意依赖强度耦合的J-C模型,Kerr 介质中的 J-C 模型等等，因本论文篇幅有限，具体内容在此就不详细讲解，读者可参阅其它有关量子光学J-C 模型的书籍及文献。1.2 J-C 模型的基本原理根据经典理论，一个原子(如氢原子)处在电磁场(即辐射场)中时，那么在描述该原子与电磁场相互作用对整个体系的哈密顿量可以写成：lRAR2HHH)(),(21HrVtrAePmH（1-1）其中P是质量为 m，电荷为 e 的电子的动量，r是坐标矢量。)(rV是原子体系的势能，),(trA是电磁场的矢势。根据（1-1）式，可以看出哈密顿量H分解成三部分：原子的哈密顿量)(2H2ArVmP；自由辐射场的哈密顿量dVBHED)(21HR（其中D是电位移矢量，E是电场强度，B是磁感应强度，H是磁场强度）；原子与辐射场的相互作用哈密顿量2),(21),(),(2trAemPtrAtrAPmeHl（1-2）以上为经典理论的形式。在将经典理论过渡到量子理论时，根据量力学的基本原理，物理学量都要被看成算符，例如经典动量P换成动量算符p?,在坐标表象中p?即为i(其中是梯度算符)。由于 J-C 模型是一种将辐射场也量子化的理论。所以我们还要进一步将辐射场量子化，也就是将失势),(trA量子化。（失势),(trA的量子化过程可以参名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 45 页 -华东交通大学毕业设计（论文）5 阅一些其他相关文献）再将失势),(trA量子化后我们得到)exp()exp(?t),r(rkiark iaAiiiikkkk（1-3）其中ik是常数iiikkkeV21)2(（1-4）（ik是对应的辐射场模的圆频率，ike 是对应的辐射场波矢方向的单位）量子化后的在相互作用哈密顿量（1-2）式，因（1-2）中的第二项含有2e该项与前一项相比非常小，它表征场的不同模之间通过电子与场的耦合而发生的相互作用，这种相互作用导致双光子跃迁过程，在线性光学中我们一般省去这一项，由此得),(),(2PtrAtrAPmeHl（1-5）由于算符),(trA中含有坐标算符r，所以0?),(?PtrA但是对于原子范围来r 近似为玻尔半径值11103.5米，又可见光的波长约为610米，从而波矢61022k/米，故1105.34rk，作 为 近 似可 取1)0exp()iexp(rk,再结合（1-3）式得?),(?)0(?iikkaatrAAii（1-6）由于此时)0(?A已经不是坐标变量的函数，所以0?),0(?PA（1-7）这种处理方法相当于在考虑原子和场相互作用时，省去原子的线度。通常称这种近似为偶极近似。从而相互作用哈密顿量可写为PAmeHl?)0(?（1-8）进一步引入广义的原子算符（n 为原子体系的能量本征态）mnSnm?（1-9）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 45 页 -胡丽红量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析6 又因为任何描述原子行为的算符G?般地表示为nmnSmGnG?（1-10）所以对于二能级原子，核外电子的动量算符可写为_?P-?-P?SSP（1-11）其中 S?；-?-S分别表示原子的上升和下降算符。在注意到海森堡表象中mPHridtrdA?,1（1-12）故得reeimrEEimP0)(?（1-13）同理r eeimP-?0（1-14）（其中0EE表示二能级原子体系的上下两个能级差）。显然r e为原子的偶极矩阵元，一般而言，它是复矢量。令Mir e,其中M是实矢量，则由(1-11),(1-13),(1-14)式知)?(?-0SSMemP（1-15）于是一个二能级原子与辐射场相互作用哈密顿量可写成)?()?(?SSaaHiiikkkl（1-16）其中耦合常数ik为iilkkkeMV021)2(（1-17）进一步结合(1-1),(1-6),(1-9)式，可得量子化后的AH?和RH?zASH?0 ,iiiikkkkRaaH?（1-18）综上所述，可知二能级原子与(多模)辐射场总哈密顿量为)?)(?(?0SSaaaaSHkkkkkkkkz（1-19）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 45 页 -华东交通大学毕业设计（论文）7 为方便起见，我们已用k代替了在ik。上式中我们略去不保持能量守恒的两项-?Sak及Sak?(这种近似称为旋转波近似)，从而得到)?(?