理论力学第十三章动能定理论.ppt

理论力学课件第十三章动能定理论现在学习的是第1页，共60页2现在学习的是第2页，共60页 131 力的功力的功 132 质点和质点系的动能质点和质点系的动能 133 动能定理动能定理 134 功率功率 功率方程功率方程 135 势力场势力场 势能势能 机械能守恒定理机械能守恒定理 136 动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理及综合应用第十四章第十四章 动能定理动能定理3现在学习的是第3页，共60页一常力的功一常力的功 13-1力的功力的功二变力的功二变力的功 三常见力的功三常见力的功 1重力的功重力的功2弹性力的功弹性力的功3定轴转动刚体上作用力的功，力偶的功定轴转动刚体上作用力的功，力偶的功4现在学习的是第4页，共60页SFFSW cos力的功是代数量:时,正功；时,功为零；时,负功。222质点作直线运动，路程为S,(M1M2)，力在位移方向上的投影为Fcos，力F在路程S中所作的功为：一常力的功一常力的功5现在学习的是第5页，共60页dsFrdF dsFWcos元功元功：ZdzYdyXdxWkdzjdyidxrdkZjYiXF,ZdzYdyXdxrdF设质点M在变力F的作用下作曲线运动。将曲线分成无限多个微小段ds，力F在微段上可视为常力，所作的微小的功称为元功：二变力的功二变力的功（ds的方向在曲线的切线方向，与dr同向，）6现在学习的是第6页，共60页力在全路程中作功为21cosMMdsFW21MMrdFW21MMZdzYdyXdxW)(7现在学习的是第7页，共60页三常见力的功三常见力的功21)(2112zzzzmgmgdzW质点系质点系：)(2112CCzzMgW 质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。乘积，而与各质点的路径无关。mgZYX,0,0质点质点：重力在三轴上的投影：与运动轨迹无关式中：zc1、zc2为质点系的质心坐标1重力的功重力的功8现在学习的是第8页，共60页F的方向指向弹簧自然位置。当弹簧长度增加d时，弹性力的元功：kF)(2 222112kW即k弹簧的刚度系数，dkFW212112dkdWW2弹性力的功弹性力的功质点M与弹簧联接，弹簧自然长l0，现伸长，弹簧作用于质点的弹性力 的大小与弹簧的变形量 成正比，即：Fl0F FdM21M1M29现在学习的是第9页，共60页)(22212 kW即 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。，而与质点运动的路径无关。当质点的运动轨迹为曲线时也成立：10现在学习的是第10页，共60页21)(12 dFmWz 3定轴转动刚体上作用力的功定轴转动刚体上作用力的功 力偶的功力偶的功设刚体绕 z 轴转动，在M点作用有力，计算刚体转过一角度 时力所作的功。FFdsFW元功：当F 是常力时，得)()()(FFzzmmW12)12（其中 定轴转动刚体上作用力的功等于：定轴转动刚体上作用力的功等于：力对转轴的矩乘以转过的角度力对转轴的矩乘以转过的角度。质点的轨迹为圆，圆的切线方向为 。rdF dFmz)(11现在学习的是第11页，共60页若m=常量,则如果作用力偶m,且力偶的作用面垂直转轴21 dmWmmW)(12注意：功的符号的确定。注意：功的符号的确定。)(1212现在学习的是第12页，共60页二质点系的动能二质点系的动能动能是瞬时量,是与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位也是J。221iivmT13-2质点和质点系的动能质点和质点系的动能221mvT 物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。一质点的动能一质点的动能13现在学习的是第13页，共60页22222)(21)(2121iiiiiirmrmTvmT2定轴转动刚体定轴转动刚体三刚体的动能三刚体的动能rivimiz（vi=ri）221zJT 22)(2121CiiivmvmT1平动刚体平动刚体（vi=vC）221CmvT 14现在学习的是第14页，共60页221PJT（P为速度瞬心 ）2mdJJCP2222212121)()(dmJmdJTCC3平面运动刚体平面运动刚体222121CCJmvTCvCPd)(cvd15现在学习的是第15页，共60页例例1图示系统中,均质圆盘A、B质量均为m，半径均为R,重物D质量为m1，下降速度为v。求重物D、圆盘A、B的动能。解：重物D：2121vmT 圆盘A：222241)(21(2121mvRvmRJTAOm1gmgmgvC16现在学习的是第16页，共60页圆盘B：2222163)2(21)2)(21(21mvvmRvmR222121CBCmvJTm1gmgmgvC17现在学习的是第17页，共60页1质点的动能定理：质点的动能定理：Wmvd)21(2动能定理的微分形式动能定理的微分形式将上式沿路径积分，21MM1221222121Wmvmv动能定理的积分形式动能定理的积分形式两边点乘以，rdrdFrddtvdm Fam 13-3动能定理动能定理rdFvvdm rdFdtrdvdm 1221221Wvmdvvii)(Fdtvdm rdFvdvmvvdm21 21 rdFvvm)21d(18现在学习的是第18页，共60页对质点系中的一质点 ：iMiiiWvmd)21(2将上式沿路径 积分，可得21MMiWTT12质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式 )21(2iiiWvmd对整个质点系，有：2质点系的动能定理质点系的动能定理 质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式iWdTiiiWvmd)21(219现在学习的是第19页，共60页3.