2022年梅涅劳斯定理与塞瓦定理 .pdf

.板块一梅涅劳斯定理及其逆定理知识导航梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么1AFBDCEFBDCEA这条直线叫ABC的梅氏线，ABC叫梅氏三角形GFEDCBAGFEDCBAH3H2H1FEDCBA证法一：如左图，过C作CGDFDBFBDCFG，ECFGAEAF1AFBDCEAFFBFGFBDCEAFBFGAF证法二：如中图，过A作AGBD交DF的延长线于GAFAGFBBD，BDBDDCDC，CEDCEAAG三式相乘即得：1AFBDCEAGBDDCFBDCEABDDCAG证法三：如右图，分别过AB C、作DE的垂线，分别交于123HHH、则有123AHBHCH，所以3122311CHAHBHAFBDCEFBDCEABHCHAH梅涅劳斯定理的逆定理：若F、D、E分别是ABC的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果1AFBDCEFBDCEA，则F、D、E三点共线梅涅劳斯定理与塞瓦定理名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 11 页 -夯实基础【例 1】如图，在ABC中，AD为中线，过点C 任作一直线交AB于点F，交AD于点E，求证：:2:AE EDAFFB ECDBFA【解析】直线 FEC 是ABD的梅氏线，1AEDCBFEDBCFA而12DCBC，112AEBFEDFA，即2AEAFEDBF习题 1.在 ABC 中，D是 BC 的中点，经过点D的直线交AB于点E，交 CA 的延长线于点F求证：FAEAFCEBEFBDCA【解析】直线截ABC三边于D、E、F三点，应用梅氏定理，知1CDBEAFDBEAFC，又因为BDBC，所以1BEAFEAFC，即FAEAFCEB习题 2.如图，在ABC 中，90ACB，ACBC AM为 BC 边上的中线，CDAM 于点D，CD 的延长线交AB于点E求AEEB名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 11 页 -.DEBMCA【解析】由题设，在 RtAMC中，CDAM，2ACCM，由射影定理224ADADAMACDMDMAMCM对ABM和截线 EDC，由梅涅劳斯定理，1AEBCMDEBCMDA，即2 1114AEEB所以2AEEB探索提升【例 2】如图，在ABC中，D为AC中点，BEEFFC，求证：:5:3:2BMMNNDNMDCFEBA【解析】直线AE是BCD的梅氏线，1BMDACEMDACEB1212 1BMMD，11BMMD直线AF是BCD的梅氏线，1BNDACFNDACFB，11122BNND，41BNND:5:3:2BMMNND习题 3.如图，在ABC中，D为 BC 的中点，:4:3:1AE EFFD求:AG GHAB 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 11 页 -CEFDBHGA【解析】HFC 是ABD的梅氏线，1AHBCDFHBDCFAD为 BC 的中点，:4:3:1AE EFFD，21BCDC，17DFFA21117AHHB，72AHHB GEC 是ABD的梅氏线，1AGBCDEGBDCEA，2 111 1AGGB，12AGGB:3:4:2AG GHHB:3:4:9AG GHAB【例 3】过ABC的重心 G 的直线分别交AB、AC 于点E、F，交 CB 的延长线于点D求证：1BECFEAFADGFECBAMDGFECBA【解析】作直线 AG 交 BC 于M，:1:2MG GA，BMMC AEBDMGEBDMGA112AEBDEBDM2EBBDAEDM同理，2CFDCFADM，而2BDDCBDBDBM2()2BDBMDM名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 11 页 -.21222BECFBDDCDMEAFADMDMDM【例 4】如图，点D、E分别在ABC的边 AC、AB上，AEEB，23ADDC，BD与 CE 交于点F，40ABCS求AEFDSFDECBA【解析】对ECA和截线BFD，由梅氏定理得：1EFCDABFCDABE，即3 212 1EFFC，所以13EFFC所以1148BFEBECABCSSS，进而211140115840AEFDABDBEFABCSSSS习题 4.如图，在ABC中，三个三角形面积分别为5，8，10四边形AEFD的面积为 x，求 x的值x1085FDECBA【解析】对ECA和截线BFD，由梅氏定理得：1CDABEFDABEFC，即1823 115152xx，解得22x【备选】如图，ABC被通过它的三个顶点与一个内点O 的三条直线分为6 个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求ABC的面积354030OFECDBA【解析】对ABD和截线 COF，由梅氏定理得：1AFBCDOFBCDOA，即41132BCCD，所以名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 11 页 -32BCCD，所以3BCBD所以33 105315ABCABDSS非常挑战【例 5】如图，在ABC中，A的外角平分线与边BC 的延长线交于点P，B的平分线与边 CA 交于点 Q，C 的平分线与边AB交于点R，求证：P、Q、R三点共线PCBQRA【解析】AP是BAC 的外角平分线，则BPABPCCABQ 是ABC 的平分线，则CQBCQAABCR 是ACB 的平分线，则ARCARBBC 得1BPCQARABBCCAPCQARBCAABBC因R在AB上，Q 在 CA 上，P在 BC 的延长线上，则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：P、Q、R三点共线习题 5.