-0SaSaaaSHkkkkkkkkz（1-20）此即为狄克摸式。由于 J-C模型反映的是单原子和单模辐射场之间的相互作用，故只需要令上式中的 k=1便可得到该模型哈密顿量的具体形式)?(?-0SaSaaaSHz（1-21）上式中Sa?反映的是原子从低能态跃迁到高能态，同时释放出一个光子，而-?Sa项则表示相反的过程。以上我们已经简要地回顾了J-C 模型哈密顿量的推导过程。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 45 页 -胡丽红量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析8 第二章用待定系数法计算J-C 模型的态函数随时间演化规律Jaynes-Cummings模型的哈密顿量为（设1）)(210aSSagaaSHz（2-1）其中a和 a分别为腔模的产生和湮灭算符，SS,以及zS 分别为原子的上升，下降以及反转算符，0为原子在激发态a 和基态 b 之间的跃迁频率，为腔膜频率，g 为原子与腔模之间的耦合常数。（2-1）式前面两项分别表示原子与腔模的自由哈密顿量，第三项为它们的相互作用部分。)(21SaaSgSaVaHz前面两项之和为0H，后面那一项为相互作用的量1H转入相互作用绘景)?(-100itittiHtiHeaSeaSgeHeV哈密顿量（2-1）所满足的 Schr?dinger 方程为(取1)()(tHdttdi（2-2）取相互作用情况)()(tVdttdi若光场初始处于福克态n，原子初始处于激发态a，则（2-2）的解可设为nnbannbtCnatCt1,)(,)()()1(（2-3）将所设的)(|t以及 V代入相互作用情况下的薛定谔方程，过程为：nnbanititnnbannbtCnatCeaSaeSgnbtCnatCi1,)(,)()(1,)(,)()1()1(取1，并且等式两边同除以i，得：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 45 页 -华东交通大学毕业设计（论文）9 nnbanititnnbannbtCnatCeaSaeSignbtCdtdnatCdtd1,)(,)()(-1,)(,)()1()1(（2-4）对该式的左右两边同乘以na,的共轭na,，得到nnbanititnnbannbtCnatCnaeaSaeSignbtCdtdnatCdtdna1,)(,)(,)(-1,)(,)(,)1()1(1,)(1,)(,)()()1()1(nbSanatCenbaSnatCenaSanaenaaSnatCeigtCdtdnbitnbitnitanitnan其中0,naaSna0,naSana11,nnbaSna01,nbSana前面两个式子等于0 是因为算符不能作用于同一个状态（或能级），第四个式子等于 0 是因为没有意义。所以经过简化，等式左右两边可化为：)(1)()1(tCenigdttdCnbitan（2-5）同样的方法，对式（2-4）两边同乘以1,nb的共轭1,nb，得到nnbanititnnbannbtCnatCnbeaSaeSignbtCdtdnatCdtdnb1,)(,)(1,)(-1,)(,)(1,)1()1(1,1,)(1,1,)(,1,1,)()()1()1()1(nbSanbtCenbaSnbtCenaSanbenaaSnbtCeigtCdtdnbitnbitnitanitnnb其中名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 45 页 -胡丽红量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析10 0,1,naaSnb1,1,nnaSanb01,nbaSnb01,1,nbSanb经过简化，等式左右两边可化为：)(1)()1(tCenigdttdCanitnb（2-6）所以我们得到了一个方程组)(1)()1(tCenigdttdCnbitan)(1)()1(tCenigdttdCanitnb（2-7）我们所取的初始状态是假设原子都处于激发态，而基态的原子数为零，由此可以提取出的上面那个方程组的初始条件是：1)0(anC0)0()1(nbC方程组中-0，取2)(210，接着就来解上面的方程组，为了数学上计算书写方便，我们可将方程组（2-7）写成以下形式：zMedtdyityMedtdzit（2-8）y 和 z 分别是代表关于 t 