2022年人教版数学六年级下册《负数解决问题》_ .pdf

函数的单调性教案课 题：函数的单调性教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）P 57P 60 教学目标：1知识与技能目标使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。2过程与方法目标通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。3态度与情感价值观目标通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。教学重点：函数单调性的概念、判断及证明。教学难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性。教学方法：教师启发讲授，学生探究学习。教学手段：计算机、投影仪。教学过程：一、创设情境，引入课题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -课前布置任务：(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7 月 25日推迟到 8月 8 日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8 月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8 月 8 日一天 24 小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考问题：观察图形，能得到什么信息？预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小二、归纳探索，形成概念名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1借助图象，直观感知问题 1：分别作出下列函数图像：212,2,yxyxyyxx并观察当自变量变化时，函数值有什么变化规律？预案：(1)函数 y=x+2 在整个定义域内 y 随 x 的增大而增大；函数y=-x+2在整个定义域内 y 随 x 的增大而减小(2)函数2yx在0,+)上 y 随 x 的增大而增大，在(-,0)上y 随 x 的增大而减小(3)函数1yx在在(-,0)上 y 随 x 的增大而增大，在（0,+)上 y 随 x 的增大而减小。引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质问题 2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?1yx在(0,+)上 y 随 x 的增大而减小，1yx在(-,0)上y 随 x 的增大而减小。预案：如果函数 f(x)在某个区间上随自变量x 的增大，y 也越来越大，我们说函数 f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识.2探究规律，理性认识名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -问题 1：下图是函数2(0)yxxx的图像你能说出此函数在哪个间为增函数和减函数吗？学生的困难是难以确定分界点的确切位置通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究【设计意图】使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性。问题 2：如何从解析式的角度说明2()f xxx在0,+)为增函数？预案：(1)在给定区间内取两个数，例如2 和 3，因为(2)(3)ff,所以2()f xxx在（0,+)为增函数(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以2()f xxx在（0,+)为增函数(3)任取12,x x（0,+),且结合2(0)yxxx的图象,能说出这个函数分别在哪个区间是减函数？哪个区间是增函数吗？对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量12,x x，满足取值的任意性。3抽象思维，形成概念问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -(1)板书定义（师生共同归纳）定义：一般的，设函数定义域为I,如果对于定义域I 内某个区间 D上的任意两个自变量的值x1,x2,当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，则函数 f(x)在区间 D上是增函数；此时区间D称为此函数 f(x)的递增区间。学生类比得出减函数的定义：若都有 f(x1)f(x2),则函数 f(x)在区间 D上是减函数。此时区间D称为此函数 f(x)的递减区间。(2)巩固概念判断题：已知函数 ,因为，所以函数是增函数。若函数()f x满足(2)(3)ff，所以函数(x)f在 2,3 是单调递增函数。若函数 f(x)在区间(1,2 和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数因为函数在区间(-,0)和(0,+)上都是减函数，所以函数在,00,x上是减函数.通过判断题，强调三点：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)。函数在定义域内的两个区间A,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在 AB 上是增（或减）函数。思考：如何说明一个函数在某个区间上是不是单调函数?三、掌握证法，适当延展例：证明函数在 2,上是增函数。1()f xx(1)(2)ff1()f xx1()f xx1()f xx2()f xxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -1 分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流。引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论练习：在引入导数后，用定义证明单调性的作用已经有所降低，我选择一个较难的例子，主要是考虑让学生对证明过程中遇到的问题有个比较深刻的认识。证明过程的教学分为三个环节：难点突破、详细板书、归纳步骤。1.难点突破对于函数单调性的证明，由于前边有对函数2()f xx在 0,上为增函数的研究作铺垫,大部分学生能完成取值和求差两个步骤：证明：任取12,x x2,，且12xx，12121222()()()()ffxxxxxx因此学生的难点主要是两个函数值求差后的变形方向以及变形的程度.问题主要集中在两个方面:一方面部分学生不知道如何变形,不敢动笔；另一方面部分学生在变形不彻底,理由不充分的情形下就下结论。针对这两方面的问题，教学中，我组织学生讨论，引导学生回顾函数2()f xx在0,是增函数的说明过程，明确变形的主要思路是因式分解.然后我引导学生从已有的认知出发，考虑分组分解法，即把形式相同的项分在一起，变形后容易找到公因式12()x x，提取后即可考虑判断符号。2.详细板书在上面分析的基础上，我对证明过程进行规范、完整板书，引导学生注意证明过程的规范性和严谨性，帮助学生养成良好的学习惯.证明：任意取12,2,x x且12xx设元12121222()()()()ffxxxxxx求差变形211212()2()xxxxx x名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -因为12,2,x x，得122x x，断号又由于12xx，得120 xx，所以12()()0ffxx，即12()()ffxx所以函数在 2,上是增函数。定论3 归纳步骤在板书的基础上，我引导学生归纳利用定义证明函数调性的方法和步骤(设元,求差,变形,断号,定论).通过对证明过程的分析，使学生明确每一步的必要性和目的，特别是第三步，让学生明确变形的方法以及变形的程度，帮助学生掌握方法，提高学生的推理论证能力，为了巩固定义证明函数单调性的方法，强化解步骤，形成并提高解题能力，我设计了课堂练习：证明：函数()f xx在 0,上是增函数。（学生当堂自己练习）教学过程中，我对学生的完情况进行及时评价和有针对性的指导，同时考虑到我校学生数学基础较好，思维较为活跃的特点，为了加深学生对定义的理解，并对判断单调性的方法做适当延展，我设计了下的问题。问题：除了用定义外如果证得对于任意的12,x x,a b，且12xx，均有1212()()0ffxxxx，能判断()f x在,a b 上是增函数吗？在教学过程中，我引导学生分析这种叙述与定义的等价性，然后让学生尝试用这种定义等价形式证明之前的课堂练习，这种方法进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数的单调性埋下伏笔。（四）归纳小结，提高认识本阶段通过学习小结进行课堂教学的反馈，组织和指导学生归纳知识、技能、方法的一般规律，深化对数学思想方法的认识，为后学习打好基础。在学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结2()f xxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -1小结(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等2.布置作业书面作业：课本第 60 页 习题 2.3 第 4，5，6 题（2）研究函数1()(0)f xxxx的单调性，并结合描点法画出函数的草图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -