数列求和的基本方法和技巧专题.ppt
数列求和的基本方法数列求和的基本方法和技巧专题课件和技巧专题课件现在学习的是第1页，共22页 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学谈谈数列求和的基本方法和技巧.现在学习的是第2页，共22页)1(211nnkSnkn一、利用常用求和公式求和一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、4、5、dnnnaaanSnn2)1(2)(11)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn)12)(1(6112nnnkSnkn213)1(21nnkSnkn现在学习的是第3页，共22页 例例1 已知 ，求 的前n项和3log1log23x nxxxx32 由等比数列求和公式得nnnnnxxxxxxxS211211)211(211)1(32 现在学习的是第4页，共22页 例例2 设Sn1+2+3+n，nN*,求 的最大值1)32()(nnSnSnf解：由等差数列求和公式得解：由等差数列求和公式得)1(21nnSn)2)(1(21nnSn1)32()(nnSnSnf64342nnnnn6434150)8(12nn501 当当 ，即，即n8时，时，88n501)(maxnf现在学习的是第5页，共22页二、错位相减法求和二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前的前n项和，其中项和，其中 an、bn 分别是等差数分别是等差数列和等比数列列和等比数列.现在学习的是第6页，共22页 解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列 的通项之积设 （设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：例例3 求和：132)12(7531 nnxnxxxS1)12(nxn1nxnnxnxxxxxS)12(7531432 nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432 nnnxnxxxSx)12(1121)1(121)1()1()12()12(xxxnxnSnnn现在学习的是第7页，共22页例例4 求数列 前n项的和 ,22,26,24,2232nn解：由题可知，解：由题可知，的通项是等差数列的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项与等比数列 的通项之积的通项之积nn22n21设设 nnnS2226242232 14322226242221 nnnS （设制错位）（设制错位）1432222222222222)211(nnnnS1122212nnn得得1224nnnS现在学习的是第8页，共22页三、反序相加法求和三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到把它与原数列相加，就可以得到n个个.现在学习的是第9页，共22页例例5 理理求证：求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210 证明：证明：设设 .nnnnnnCnCCCS)12(53210 把式右边倒转过来得把式右边倒转过来得 0113)12()12(nnnnnnnCCCnCnS （反序）（反序）又由又由mnnmnCC可得可得 nnnnnnnCCCnCnS 1103)12()12(.+得得 nnnnnnnnnCCCCnS2)1(2)(22(2110 （反序相加）（反序相加）nnnS2)1(现在学习的是第10页，共22页例例6 求求89sin88sin3sin2sin1sin22222 的值的值解：设解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222 S.将式右边反序得将式右边反序得 1sin2sin3sin88sin89sin22222 S.反序）反序）又因为又因为 1cossin),90cos(sin22xxxx+得得)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222 S89 S44.5现在学习的是第11页，共22页四、分组法求和四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可合并即可.现在学习的是第12页，共22页例例7 求数列的前求数列的前n项和：项和：231,71,41,1112 naaan，解：设解：设)231()71()41()11(12 naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12 naaaSnn（分组）（分组）2)13(nnnSn2)13(nn 当当a1时，时，（分组求和）（分组求和）1a2)13(1111nnaaSnn2)13(11nnaaan当当时，时，现在学习的是第13页，共22页例例8 求数列求数列n(n+1)(2n+1)的前的前n项和项和.解：设解：设 kkkkkkak2332)12)(1(nknkkkS1)12)(1()32(231kkknk 将其每一项拆开再重新组合得将其每一项拆开再重新组合得 Snkkknknknk1213132（分组）（分组）)21()21(3)21(2222333nnn 2)2()1(2)1(2)12)(1(2)1(222nnnnnnnnnn现在学习的是第14页，共22页五、裂项法求和五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的到求和的目的.通项分解通项分解（裂项）（裂项）如：如：现在学习的是第15页，共22页11211 nnnnan12nnnaab例例9 在数列在数列an中，中，又，又求数列求数列bn的前的前n项的和项的和 解：解：211211nnnnnan )111(82122nnnnbn（裂项）（裂项）数列数列bn的前的前n项和项和)111()4131()3121()211(8 nnSn)111(8n18nn 现在学习的是第16页，共22页例例10 求证：求证：1sin1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos12 解：设解：设89cos88cos12cos1cos11cos0cos1 Snnnntan)1tan()1cos(cos1sin（裂项）（裂项）89cos88cos12cos1cos11cos0cos1 S（裂项求和）（裂项求和）88tan89tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan1(tan1sin1)0tan89(tan1sin11cot1sin11sin1cos2 原等式成立原等式成立 现在学习的是第17页，共22页 六、合并法求和六、合并法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.现在学习的是第18页，共22页例例11 求求cos1+cos2+cos3+cos178+cos179的值的值.解：设解：设Sn cos1+cos2+cos3+cos178+cos179)180cos(cosnn（找特殊性质项）（找特殊性质项）Sn（cos1+cos179）+（cos2+cos178）+（cos3+cos177）+（cos89+cos91）+cos90 0现在学习的是第19页，共22页例例12 数列数列an：nnnaaaaaa12321,2,3,1，求，求S2002.0665646362616kkkkkkaaaaaa （找特殊性质项）（找特殊性质项）S20022002321aaaa （合并求和）（合并求和）现在学习的是第20页，共22页 0665646362616kkkkkkaaaaaa （找特殊性质项）（找特殊性质项）现在学习的是第21页，共22页例例13 在各项均为正数的等比数列中，若在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa 求的值的值.解：设解：设1032313logloglogaaaSn 由等比数列的性质由等比数列的性质 qpnmaaaaqpnm（找特殊性质项）（找特殊性质项）和对数的运算性质和对数的运算性质 NMNMaaalogloglog 得得)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaaSn （合并求和）（合并求和）)(log)(log)(log6539231013aaaaaa 109log9log9log333 现在学习的是第22页，共22页