的函数)(tCan和)()1(tCnb，系数1nigM，而方程组的初始条件则表示为：1)0(y0)0(z由（2-8）的第一个方程得：zdtdyeMit1将其代入第二个方程得：yMedtdyeMdtditit)1(名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 45 页 -华东交通大学毕业设计（论文）11 yMedtydeMdtdyeMiititit221102yMyiy它的特征方程为：022Mirr其解为：2424)(2222MiMiir由于1nigM，所以上式根号里的数字总体是负的，提出一个复数符号，我们可以把解写成2422Miir其中1nigM，nRngM)1(442222则函数trtreCeCy2121可表示为：tRitRinneCeCy2221（2-9）式中的1C 和2C 为设定的系数，式我们需要求解的量。为计算方便，上式表示为：)(22212222221tRitRititRititRitinnnneCeCeeeCeeCy（2-10）根据欧拉根式，可以得到以下的变换：tRitRenntRin2sin2cos2tRitRenntRin2s i n2c o s2将这两个式子代入到（2-10）式中，由：2sin)(2cos)()2sin2(cos)2sin2(cos)(2121221222212tRCCitRCCetRitRCtRitRCeeCeCeynntinnnntitRitRitinn（2-11）根据式（2-9），取0t的情况，代入初始条件1)0(y中，很容易可以得到：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 45 页 -胡丽红量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析12 121CC（2-12）函数 y 和 z 存在关系zitMedtdy，将 y 的函数式tRitRinneCeCy2221代入，)0()2()2(2221zMeeRiCeRiCdtdyittRintRinnn等 式 两 边 取0t，并且 将0)0(z代入，得到0)2()2(21nnRiCRiC因为121CC，所以上式可以化为：0)2()2)(1(22nnRCRCnnRCR22所以，得到1C 和2C 的值分别为：nnRRC22（2-13）nnRRC211（2-14）所以，nnnnnRRRRRCC22121（2-15）将式（2-12），（2-15）代入式(2-11)，我们就可以求出函数y 的表达式：2sin2cos2tRRitReynnnti（2-16）函数 z 的表达式，就可以简单地直接通过y 来求，tRRRetRitRRtRRtRietRRRitRRetRRitReidtdynnntinnnnnntinnnnntinnnti2sin)22(2cos22sin22sin22cos2)2cos22sin2()2sin2(cos222222将（2-16）式代入关系zMedtdyit中，（1nigM）有：zenigtRRReitnnnti12sin)22(22名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 45 页 -华东交通大学毕业设计（论文）13 其中)1(422ngRn，代入nnnnRngRngRR)1(22)1(42222222于是tReRnigtReRngnigtRRRenigzntinntinnnnti2sin122sin)1(2112sin)22(1122222即2si n2 co s)(2tRRitRetCnnntian（2-17）tReRnigtCntinnb2sin12)(2)1(（2-18）此时，原子处于激发态及基态的几率分别为)1)(cos()1(21)()(22222nnnananRtRRtCtP（2-19）)1)(cos(121)()(222)1()1(nnnbnbRtRtCtP（2-20）反转数为)1)(cos()()()(2222)1(nnnnbannRtRRtPtPtW（2-21）公式（2-19），（2-20），（2-21）的关系我们都取共振情况，于是0；单光子情况下1n；取常数1g；根据公式)1(422ngRn于是有22nR；取了这些条件后用软件matlab画图我们可以得到以下的图像：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 45 页 -胡丽红量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析14 图 2-1 激发态下概率时间关系图 2-2 基态下概率时间关系名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 45 页 -华东交通大学毕业设计（论文）15 图 2-3 反转数概率时间关系由于我们设定了原子初始状态是处于激发态，所以在0t的情况下，图 2-1的纵坐标（处于改状态下的概率）为 1，图 2-2 的纵坐标为 0。