2022年梯形辅助线的常见作法 .pdf

梯形辅助线的常见作法梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。例 1（如图 1）已知在梯形 ABCD 中，AD/BC，BA=DC。求证：B=C 证明：过点 D作 DM/AB交 BC于点 M。因为 AD/BC DM/AB 所以 AB=DM 因为 BA=DC 所以 DM=DC DMC=C DMC=B B=C（2）梯形外平移一腰例 2（如图 2）在梯形 ABCD 中,ABDC,作 ACED 延长 DC交 BE于 F 求证:EF=FB 证明：过点 B作 BG AD,交 DC的延长线于 G 四边形 ABGD 是平行四边形AD=BGACED 中，AD CE AD=CE CE BG且 CE=BG 1=2又3=4ECF BGF:EF=FB名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -(3)梯形内平移两腰例 3（如图 3）在梯形 ABCD 中,ADBC,AD BC,E、F 分别为 AD、BC的中点，且 EF BC，试说明 B=C解：过 E作 EM AB,EN CD,分别交 BC于 M,N得ABME,NCDE AE=BM DE=CN,AE=DEBM=CN又BF=CFFM=FNEF BCEM=EN 1=2EM AB,EN CD,1=B,2=CB=C(4)延长两腰例 4（如图 4）在梯形 ABCD 中,B=C，AD BC。求证：梯形 ABCD 是等腰梯形。证明：延长 BA,CD交于点 E B=CBE=CEAD BCEAD=BEDA=CB=CEAD=EDA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -AB=CD结论得证（5）过梯形上底的两端点向下底作高例 5（如图 5）在梯形 ABCD 中，DC AB,AD=BC,若 AD=5,CD=2，AB=8,求梯形 ABCD 的面积。解：过点 D、C分别作 DE AB于 E,CFAB于 F.根据等腰梯形的轴对称性可知，AE=BF.DC AB,DEAB,CF AB四边形 CDEF 是矩形 DC=EFAE=(AB-EF)=(AB-CD)=3 DE=4=(2+8)x4=20(6)平移对角线例 6 求证：对角线相等的梯形是等腰梯形。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 6 页 -已知：（如图 6）在梯形 ABCD 中，AD BC,对角线 AC=BD 求证：AB=DC 证明：过点 D作 DE AC交 BC的延长线于点 E，则四边形 ACED 是平行四边形。AC=DEDE=AC=DBDBC=EACB=EDBC=ACB又BD=CA BC=CB ABC DCBAB=DC（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。例 7（如图 7）在梯形 ABCD 中，AD BC,E、F 分别为 AB、CD的中点，求证：EF=(AD+BC)证明：连接 AF并延长交 BC的延长线于点 G.先证ADF GCF 得 AD=CG DF=FC 易证 EF=BG=(AD+BC)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。例 8（如图 8）在梯形 ABCD 中，AD BC,E 为 CD的中点，求证：S=证明：过点 E作 MN AB交 BC于 N，交 AD的延长线于 M 易证NCE MDE,从而推出 S=ABNM 和ABE中，它们同底同高，S=2S=S(9)作中位线例 9（如图 9）在梯形 ABCD 中，AB CD,M为 AD的中点，AB+CD=BC 求证：BM CM证明：过点 M作 MN AB交 BC于点 N M 为 AD的中点，MN是梯形 ABCD 的中位线名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -MN=（AB+CD）AB+CD=BCMN=BC BCM 是直角三角形BM CM当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -