2.2基本不等式 学案--高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.docx

基本不等式 知识链接Hi，在开始挑战之前，先来热下身吧！基本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（从面积的关系去找相等关系或不等关系）学习任务（一）读教材，首战告捷让我们一起来阅读教材，并做好色笔区分吧（二） 试身手， 初露锋芒让我们来试试下面的问题和小练习吧1图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。2结论：如果3证明：因为 当所以，即练习：已知a，b，cR，求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2.（三）听课，各个击破（四）攻难关，自学检测让我们来挑战吧！你一定是最棒的！1. 设a>0，b>0，证明：ab.2. (1)已知m，n0，且mn16，求mn的最大值；(2)已知x3，求f(x)x的最小值；(3)设x0，y0，且2xy1，求的最小值（五）找规律，方法总结1.重要不等式a2b22ab；2.两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具.测一测，大显身手一、选择题1函数f(x)的最大值为()A. B C. D12若a0，b0，且ab2，则()Aab Bab Ca2b22Da2b233设0ab，且ab1，则下列四个数中最大的是 ()A. Ba2b2 C2abDa4设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8 B4 C1D5设a、bR，若ab2，则的最小值等于()A1 B3 C2D46已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是()A0 B1 C2D4二、填空题7若0<x<1，则x(1x)的最大值为_8已知t>0，则函数y的最小值是_三、解答题9已知x>0，y>0.(1)若2x5y20，求ulgxlgy的最大值；(2)若lgxlgy2，求5x2y的最小值参考答案试身手， 初露锋芒练习证明：由基本不等式可得a4b4(a2)2(b2)22a2b2，同理，b4c42b2c2，c4a42a2c2，(a4b4)(b4c4)(c4a4)2a2b22b2c22a2c2，从而a4b4c4a2b2b2c2c2a2.攻难关，自学检测1【解析】证明：a>0，b>0，a2b，b2a，ab. 2【解析】(1)m，n0且mn16，由基本不等式可得mn2264，当且仅当mn8时，mn取得最大值64.(2)x3，x30，0，于是f(x)xx332 37，当且仅当x3即x5时，f(x)取得最小值7.(3)x0，y0,2xy1，332 32，当且仅当，即yx时，等号成立，解得x1，y1，当x1，y1时，有最小值32.测一测，大显身手一、选择题1【答案】B【解析】令t(t0)，则xt2，f(x).当t0时，f(x)0；当t>0时，f(x).t2，0<.f(x)的最大值为.2【答案】C【解析】a0，b0，且ab2，b2a(0a2)，aba(2a)a22a(a1)21.0a2，0ab1，故A、B错误；a2b2a2(2a)22a24a42(a1)22.0a2，2a2b24.故选C.3【答案】B【解析】解法一：0ab，1ab2a，a，又a2b22ab，最大数一定不是a和2ab，1ab2，ab，a2b2(ab)22ab12ab1，即a2b2.故选B.解法二：特值检验法：取a，b，则2ab，a2b2，a2b2最大4【答案】B【解析】根据题意得3a·3b3，ab1，24.当ab时“”成立故选B.5【答案】C【解析】(ab)12，等号在ab1时成立 6【答案】D【解析】由等差、等比数列的性质得2224.当且仅当xy时取等号，所求最小值为4.二、填空题7【答案】【解析】0<x<1，1x>0，x(1x)2，等号在x1x，即x时成立，所求最大值为. 8【答案】2【解析】t>0，yt4242，当且仅当t，即t1时，等号成立三、解答题9【解析】(1)x>0，y>0，由基本不等式，得2x5y22·.又2x5y20，202·，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立由，解得.当x5，y2时，xy有最大值10.这样ulgxlgylg(xy)lg101.当x5，y2时，umax1.(2)由已知，得x·y100，5x2y2220.当且仅当5x2y，即当x2，y5时，等号成立所以5x2y的最小值为20.学科网（北京）股份有限公司