受到光子的作用，原子逐渐从激发态下降至基态，根据初始设定的数据，图中显示大约是在1t处，原子处于基态，所以图 2-1 中此处的纵坐标为0，图 2-2 中此处纵坐标为1。受到光子的激发，原子又向激发态跃迁，形成往复循环。nW随时间做周期性的振荡，亦即原子与光场周期性地变换能量，当 n=0 时，即光场初始时为真空态，系统呈现出真空Rabi 振荡这一纯量子特征。当光场初始时不处于福克态，而是处于与经典场最为接近的相干态，则系统呈现更为复杂的量子效应，相干态按Fock 态展开为nCnn0其中!2neCnn名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 45 页 -胡丽红量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析16 若原子初始时处于激发态a，则反转数为)()(02tWCtWnnn这时反转数的振荡是由一系列不同频率的Rabi 振荡以不同的权重叠加而成的。结果将导致量子崩坍与复原现象。在 Jaynes-Cummings模型的态演化过程中，除了原子的反转数外，光场的力学量也呈现出非经典效应。定义以下的参量aaaaaaaaQ22)(对于相干态的光场，Q=0，光场的光子数呈现出泊淞分布。当Q0时，光子数呈亚泊淞分布（反群聚效应）这一非经典特性。再定义以下的正交相位分量)(21aaX,)(21aaiY对于相干态的光场，41)()(22YX。当22)()(YX或小于41时，光场的某一正交相位分量呈现出压缩这一非经典特征。在Jaynes-Cummings模型中，即使光场初始处于最接近经典的相干态，在演化过程中，光场也可能呈现亚泊淞分布及正交相位分量压缩等量子效应。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 45 页 -华东交通大学毕业设计（论文）17 第三章用矩阵法计算J-C 模型的态函数随时间演化规律3.1 光与原子的相互作用-缀饰原子态处于辐射场中的双能级原子，与辐射场不断的交换能量。原子从场中吸收能量，从低能级激发到上能级；或是从上能级跃迁至下能级并放出能量。在这个过程中，原子和场的本身并没有发生变化。但在强光场下，情况有所不同，这时原子自身的特性，如能级等会发生变化，这时用微扰方法处理这样的问题就不合适了。这里介绍缀饰原子（dressed atom）法，将提供一种处理原子与场强耦合的数学方法。这种方法实际上是在凝聚态物理中常用的准粒子方法，即将原子和围绕它的场当作一个统一的客体看待，或把“裸粒子”所受到的场的作用混合到缀饰原子的质量中去。用缀饰原子法可以方便的理解许多物理现象，如兰姆移动和共振起伏等。开始先以简单的半经典模型给出缀饰原子的概念，然后再用全量子理论加以讨论。3.1.1 光场中原子的波函数一个孤立的双能级原子，其波函数为)()()()(),(ruetCruetCtrbtibatiaba（3-1）若将此原子至于一个频率为的光场中，光与原子的互作用为tiabepEV021（3-2）在光场作用下，原子波函数可能会发生变化，设其为)()(exp)()()(exp)(),(rutitCrutitCtrbbbaaa（3-3）光场的影响归结为e指数因子)exp(i。考虑到baabVV所以此因子也是共轭的。将此波函数代入薛定谔方程)(?)(tHdttdii，得到一组系数方程：)()()()()(0)()()()(tibbtiaatibbbtibbtiaaatiaababbaaeuCeuCVHeuCieudtdCeuCieudtdCi（3-4）式中0H 和V分别是原子和互作用H量。