2022年二次根式知识点总结及常见题型 .pdf

第 1 页二次根式知识点总结及常见题型资料编号:20190802 一、二次根式的定义形如a（a 0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号,a叫做被开方数.（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围;（2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断:是否含有二次根号“”;被开方数是否为非负数.若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.（3）形如am（a0）的式子也是二次根式,其中m叫做二次根式的系数,它表示的是:amam（a0）;（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式BA与AB都有意义,则有BA.二、二次根式的性质二次根式具有以下性质:（1）双重非负性:a0,a0;（主要用于字母的求值）（2）回归性:aa2（a0）;（主要用于二次根式的计算）（3）转化性:)0()0(2aaaaaa.（主要用于二次根式的化简）重要结论:（1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.若02CBA,则0,0,0CBA.应用与书写规范:02CBA,A0,2B0,C 0 0,0,0CBA.该性质常与配方法结合求字母的值.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 16 页 -第 2 页（2）BAABBABABABA2;主要用于二次根式的化简.（3）0022ABAABABA,其中B0;该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的.（4）BABA22,其中B0.该结论主要用于二次根式的计算.例 1.式子11x在实数范围内有意义,则x的取值范围是 _.分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0.解:由二次根式有意义的条件可知:01x,1x.例 2.若yx,为实数,且2111xxy,化简:11yy.分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式BA与AB都有意义,则有BA.解:1x 0,x10 x 1,x 11x1212100y11111yyyy.习题 1.如果53a有意义,则实数a的取值范围是 _.习题 2.若233xxy,则yx_.习题 3.要使代数式x21有意义,则x的最大值是 _.习题 4.若函数xxy21,则自变量x的取值范围是 _.习题 5.已知128123aab,则ba_.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 16 页 -第 3 页例 3.若04412bba,则ab的值等于【】（A）2（B）0（C）1（D）2 分析:本题考查二次根式的非负性以及结论:若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.解:04412bba0212ba1a0,22b002,01ba2,1 ba221ab.选择【D】.例 4.无论x取任何实数,代数式mxx62都有意义,则m的取值范围是 _.分析:无论x取任何实数,代数式mxx62都有意义,即被开方数mxx620 恒成立,所以有如下两种解法:解法一:由题意可知:mxx62093622mxmxx023xm923x 0m9 0,m9.解法二:设mxxy62无论x取任何实数,代数式mxx62都有意义mxxy62 0恒成立即抛物线mxxy62与x轴最多有一个交点mm436462 0 解之得:m 9.例 5.已知cba,是 ABC 的三边长,并且满足ccba20100862,试判断 ABC名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 16 页 -第 4 页的形状.分析:非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值.解:ccba20100862010020862ccba010862cba6a0,8b0,210c0010,08,06cba10,8,6cba10010,10086222222cba222cba ABC 为直角三角形.习题6.已知实数yx,满足084yx,则以yx,的值为两边长的等腰三角形的周长为【】（A）20 或 16（B）20（C）16（D）以上答案均不对习题 7.当x_时,119x取得最小值,这个最小值为 _.习题 8.已知24422xxxy,则yx的值为 _.习题 9.已知非零实数ba,满足ababaa415316822,求1ba的值.提示:由152ba0,且012b可得:5a0,a5.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 16 页 -第 5 页例 6.计算:（1）26;（2）232x;（3）2323.分析:本题考查二次根式的性质:aa2（a0）.该性质主要用于二次根式的计算.解:（1）662;（2）32322xx;（3）6329323323222.注意:BABA22,其中B0.该结论主要用于二次根式的计算.例 7.化简:（1）225;（2）2710;（3）962xx3x.分析:本题考查二次根式的性质:)0()0(2aaaaaa.该性质主要用于二次根式的化简.解:（1）2525252;（2）7107107102;（3）339622xxxx3x原式x3.注意:结论:BAABBABABABA2.该结论主要用于二次根式和绝对值的化简.例 8.当3x有意义时,化简:22125xxx.解:二次根式3x有意义3x0 x 3名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 16 页 -第 6 页xy图（1）O22125xxx23125125xxxxxxx例 9.化简:2223xx.分析:222xx,继续化简需要x的取值范围,而取值范围的获得需要挖掘题目本身的隐含条件:3x的被开方数3x为非负数.解:由二次根式有意义的条件可知:3x0 x 32223xx522323xxxxx例 10.已知10a,化简2121aaaa_.解:10aaa12121aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21111111122例 11.已知直线23nxmy（nm,是常数）,如图（1）,化简1442mnnnm.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 16 页 -第 7 页解:由函数23nxmy的图象可知:02,03nm2,3 nm1442mnnnm1121212122mnnmmnnmmnnmmnnm例 12.已知cba,在数轴上的位置如图（2）所示,化简:222baccaa.bac图（2）0解:由数轴可知:bac00ca222baccaababcacaabaccaa习题 10.要使2222xx,x的取值范围是 _.习题 11.若02aa,则a的取值范围是 _.习题 12.计算:243_.习题 13.计算:2221_.习题 14.若332xx成立,则x的取值范围是 _.习题 15.下列等式正确的是【】（A）332（B）332名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 16 页 -第 8 页（C）333（D）332习题 16.下列各式成立的是【】（A）21212（B）332（C）21212（D）74322习题 17.计算:272_.习题 18.化简:22xx_.习题 19.若baabbaa22221,01213则_.习题 20.已知01a,化简414122aaaa得_.习题 21.实数cba,在数轴上对应的点如图（3）所示,化简代数式:222212babacbaa的结果为【】（A）12cb（B）1（C）12ca（D）1cbabc图（3）10习题 22.化简:2232144xxx.例 13.把aa1中根号外的因式移到根号内,结果是【】（A）a（B）a（C）a（D）a分析:本题实为二次根式的化简:某些二次根式在化简时,把根号外的系数移到根号内,可以达到化简的目的,但要注意根号外面系数的符号.有如下的结论:名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 16 页 -第 9 页0022ABAABABA,其中B0.解:由二次根式有意义的条件可知:01a0aaaaaa112.选择【D】.习题 23.化简212aa得 _.三、二次根式的乘法一般地,有:abba（a0,b0）（1）以上便是二次根式的乘法公式,注意公式成立的条件:a0,b0.即参与乘法运算的每个二次根式的被开方数均为非负数;（2）二次根式的乘法公式用于二次根式的计算;（3）两个带系数的二次根式的乘法为:abmnbnam（a0,b0）;（4）二次根式的乘法公式可逆用,即有:baab（a0,b0）公式的逆用主要用于二次根式的化简.注意公式逆用的条件不变.例 14.若66xxxx成立,则【】（A）x 6（B）0 x6（C）x0（D）x为任意实数分析:本题考查二次根式乘法公式成立的条件:abba（a0,b0）解:由题意可得:060 xx解之得:x6.选择【A】.例 15.若1112xxx成立,则x的取值范围是 _.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 16 页 -第 10 页分析:本题考查二次根式乘法公式逆用成立的条件:baab（a0,b0）解:由题意可得:0101xx解之得:x1.例 16.计算:aa812（a 0）.解:aaaaaaa21214181281222（a0）.习题 24.计算:2731_.习题 25.已知21233m,则有【】（A）65m（B）54m（C）45m（D）56m习题 26.化简12的结果是 _.四、二次根式的除法一般地,有:baba（a0,0b）（1）以上便是二次根式的除法公式,要特别注意公式成立的条件;（2）二次根式的除法公式用于二次根式的计算;（3）二次根式的除法公式可写为:baba（a0,0b）;（4）二次根式的除法公式可逆用,即有:baba（a0,0b）公式的逆用主要用于二次根式的化简,注意公式逆用的条件不变.五、最简二次根式符合以下条件的二次根式为最简二次根式:（1）被开方数中不含有完全平方数或完全平方式;名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 16 页 -第 11 页（2）被开方数中不含有分母或小数.注意:二次根式的计算结果要化为最简二次根式.六、分母有理化把分母中的根号去掉的过程,叫做分母有理化.如对21进行分母有理化,过程为:2222221;对321进行分母有理化,过程为:723232323321.由举例可以看出,分母有理化是借助于分数或分式的性质实现的.例 17.计算:（1）654;（2）3223238;（3）22728yxy.解:（1）39654654;（2）24338169388323383823383832383223238;（3）xxyxyyxy247287282222.例 18.化简:（1）65;（2）4.0;（3）aaa9623（3a）.解:（1）63066656565;（2）51052524.0;（3）3aaaaaaaaaaa3396962223注意:随着学习的深入,在熟练时某些计算或化简的环节可以省略,以简化计算.例 19.式子2121xxxx成立的条件是 _.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 16 页 -第 12 页分析:本题求解的是x的取值范围,考查了二次根式除法公式逆用成立的条件:baba（a0,0b）.解:由题意可得:0201xx解之得:2x.例 20.计算:（1）7523;（2）5120;（3）2832.解:（1）5225275237523;（2）552515205120;（3）解法 1:224416282322832.解法 2:2248216642228322832.二次根式的乘除混合运算例 21.计算:（1）21223222330;（2）182712.解:（1）原式252382330232443216435238302123（2）原式228324182712.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 16 页 -第 13 页习题 27.下列计算正确的是【】（A）3212（B）2323（C）xxx3（D）xx2习题 28.计算:213827_.习题 29.计算:32643xx_.习题 30.直线13xy与x轴的交点坐标是_.习题 31.如果0,0baab,那么下面各式:baba;1abba;bbaab.其中正确的是 _（填序号）.习题 32.若0ab,则化简2ab的结果是 _.习题 33.计算:（1）7225283212;（2）2143236181841.例 22.先化简,再求值:1441132xxxxx,其中22x.解:1441132xxxxx2221122211111322xxxxxxxxxxxxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 16 页 -第 14 页当22x时原式122242222222.习题 34.先化简,再求值:11121122aaaaaa,其中12a.习题 35.先化简,再求值:2222221yxyxyxxxyx,其中6,2 yx.习题 36.下列根式中是最简二次根式的是【】（A）32（B）3（C）9（D）12例 23.观察下列各式:.;34434343431;23323232321;12212121211（1）请利用上面的规律直接写出100991的结果;（2）请用含n（n为正整数）的代数式表示上述规律,并证明;名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 16 页 -第 15 页（3）计算:20171201720161431321211.分析:本题考查分母有理化.解:（1）1131099100100991;（2）nnnn111;（3）原式20171201620173423122016120171201712017习题 37.化简:891231121.七、同类二次根式如果几个最简二次根式的被开方数相同,那么它们是同类二次根式.同类二次根式的判断方法:（1）先化简二次根式;（2）看被开方数是否相同;（3）定结果:若相同,则它们是同类二次根式;若不相同,则不是.同类二次根式的合并方法:几个同类二次根式相加减,将它们的系数相加减,二次根式保持不变.八、二次根式的加减二次根式相加减,先把各个二次根式化简,再合并同类二次根式.二次根式加减运算的步骤:（1）化简参与运算的二次根式;（2）合并同类二次根式;（3）检查结果.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 16 页 -第 16 页例 24.计算:（1）12188;（2）451227.解:（1）原式3225322322;（2）原式533533233.注意:不是同类二次根式不能合并.例 25.计算:1832225.解:原式2324252272225例 26.计算:（1）32233223;（2）23225775.解:（1）原式22322336199243（2）原式364875649.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 16 页 -