2022年玩转函数第招函数的值域与最值 .pdf
共 4 页第 1 页玩转函数第三招第 3 招：函数的值域和最值一、确定函数的值域的原则1、当数 y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合。2、当函数 y=f(x)图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合。3、当函数 y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。常见函数的值域：函数y=kx+b y=ax2+bx+c kyxy=ax y=logax 值域R a0 a0 R 24,4acba24,4acba4、当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。二、求函数值域的方法11种：1、直接 观察法，一般要用到210000 xxxx【例 1】求函数1yx的值域【例 2】求函数3yx的值域【例 3】（陕西文）函数 f(x)=11+x2(xR)的值域是()A.(0,1)B.(0,1 C.0,1)D.0,1 2、配方法（形如 y=ax2+bx+c(a 0)的函数常用配方法求函数的值域，要注意x 的取值范围。）二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间,m n上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数225,1,2yxxx的值域；（2）当2,0(x时，函数3)1(4)(2xaaxxf在2x时取得最大值，则a的取值范围是 _；（3）已知()3(24)x bf xx的图象过点（2,1），则1212()()()F xfxfx的值域为 _ 3、判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：2bykx型，可直接用不等式性质，如求232yx的值域2bxyxmxn型，先化简，再用均值不等式，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 4 页 -共 4 页第 2 页如（1）求21xyx的值域（2）求函数23xyx的值域（3）设2()()1axbfxxRx的值域为-1，4，求 a,b 的值22xm xnyxmxn型，通常用判别式法；如已知函数2328log1mxxnyx的定义域为R，值域为 0，2，求常数,m n的值如求函数2231xxyxx的值域2xm xnymxn型，可用判别式法或均值不等式法，如求211xxyx的值域说明：利用判别式法求函数的值域，一是方程二次项系数为0 的情形要特别讨论；二是要看函数的定义域是否满足xR。如果x 有特定的范围限制时，往往要综合运用判别式和韦达定理等，方能求出y 的值域。4、反函数法，直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定所求函数的值域，如求函数213xyx的值域5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数2sin11siny，313xxy，2sin11cosy的值域6、函数单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如 求1(19)yxxx，229sin1sinyxx，532log1xyx的值域为_ 如求函数12yxx的值域（可以用换元法或者单调性法）如求函数11yxx的值域7、换元法，通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1）22sin3cos1yxx的值域为 _；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 4 页 -共 4 页第 3 页（2）211yxx的值域为 _（3）sincossincosyxxxx的值域为 _；（4）249yxx的值域为 _；（5）已知函数f(x)的的值域是3 4,8 9，求()12()yf xfx的值域。变式：已知22()1xf xx，求()1()yf xf x的值域8、数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、定比分点等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。如（1）已知点(,)P x y在圆221xy上，求2yx及2yx的取值范围（2）求函数22(2)(8)yxx的值域；（3）求函数2261345yxxxx的值域注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在x轴的同侧。说明：数形结合是解决求值域和最值问题的重要方法。运用图形的直观性，通过数形结合使抽象问题直观化；复杂问题简单化；综合问题浅显化，充分训练发散思维。9、不 等 式 法利 用 基 本 不 等 式2(,)abab a bR，33(,)abcabc a b cR求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如 设12,x a ay成等差数列，12,x b by成等比数列，则21221)(bbaa的取值范围是_.。求函数22411sincossincosyxxxx的值域求函数2sinsin 2yxx的值域说明：利用重要不等式均值定理求函数值域，要注意三条原则：一正数，二定值，三取等。10、一 一映射法原理：因为 函数(0)axbyccxd在定义域上x 与 y 是一一对应的，故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例求函数1321xyx的值域11、多种方法综合应用名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 4 页 -共 4 页第 4 页例求函数23xyx的值域1已知)(xf在,bax上的最大值为M,最小值为m,给出下列五个命题:若对任何,bax都有)(xfp,则p的取值范围是,(m；若对任何,bax都有)(xfp,则p的取值范围是,(M；若关于x的方程)(xfp在区间,ba上有解,则p的取值范围是,Mm；若关于x的不等式)(xfp在区间,ba上有解,则p的取值范围是,(m；若关于x的不等式)(xfp在区间,ba上有解,则p的取值范围是,(M；其中正确命题的个数为【】(A)4(B)3(C)2(D)1（答 B）2.已知函数2()21f xxx，若存在实数t，当1,xm时，()fxtx恒成立，则实数m的最大值为：.3.已知定义在 1，1上的函数)(xfy的值域为 2，0，则函数)(cosxfy的值域为A1，1 B3，1 C2，0 D不能确定求函数最值的方法：1.“数”和“形”，数形结合：配方法直接法均值不等式法单调性代数方法导数法判别式法间接法有界性函数的图像平面几何知识几何方法线性规划解析几何斜率两点间距离名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 4 页 -
