2022年第一讲函数教案 .pdf

第 一 学期课程名称：高等数学授课班级：10 高级机修、机电3、汽修 1、2、4 任课教师：审核：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -广东省机械高级技工学校文化理论课教案首页科目高等数学授课日期课时4 课题第一章 函数班级教学目的1.理解函数的概念2.了解分段函数、基本初等函数、初等函数的概念3.了解反函数、复合函数的概念，会分析复合函数的复合结构.4.会建立简单实际问题的函数模型.选用教具挂图直尺、三角板重点函数的概念、复合函数和初等函数的概念，会求函数的定义域.难点分段函数的概念，建立简单实际问题的函数模型.教学回顾总结成考数学学习、规划高等数学整篇学习要点说明无审阅签名：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -【组织教学】1、总结成考数学学习，给学生加油鼓气，增强学习信心。2、上课点名，搞好上课纪律及学习气氛渲染。【导入新课】1、本学期知识要点2、课时安排序号内容课时分配理论课习题课实验课共 计1 函数4 4 2 极限与连续8 2 10 3 导数与微分8 2 10 4 一元函数微分学的应用8+2*2 10+2*5 不定积分6 6 6 定积分8 2 10 7 定积分应用4 4 8 期末复习4 2 6 总学时46=2*8 54 高等数学第一学期1.函数2.极限与连续3.导数与微分4.一元函数微分学5.不定积分6.定积分7.定积分应用基础贯穿整本书升华重点转折点难点重点重点难点名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -【讲授新课】1.函数的定义(1)函数的定义定义 1 设x和y是两个变量,D是一个给定的数集,如果对于每个数Dx,变量y按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称y是x的函数,记作)(xfy.数集D称为该函数的定义域,x称为自变量,y称为因变量.当自变量x取数值0 x时，因变量y按照法则f所取定的数值称为函数)(xfy在点0 x处的函数值，记作)(0 xf.当自变量x遍取定义域D的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集W=Dxxfyy),(称为函数的值域.定义 2 设D与B是两个非空实数集，如果存在一个对应规则f，使得对D中任何一个实数x，在B中都有惟一确定的实数y与x对应，则对应规则f称为在D上的函数，记为BDfyxf:或,y称为x对应的函数值，记为Dxxfy),(,其中，x称为自变量，y称为因变量.由定义 2 知,函数是一种对应规则，在函数)(xfy中，f表示函数，)(xf是对应于自变量x的函数值，但在研究函数时，这种对应关系总是通过函数值表现出来的，所以习惯上常把在x处的函数值y称为函数，并用)(xfy的形式表示y是x的函数.但应正确理解，函数的本质是指对应规则f.例如104(23xxxf）就是一个特定的函数，f确定的对应规则为10)(4)()(23f就是一个函数.(2)函数的两要素函数)(xfy的定义域D是自变量x的取值范围，而函数值y又是由对应规则f来确定的，所以函数实质上是由其定义域D和对应规则f所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如2vzxy与，就是相名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -同的函数.2 函数的三种表示方法(1)图像法用函数的图形来表示函数的方法称为函数的图像表示方法,简称图像法.这种方法直观性强并可观察函数的变化趋势,但根据函数图形所求出的函数值准确度不高且不便于作理论研究.(2)表格法将自变量的某些取值及与其对应的函数值列成表格表示函数的方法称为函数的表格表示方法,简称表格法.这种方法的优点是查找函数值方便，缺点是数据有限、不直观、不便于作理论研究.(3)公式法用一个（或几个）公式表示函数的方法称为函数的公式表示方法,简称公式法，也称为解析法.这种方法的优点是形式简明，便于作理论研究与数值计算，缺点是不如图像法来得直观.在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况：分段函数在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如就是一个定义在区间5,(上的分段函数.用参数方程确定的函数用参数方程)()(tytx（t）表示的变量x与y之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数)1,1(12xxy可以用参数方程)0(sincosttty表示.隐函数如果在方程0),(yxF中，当x在某区间 I 内任意取定一个值时，相应地总有满足该方程的惟一的y值存在，则称方程0),(yxF在区间 I 内确定了一个隐函数.例如方程01exyx就确定了变量y是变量x之间的函数关系.注意能表示成)(xfy(其中)(xf仅为x的解析式)的形式的函数,称为显函数.把一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如01exyx可以化成显函数xyxe1.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如xyxe0ey.,52,ln,20,0,1)(2xxxxxxxf名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -3 函数的四种特性设函数)(xfy的定义域为区间D，函数的四种特性如下表所示.函数的四种特性表函数的特性定义图像特点奇偶性设函数)(xfy的定义域D关于原点对称，若对任意Dx满足),()(xfxf则称)(xf是D上的偶函数；若对任意Dx满足),()(xfxf则称)(xf是D上的奇函数，既不是奇函数也不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数偶函数的图形关于y轴对称;奇函数的图形关于原点对称单调性若对任意),(,21baxx，当21xx时，有)(1xf)(2xf,则称函数)(xfy是区间),(ba上的单调增加函数；当21xx时，有)(1xf)(2xf,则称函数)(xfy是区间),(ba上的单调减少函数，单调增加函数和单调减少函数统称单调函数，若函数)(xfy是区间),(ba上的单调函数，则称区间),(ba为单调区间单调增加的函数的图像表现为自左至右是单调上升的曲线;单调减少的函数的图像表现为自左至右是单调下降的曲线有界性如果存在0M，使对于任意Dx满足Mxf)(则称函数)(xfy是有界的图像在直线My与My之间周期性如果存在常数T，使对于任意Dx，DTx，有)()(xfTxf则称函数)(xfy是周期函数，通常所说的周期函数的周期是指它的最小周期在每一个周期内的图像是相同的名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页 -4 基本初等函数六种基本初等函数见下表六种基本初等函数表函数解析表达式常函数Cy（C为常数）幂函数axy（a为常数）指数函数xay（10aa且,a为常数）对数函数xaylog（10aa且,a为常数）三角函数xyxyxyxyxyxycsc,sec,cot,tan,cos,sin反三角函数,arctan,arccos,arcsinxyxyxyyarc,cot xyarcxsec,yarcxcsc5.反函数、复合函数和初等函数反函数、复合函数和初等函数的定义见下表几种函数的定义表函数种类定义举例反函数设函数)(xfy为定义在数集D上的函数，其值域为W如果对于数集W中的每个数y，在数集D中都有惟一确定的数x使)(xfy成立，则得到一个定义在数集W上的以y为自变量，x为因变量的函数，称其为函数)(xfy的反函数，记为)(1yfx，其定义域为W，值域为D函数xysin)22(x的反函数为yxarcsin)11(y复合函数若函数)(ufy的定义域为1D，函数)(xu在2D上有定义，其值域为),(22DxxuuW且12DW，则对于任一2Dx，通过函数)(xu有确定的2Wu与由函数2uy和xucos复合而成的复合函数为2)(cosxy由函数uy1名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页 -之对应，通过函数)(ufy有确定的y值与之对应这样对于任一2Dx，通过函数u有确定的y值与之对应，从而得到一个以x为自变量，y为因变量的函数，称其为由函数)(ufy和)(xu复合而成的复合函数，记为)(xfy，其定义域为2D，u称为中间变量和xue2不能复合成复合函数初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的，且用一个式子表示的函数，称为初等函数41)ln(52)(2xxfx二、主要解题方法1求函数定义域的方法例 1求下列函数的定义域:(1)y=216x+xsinln，(2)y=)12arcsin(312xx.解(1)由所给函数知,要使函数y有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即,0sin,0162xx推得2,1,0)12(244nnxnx这两个不等式的公共解为4x与0 x所以函数的定义域为),4),0(.(2)由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即,112,03,032xxx推得,40,33xx即30 x,因此，所给函数的定义域为)3,0.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -小结 函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则：(I)在式子中分母不能为零；(II)在偶次根式内非负；(III)在对数中真数大于零；(IV)反三角函数xx arccos,arcsin，要满足1x；(V)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分；(VI)分段函数的定义域是各段定义域的并集.(VII)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求.2将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法例 2将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数(1)11sin22xy，（2）)eln(tansin22xxy.解(1)最外层是二次方，即2uy，次外层是正弦，即vusin，从外向里第三层是幂函数，即21wv，最里层是多项式，即12xw,所以，分解得2uy，vusin，21wv，12xw.(2)最外层是对数，即,ln uy次外层是正切，即vutan,从外向里第三层是指数函数，即wve，最里层是简单函数，即2xw+2xsin,所以，分解得uyln，vutan，wve，2xw+2xsin.小结（I）复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算.（II）基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函数.3 建立实际问题的函数模型的方法例 3某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300 元，当年产量超过600 台时，超过部分只能打8 折出售，这样可出售200 台，如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型.解设某产品年产量为x台，收益函数为.)(xy.因为产量超过600 台时，售价要打 8 折，而超过 800 台时，多余部分本年销售不出去，从而没有效益，因此，把产量划分为三个阶段来考虑收益.根据题意，有,2003008.0600300),600(3008.0600300,300)(xxxy,800,800600,6000 xxx即收益函数模型为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -,228000,)600(240180000,300)(xxxy.800,800600,6000 xxx例 4 一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为A，A是一常量。这常量取决于预定的排水量.设截面的周长为s，底宽为x，试建立s与x的函数模型.解 设矩形高为h，根据等量关系写关系式xhxs212显见，在关系式中有两个变量x及h，此外我们应把s表成x的一元函数.为此，需把变量h也表示成与x有关的量.根据题中所给限制条件截面积为A,建立x与h的关系.2)2(21xxhA即281xxAh将代入得xAxs2)41()0(x此式即为我们所要找的周长与底宽x的函数模型.小结运用数学工具解决实际问题时，通常要先找出变量间的函数关系，用数学式子表示出来，然后再进行分析和计算.建立函数模型的具体步骤可为：(1)分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示.(2)根据所给条件，运用数学、物理、经济及其他知识，确定等量关系.(3)具体写出解析式)(xfy，并指明其定义域.【课堂总结】【布置作业】2xxh名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -