有理数的加减法（提高）知识讲解.docx

有理数的加减法(提高)责编：康红梅【学习目标】1 .掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；.掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，体会其中蕴含的转化 的思想；2 .熟练地将加减混合运算统成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运 算律合理简算，并且会解决简单的实际问题.【要点梳理】要点一、有理数的加法1 .定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法.2 .法则：(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加：(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0;(3) 一个数同()相加，仍得这个数.要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则.(2)确定和的符号(是“ + ”还是“一”).(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减).3.运算律：加法文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变有理 数加交换 律符号语言a+b=b+a法运加法文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，算律好Zk口 口和不变律符号语言(a+b) +c=a+ (b+c)要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号.要点二、有理数的减法.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+? =7,求？，减法是加法的逆运算.要点诠释：(I)任意两个数都可以进行减法运算.(2)几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：性质符号；数字即数的 绝对值.1 .法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：a-b = a + (-b).要点诠释：将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的数变为它的耳号变加6-(-2)=6+(+2)I4减数变为相反数减号手加号(-2)午(一21一?域数变为相反数相反数”,如:要点三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.【典型例题】类型一、有理数的加法运算13(+6-) +(+2-)(3) 1.125 + f 3j(4) 0 + (5 )(5) 3 4- (+3.5)【思路点拨】(1) (2)属于同一类型，用的是加法法则的第一条：；(3) (5)属于同一类, 用的是加法法则的第二条；(4)用的是法则的第三条.【答案与解析】= -(3- + -) =-3；5 840= -(3- + -) =-3；5 8401 313131(+6-) + (+2-) =+(6-+ 2-) = 8 + = 9343412121.125 + (-3, = 1.125 + (-3.4) = -(3.4 -1.125) = -2.275220 + (-5-) = -5- 33(2) -33+(+3.5) = -3.5+ 3.5 = 0【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先 确定符号，再计算绝对值.举一反三： 【高清课堂：有理数的加减法 382681有理数的加法例2】(4)(4)【变式 1】计算：(D/zg + l。!；(2)(-1)+(73);(3) 1 y +(-2 );262437-+(-3.8)+(-7.2)5【答案】(1)原式=+(1()，-7，)= (9-7) + (1，-，)= 22； 626 23(2)原式=一(0.5 + 7.3) = -7.8;(3)原式=一(21一1；) 二 一1w；(4)原式=7.27.23.8 = 03.8 = 3.8I ( s 【变式2】计算：-+己+ -2 316；答案 -1hlF| = 1bld- = (-1 + 1) + |"!F2 3 I 6J 23 6K 2j 3【变式3】计算:(+6) + (+ + (-3.3) + (+3) + (6) + (+0.3) + (+8) + (+6) + ( 16) + 6【答案】解法一:(+6) + + + (3.3) + (+3) + (6) + (+0.3) + (+8) + (+6) + (- 16) + (-6=(+6) + (+a + (+3) + (+0.3) + (+8) + (+6)=(+6) + (+a + (+3) + (+0.3) + (+8) + (+6)+(-3.3)+ (-6) + (-16)+ 一6；) 一同号的数一起先加= (+23.55) + (31.55) = 8.解法二：(+6) + ( + (-3.3) + (+3) + (6) + (+0.3) + (+8) + (+6) + ( 16) + 6 ( 1 1=(+6)+ + + -6 +(- 3.3) + (+3) + (+0.3) + (-6) + (+6) + (-16) + (+8)L I 4八 4JJ一同分母，互为相反数的数，或几个数可以凑整的数分别结合相加=0 + 0 + 0 + (-8) = -8.类型二、有理数的减法运算2 . (1)2-(-3)； (2) 0-(-3. 72)-(+2. 72)-(-4)； (3)f+->|-3-.I 7j 3【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数 的加法进行计算.【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算.(1)2-(-3) =2+3=5(2)原式=0+3. 72+(-2. 72) +4= (0+4)+ (3. 72-2. 72) =4+1=5【总结升华】算式中的“ + ”或既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性 质符号按多重符号化简进行计算.类型三、有理数的加减混合运算3 .计算：(1)-3. 72-1. 23+4. 18-2. 93-1. 25+3. 72；(2) 11-12+13-15+16-18+17；(3) 3.76-39-5- + 68-4.76-2- +1-3625 113(4) 3.46 + 43.87 2 + 1.54 + 3.37+ 一6 344135513(5) -3- + 5- + 4-6；(6) 2.25+ 3-2-+ 1.8752461884【答案与解析】(1)观察各个加数，可以发现-3. 72与3. 72互为相反数，把它们分为一组;4. 18、-2. 93与-1. 25的和为0,把它们分为一组可使计算简便.解：-3. 72-1. 23+4. 18-2. 93T. 25+3. 72=(-3. 72+3. 72)+ (4. 18-2. 93-1.25)-1. 23=0+0-1. 23=-1.23(2)把正数和负数分别分为一组.解：11-12+13-15+16-18+17= (11 + 13+16+17) + (-12-15-18)=57+(-45)= 12(3)仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是-1,两个整数的和是29,三个分数通分 后也不难算.故把整数、分数、小数分别分为一组.解：3.76-39-5- + 68-4.76-2- + 1-362=(3.76-4.76) + (-5-2- + 1-) + (-39 + 68) =-1 + (-6) + 29 = 22362(4) 3. 46和1. 54的和为整数，把它们分为一组：-3. 87与3. 37的和为-0. 5,把它们分为一113组；4巳与-易于通分，把它们分为一组；-2与士同分母，把它们分为一组.5 344113解：3.46 + 4-3.87-2- + 1.54 + 3.37 + -3445 11 3=(3.46 +1.54) + (-3.87 + 3.37)+ (4- ) + (-2- + -)34 4=5 + (-0.5) + 4 - + (-1 -) = 4.5 + 3 = 7.522(5)先把整数分离后再分组.1355解：一32+ 5=+ 4己一632461824618八-18 + 27 + 30-10=0 +3629=36注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数 都是负数，例如3' 二 一3-1.22(6)如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好.可先将小数和分数统后再考虑分组.1 3解：2.25 + 32- + 1.8754=(2.25 - 2.75) + (3.125 + 1.875)= -0.5 + 5 = 45【总结升华】计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算.注 意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换.举一反三：【变式】(2014甘肃模拟)5.6+0.9+4.4 - ( - 8.1).【答案】解：原式=5.6+0.9+4.4+8.1=19.类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用【高清课堂：有理数的加减法382681有理数加减的应用】(2014秋郑州期末)“九宫图传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又 称"龟背图"，中国古代数学史上经常研究这一神话.(1)现有1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中， 使得第行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15；(2)通过研究问题(1),利用你发现的规律，将3, 5, -7, 1, 7, -3, 9, -5, - 1这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等.图2【答案与解析】 解： 15+3=5, 最中间的数是5,【答案与解析】 解： 15+3=5, 最中间的数是5,其它空格填写如图1;(2)如图2所示.图1图2【总结升华】本题考查了有理数加法，熟知“九宫图的填法是解题的关键.举一反三：【变式】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197, 202, 197, 203, 200, 196, 201, 198.计算出售的粮食总共多少千克？【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的干克数记作正数，不足的千克数记作负数，则 这 8 个数的差的累计是：(-3) + (+2) + (-3) + (+3)+0+ (-4) + (+1) + (-2) = -6200义8+(-6) = 1594(千克)答：出售的粮食共1594千克.法二：197+202+197+203+200+196+201+198= 1594（千克） 答：出售的粮食共1594千克.