数列求和常用方法讲稿.ppt

山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第2章数列章数列课课堂堂互互动动讲讲练练知知能能优优化化训训练练关于数列求和常用方法第一页，讲稿共二十一页哦 常用的公式有：常用的公式有：(1)(1)等差数列等差数列 a an n 的前的前n n项和项和 S Sn n=.(2)(2)等比数列等比数列 a an n 的前的前n n项和项和 S Sn n=(q q1)1)(3)1(3)12 2+2+22 2+3+32 2+n n2 2=.(4)1(4)13 3+2+23 3+3+33 3+n n3 3=.na1+d(1)2n n1(1)1naqq11naa qqn(n+1)(2n+1)16n2(n+1)2141()2nn aa1公式法：直接应用等差数列，等比数列的前n项和公式，以及正整数的平方和公式、立方和公式等进行求和常用求和方法常用求和方法第二页，讲稿共二十一页哦课堂互动讲练课堂互动讲练考点突破考点突破公式法公式法如果所给数列是等差数列、等比数列或者经过适当如果所给数列是等差数列、等比数列或者经过适当的变形所给数列可化为等差数列、等比数列，从而的变形所给数列可化为等差数列、等比数列，从而可利用等差、等比数列的求和公式来求解可利用等差、等比数列的求和公式来求解第三页，讲稿共二十一页哦 (2010年高考陕西卷年高考陕西卷)已知已知an是公差不为零的是公差不为零的等差数列，等差数列，a11，且，且a1，a3，a9成等比数列成等比数列(1)求数列求数列an的通项；的通项；(2)求数列求数列2an的前的前n项和项和Sn.【思路点拨思路点拨】利用利用a1，a3，a9成等比数列，可求公差成等比数列，可求公差d，从而得出，从而得出an.第四页，讲稿共二十一页哦【解】【解】(1)由题设知公差由题设知公差 d0，由由 a11，a1，a3，a9成等比数列，得成等比数列，得12d118d12d，解得解得 d1 或或 d0(舍去舍去)故故an的通项的通项 an1(n1)1n.(2)由由(1)知知 2an2n，由等比数列前，由等比数列前 n 项和公式，项和公式，得得 Sn222232n2 12n 122n12.第五页，讲稿共二十一页哦分组法分组法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可列，然后分别求和，再将其合并即可.第六页，讲稿共二十一页哦第七页，讲稿共二十一页哦第八页，讲稿共二十一页哦倒序相加法倒序相加法是推导等差数列的前是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到以得到n个个.第九页，讲稿共二十一页哦111()(1)2222nnfnf n 解解：22 1(22 1)2nn 1211 2222nnn (6)(5)(1)(4)(5)Tfffff 2212,2T (5)(4)(0)(5)(6)Tfffff 即即.3 2T 2.2 探究探究三三：倒序相加法求和倒序相加法求和 11(),()(1)22(5)(4)(0)(5)(6).例例.若若函函数数计计算算的的值值，并并求求xf xfnf nTfffff 例例3第十页，讲稿共二十一页哦裂项相消法裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解通项分解（裂项）（裂项）如：如：1(1111)n nnn1)(11(1)kn nnnkk1)1(nknknkn第十一页，讲稿共二十一页哦 已知等差数列已知等差数列an满足：满足：a37，a5a726，an的前的前n项和为项和为Sn.(1)求求an及及Sn；【思路点拨思路点拨】由由a3，a5a7的值可求的值可求a1，d，利用公式，利用公式可得可得an，Sn.对于对于bn，利用裂项变换，便可求得，利用裂项变换，便可求得Tn.第十二页，讲稿共二十一页哦第十三页，讲稿共二十一页哦第十四页，讲稿共二十一页哦错位相减法错位相减法对于形如对于形如anbn的数列的前的数列的前n项和项和Sn的求法的求法(其中其中an是是等差数列，等差数列，bn是等比数列是等比数列)，可采用错位相减法具，可采用错位相减法具体解法是：体解法是：Sn乘以某一个合适的常数乘以某一个合适的常数(一般情况下乘一般情况下乘以数列以数列bn的公比的公比q)后，与后，与Sn错位相减，使其转化为等错位相减，使其转化为等比数列问题来解比数列问题来解第十五页，讲稿共二十一页哦 (2010年高考课标全国卷改编年高考课标全国卷改编)设等比设等比数列数列an满足满足a12，a4128.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)令令bnnan，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Sn.【思路点拨思路点拨】利用公式求得利用公式求得an，再利用错位相减法，再利用错位相减法求求Sn.第十六页，讲稿共二十一页哦【解】【解】(1)因因 a12，a4128，q4，an24n122n1.(2)由由 bnnann22n1知知 Sn12223325n22n1，从而从而 22Sn123225327n22n1.得得(122)Sn2232522n1n22n1，即即 Sn19(3n1)22n12 第十七页，讲稿共二十一页哦6.6.并项法并项法 将数列的每两项将数列的每两项(或多次或多次)并到一起后，再并到一起后，再 求和，这种方法常适用于摆动数列的求和求和，这种方法常适用于摆动数列的求和.例六：Sn=12-22+32-42+(-1)n-1n2第十八页，讲稿共二十一页哦当当n是偶数时，是偶数时，Sn=(12-22)+(32-42)+(n-1)2-n2=-3-7-(2n-1)=.当当n是奇数时，是奇数时，Sn=1+(32-22)+(52-42)+n2-(n-1)2=1+5+9+(2n-1)=.故故Sn=(-1)n-1 (nN*).(1)2n n(1)2n n(1)2n n第十九页，讲稿共二十一页哦1注意对以下求和方式的理解注意对以下求和方式的理解(1)倒序相加法用的时候有局限性，只有与首、末两项倒序相加法用的时候有局限性，只有与首、末两项等距离的两项之和是个常数时才可以用等距离的两项之和是个常数时才可以用(2)裂项相消法用得较多，一般是把通项公式分解为两裂项相消法用得较多，一般是把通项公式分解为两个式子的差，再相加抵消在抵消时，有的是依次抵消个式子的差，再相加抵消在抵消时，有的是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消时要注意规律性，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消时要注意规律性(3)错位相减法是构造了一个新的等比数列，再用公错位相减法是构造了一个新的等比数列，再用公式法求和式法求和方法感悟方法感悟第二十页，讲稿共二十一页哦2022-9-7感谢大家观看感谢大家观看第二十一页，讲稿共二十一页哦