证明：不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点FEDCBA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 11 页 -.PFEDCBA【解析】如图，CDBEAF、分别为三角形ABC 的三个外角平分线，分别交ABACBC、于DEF、过 C 作BE的平行线，则BCPCBEEBDCPB，所以BPC是等腰三角形则PBCB 则有：CEPBCBEABABA同理ADACDBCB；BFBAFCAC所以1CEADBFCBACBAEADBFCBACBAC所以 DEF、共线板块二塞瓦定理及其逆定理知识导航塞瓦定理：如果ABC的三个顶点与一点P的连线AP、BP、CP交对边或其延长线于点D、E、F，如图，那么1BDCEAFDCEAFB通常称点P为ABC的塞瓦点PFEDCBA证明：直线FPC、EPB分别是ABD、ACD的梅氏线，1BCDPAFCDPAFB，1DBCEAPBCEAPD两式相乘即可得：1BDCEAFDCEAFB塞瓦定理的逆定理：如果点D、E、F分别在ABC的边BC、CA、AB上或其延长线上，并且1BDCEAFDCEAFB，那么AD、BE、CF相交于一点（或平行）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 11 页 -FPFEDCBAFEDCBA证明：若AD与BE相交于一点P时，如图，作直线CP交AB于F由塞瓦定理得：1BDCEAFDCEAF B，又已知1BDCEAFDCEAFB，AFAFFBF B，ABABFBF B，FBF BF与F重合CF与CF重合AD、BE、CF相交于一点 若AD与BE所在直线不相交，则ADBE，如图BDEADCAC，又已知1BDCEAFDCEAFB，1EACEAFACEAFB，即CEFBACAF/BEFC，ADBEFC说明：三线平行的情况在实际题目中很少见探索提升【例 6】（1）设AXBYCZ，是ABC的三条中线，求证：AXBYCZ，三线共点ZYXCBA（2）若 AXBYCZ，为ABC的三条内角平分线求证：AXBYCZ，三线共点名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 11 页 -.ZYXCBA【解析】（1）由条件知，BXXCYCYAZAZB，1BXCYAZXCYAZB，根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线AXBYCZ，共点这个点称为这个三角形的重心（2）由三角形内角平分线定理得：BXABCYBCAZACXCACYABAZBBC，三式分别相乘，得：1BXCYAZABBCACXCYAZBACABBC根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线AXBYCZ，共点，这个点称为这个三角形的内心习题 6.若 AXBYCZ，分别为锐角ABC的三条高线，求证：AXBYCZ，三线共点ZYXCBA【解析】由ABXCBZ得：BXABBZBC；由BYACZA得：AZACAYAB；由AXCBYC可得：YCBCCXAC所以1BXAZYCABACBCBZAYCXBCABAC根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线AXBYCZ，共点对直角三角形、钝角三角形，同样也可以证得三条高线共点我们把一个三角形三条高线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心【例 7】如图，M为ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点D，求证：EFBCFDEMCBA【解析】对ABC和点M应用塞瓦定理可得：1AFBDCEFBDCEA又因为BDDC，所以1AFCEFBEA进而AFAEFBEC，所以EFBC名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 11 页 -习题7.如果梯形ABCD的两腰AD、BC的延长线交于M，两条对角线交于N 求证：直线MN必平分梯形的两底BQANCPDM【解析】ABCDMDCMDABC1MDBCDACM1MDAQBCDAQBCM（由塞瓦定理得）1AQQB，AQQBDPPCAQQB，DPPC板块三梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合非常挑战【备选】如图，E、F分别为ABC的AC、AB边上的点，且3AEEC，3BFFA，BE、CF交于点P，AP的延长线交BC于点D求:AP PD的值ABCDEFP名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 11 页 -.【解析】P为ABC的塞瓦点11133AFBDCEBDFBDCEADC91BDDC，910BDBCEPB为ACD的梅氏线，91110 3APDBCEAPPDBCEAPD103APPD【备选】如图，四边形ABCD的对边AB和DC，DA和CB分别相交于点LK，对角线AC与BD交于点M直线KL与BD、AC分别交于点FG、求证：KFKGLFLGFGLKMDCBA【解析】对DKL与点B应用塞瓦定理得：1DAKFLCAKFLCD对DKL和截线ACG应用梅涅劳斯定理可得：1DAKGLCAKGLCD进而可得KFKGLFLG名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 11 页 -