微积分函数极限的性质及运算法则讲稿.ppt
微积分函数极限的性质及运算法则第一页，讲稿共十八页哦定义2.3MxfxxOxMxxOxxxxf )()(,0,)(:)(000000时时使使得得且且若若存存在在的的去去心心邻邻域域有有一一个个如如果果时时是是有有界界的的称称为为在在函函数数 性质2.5.)(,)(lim界界所允许的某一邻域内有所允许的某一邻域内有极限过程极限过程在在则则（局部有界性）若（局部有界性）若XxxfAxfXx 性质2.6.)()()()()(,)(lim,)(limBxfxgxfXxxgxfBABxgAxfXxXx 特特别别有有的的某某一一邻邻域域内内满满足足所所允允许许在在极极限限过过程程与与则则（局局部部保保号号性性）若若（类似可定义其他过程下的有界性）).()(局局部部有有界界在在其其中中是是有有界界的的则则称称xf第二页，讲稿共十八页哦性质2.8所允许的某一邻域内，所允许的某一邻域内，）若在极限过程）若在极限过程（函数极限的夹逼定理（函数极限的夹逼定理Xx,)()()(xhxfxg ,)(lim)(limAxhxgXxXx 且.)(limAxfXx 则性质2.7.,)()(,)(lim,)(limBAxgxfXxBxgAxfXxXx 则则下下过程过程且在极限且在极限若若0)(),0(1)(xgxxxf与与例例：).(lim)(limxgxfxx 但但)!:(等号不可去掉等号不可去掉注注第三页，讲稿共十八页哦A f(x)g(x)yox0 x10 x10 x h(x)第四页，讲稿共十八页哦例.1sinlim0 xxx理理证证明明利利用用函函数数极极限限的的夹夹逼逼定定证明OAxBDCxy,tan,sinxBDxAC xxxsinlim0 因为因为的的情情形形。且且故故只只需需讨讨论论00 xx.作单位圆，如右图作单位圆，如右图)20(xxAOC设设uuusinlim0 xxx )sin(lim0 xxx )sin(lim0 xxxsinlim0 第五页，讲稿共十八页哦，根根据据夹夹逼逼定定理理可可得得由由于于10coscoslim0 xx.1sinlim0 xxx，的的面面积积的的面面积积扇扇形形的的面面积积OBDOBCOBC xxxtan2121sin21 20,1sincossin xxxxx得得：同同乘乘以以OAxBDCxy)20(tansin xxxx即即)20(sincos1sin1 xxxxx即即.1sinlim0 xxx因此因此1/42 题题P第六页，讲稿共十八页哦性质2.9，则则若若BxgAxfXxXx )(lim,)(lim).0()(lim)(lim)()(lim BBAxgxfxgxfXxXxXx这里要求这里要求;)()(lim)(lim无无关关的的常常数数是是与与xCCAxfCxCfXxXx ;)(lim)(lim)()(limBAxgxfxgxfXxXxXx ;)(lim)(lim)()(limABxgxfxgxfXxXxXx 说明:性质可推广到有限个函数的情形.第七页，讲稿共十八页哦例.求极限1352lim22xxxx)52(lim22xxx552421limlim3)13(lim222xxxxx1352lim22xxxx(直接代入法)5limlimlim22222 xxxxx07123 7513lim52lim222 xxxxx解:时时，要要注注意意使使用用条条件件应应用用极极限限四四则则运运算算法法则则(1)参加求极限的函数应为有限个;(2)每个函数的极限都必须存在;(3)考虑商的极限时，还需要求分母的极限不为零。第八页，讲稿共十八页哦31lim3xxx例.934lim223 xxxx)3)(3()1)(3(lim3xxxxx原式原式62 31(约去零因子法)x 3 时分子、分母都 0!分母的零因子。分母的零因子。为分子、为分子、3 x解)9(lim)34(lim2323 xxxxx)00(型型第九页，讲稿共十八页哦例.11lim21 xxxxx求求解)11(lim21xxxxx )1()1)(1(lim1 xxxxxxxx1lim1 )1()1)(1(lim1 xxxxx.2 xxxxxxxxxxx 211211lim1lim11lim)00(型型 x 1 时分子,分母都 0!将它约去。将它约去。分母的零因子，我们可分母的零因子，我们可同为分子同为分子由于由于,1 x(先化简再约去零因子法)(型型 )11(lim21xxxxx 第十页，讲稿共十八页哦22312lim4xxx例.(根式有理化法)00(型型)312(lim)22(lim44xxxx22312xx)312)(4()22)(4(2xxxx所以，)312()22(2lim22312lim44xxxxxx2326240)312)(22)(22()22)(312)(312(xxxxxx)312()22(2xx解第十一页，讲稿共十八页哦例.求.125934lim22 xxxxx x时,分子.分母22111125934limxxxxx 分子分母同除以,2x则54“抓大头”原式)(型型 解123lim523 xxxx练习：求练习：求927)12()2(limxxxx9210321)12()2(lim xxxx321 331 第十二页，讲稿共十八页哦为非负常数)nmba,0(00 mn 当当mmmxaxaxa 110limnnnbxbxb 110,00ba,0,mn 当当mn 当当用变量的最高次幂去除分子,分母.一般有如下结果：此结论成立注意：此结论成立注意：不是正整数的情形。不是正整数的情形。结论也可适用于结论也可适用于nm,)2(!)1(型型必须为必须为 第十三页，讲稿共十八页哦性质2.10.)(lim,)(lim)()(limBxgfBxfAxgAAxgXxAxXx 则则，且且可以是无穷大）可以是无穷大）（这里（这里若若这一性质是用变量替换求极限的理论基础)(lim)(lim)(yfxgfAyyxgXx 令令.B 复合函数求极限：变量替换法第十四页，讲稿共十八页哦例.0)(lim0)(lim xfxfXxXx的的充充要要条条件件是是证证明明：证明)(limxfXx)()()(xfxfxf 由由于于.0)(lim xfXx根根据据夹夹逼逼定定理理可可得得必要性：充分性：,0 变量替换求极限yxfyy0lim)(第十五页，讲稿共十八页哦例.elim)3(;elim)2(;2lim)1(210110 xxxxxx ，如果存在求出其值：，如果存在求出其值：判别下列极限是否存在判别下列极限是否存在解(1)由于yyxxxy2lim12lim10 xx102lim.2lim10不不存存在在因因此此xx,0 yyxy2lim1 P43(8)第十六页，讲稿共十八页哦210elim)3(xx xx1elim)2(0e.1 yye1lim.0)0(1lim1 aaxx.1;4;:nmkeyyyxyelim10 yyxy elim12.1372lim)3(31 xxx)12,10(13/51)(0(11lim)1(1Pnxxnmx P43/2(1,2)练习：练习：);2112(lim)2(21xxxxxx 第十七页，讲稿共十八页哦.,0)1(lim.32kkxxxx求求若若 4.试确定常数 a,b 使.0)1(lim2bxaxxx.,14lim.2231lalxxaxxx求求有有限极限值有有限极限值设设 21 k.10,4 la.21,1 ba5.P43/5第十八页，讲稿共十八页哦