用au左乘上式的两边，对全空间积分，即名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 45 页 -胡丽红量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析18 deCVuudeCuHudeCVuudeCuHudeuCieudtdCueuCideudtdCuitibbatibbatiaaatiaaatibbbtibbatiaaatiaaabbaabbaa)()(0)()(0)()()()()()(并利用au和bu的归一化性和正交性，即1duuaa，0duuba另外由于aH0，abbaVVuu；可得)-)()()()()(tiabbtiaatiaatiabaaaeVCeCeCiedtdCi（3-5）将式（3-2）代入式（3-5）中，得到tibaaepECiCidtdC)2(002（3-6）式中的 e指数因子应为 1，所以0-202210）（3-7）其中ab0，而是光场的频率；方程（3-6）化为)(20.baaCRCidtdC（3-8）式中0.R 为共轭拉比频率00pE|R|。类似的方法，用bu左乘（3-4）式的两边，再对全空间积分，得tibbtiabatibbtibbabbeCeVCeCiedtdCi)()()()()(将（3-2）式代入上式中，经计算可求得)(20babCCRidtdC（3-9）将2代回（3-3）式中，可得到在光场作用下的原子波函数为)()2(exp)()()2(exp)(),(rutitCrutitCtrbbbaaa（3-10）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 45 页 -华东交通大学毕业设计（论文）19 3.1.2 互作用哈密顿量的对角化现在看方程（3-8）和（3-9）的一个特解。在共振情况（0）时，此方程组变为baCRidtdC0.2abCRidtdC02（3-11）若开始时原子处于低能态1)0(bC，0)0(aC则求其特解过程为：将（3-11）式中的上面那个方程式代入下面的方程式得到dtdCRidtdCdtdaa02)(042022aaCRCdtd解该微分方程得到tRCtRCCa2sin2cos0201；21,CC为设定的系数，由初始条件0(0)aC得01C，则有tRCCa2sin02，将其代入（3-11）式中上面的方程得bCRitRCR002022cos2即biCtRC2cos02并且考虑另外一个初始条件1)0(bC，所以可以推得iC2，由此过程可推得方程组（3-11）的特解为tRitCa021sin)(tRtCb021cos)(（3-12）由此可知，原子处于下能级的概率为：2)cos1(21cos|(t)C|0022btRtR处于上能级的概率为2)cos1(21sin|(t)C|0022atRtR原子波函数在上下能级之间，以频率0R 作正弦振荡。换言之，原子处于上下能级的概率是来回振荡的。这时原子与场之间维持确定的相位关系。下面求解方程组的一般解。可将方程组写入统一的矩阵方程内，即有名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 45 页 -胡丽红量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析20)()(2)()(00tCtCRRitCtCdtdbaba（3-13）此方程的本征值是根据线性代数中特征值的计算方法，设此方程的本征值（即线性代数中所称的特征值）为R，则有：0|C|RE其中 C 是（3-13）式中的矩阵，E 是一个单位矩阵，上式可得0)(2000RRRRRRR21202)(RR（3-14）R就是普遍的拉比频率。接下来我们就来求（3-13）式的通解：对212021)(RR，将该值代入方程0)C(1xER中求得其基础向量为：102021RRP对212022)(RR，将该值代入方程0)C(1xER中求得其基础向量为：102022RRP取),(21PPP，令PYX，则原方程组（3-13）可化为YRRYPPdY202202100)C(1221yRdtdy（3-13a）2222yRdtdy（3-13b）对（3-13a）,（3-13b）两式都是只需简单运用高数微分方程就可解出，式中的1y，2y 只是简单的数学符号，代表方程组（3-13）中的)(tCa，)(tCb。于是可求得式（3-13）的通解为RtARtCtCaa21sin21cos)0()(名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 24 页，共 45 页 -华东交通大学毕业设计（论文）21 RtBRtCtCa21sin21cos)0()(b（3-15）式中 A，B 为待定常数。将此式代回方程组之中，得RtABRiRtCCRiRtRARtRCaba21sin21cos)0()0(21cos21sin)0(00RtBARiRtCCRiRtRBRtRCbbb21sin21cos)0(