理想约束理想约束约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。2)活动铰支座、固定铰支座和向心轴承活动铰支座、固定铰支座和向心轴承3)刚体沿固定面作纯滚动刚体沿固定面作纯滚动5)柔索约束（不可伸长的绳索）和二力杆柔索约束（不可伸长的绳索）和二力杆拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。)(0)(rdNrdNWNrdNrdNWN)(0rdNrdN1)光滑固定面约束光滑固定面约束4)联接刚体的光滑铰链（中间铰）联接刚体的光滑铰链（中间铰）20现在学习的是第20页，共60页 卷扬机,鼓轮上作用常力偶M，鼓轮半径为R1,质量为m1，质量分布在轮缘上质量分布在轮缘上；圆柱半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。求圆柱中心C经过路程s 时的速度与加速度。(盘C作纯滚动，初始时系统静止)例例13-2 P295解解：取系统为研究对象)/(sin1212 RssgmMW01TMCm2gOm1g22222112212121CCJvmJT21现在学习的是第21页，共60页222211121 ,RmJRmJC2211 ,RvRvCC)32(4 2122mmvTC1212 WTT由动能定理：(a)sin0)32(4 2212sgmMmmvC代入，将1Rs)32()sin(2 21112mmRsgRmMvC22现在学习的是第22页，共60页将式（a)两端对时间 求一阶导数，有(b)sinM)32(21 sin)32(212121221cccccccvgmRvavmmvgmMavmm即求得圆柱中心C 的加速度为：211212(sin)(23)cMm gRamm R23现在学习的是第23页，共60页 图示系统中,均质圆盘A、B质量均为m，半径均为R,两盘中心线为水平线,盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D质量为m1。求下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)例例2解解：取系统为研究对象)/(RhghmMW 11201Tm1gmgmgvCa24现在学习的是第24页，共60页222121CBCmvJ221221 21AOJvmT222222121 212122121CBAmvmRRmvm)(mmvT78161222 2 CvRvRvRvBBA,m1gmgmgvCa25现在学习的是第25页，共60页1212WTT由 07816112hgmRMmmv)()(将（1）式两边对 t 求导得：)()(2167811dtdhvdtdhgmRMdtdvvmmmmgmRMa78811)/(mmhgmRMv784 11)/(1)m1gmgmgvCa26现在学习的是第26页，共60页 图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数k=3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA，在铅直位置时的角速度至少应为多大？解解：研究OA杆)(212.1222112kmgW)22.14.2(03000212.18.93022)J(4.388,8.284.2303121202021T02T由1212WTT 4.3888.28020例例3 动能定理的应用练习题动能定理的应用练习题rad/s67.3 027现在学习的是第27页，共60页 行星齿轮传动机构,放在水平面内。动齿轮半径r,质量为m1,视为均质圆盘；曲柄质量为m2,长l，视为均质杆,作用一力偶矩为M(常量)的力偶。曲柄由静止开始转动；求曲柄的角速度(以转角 的函数表示)和角加速度。解解：取整个系统为研究对象MW 1201T)2 2121(32121212112222rmvmlmTrlrvlv111 ,22212212122221229)(4)(26lmmrlrmlmlmT根据动能定理，得212932mmMl习题习题13-13（P317）(1)012292221Mlmm28现在学习的是第28页，共60页将(1)式两边对t 求导数，则得221)29(6lmmMdtdMdtdlmm21292212dtddtd,(1)012292221Mlmm29现在学习的是第29页，共60页 两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端的速度。mgmgmgW35.1)15.06.0(29.021201T2222219.023121mvmT9.0v121222 65WTTmvT代入到 35.10652mgmv解解：取整个系统为研究对象，AB杆质量为m。例例4vBvAm/s98.3 v30现在学习的是第30页，共60页一功率一功率：力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。dtWN作用力的功率：vFvFdtrdFdtWN力矩的功率：30nMMdtdMdtWNzzz功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s。13-4功率功率 功率方程功率方程31现在学习的是第31页，共60页二功率方程二功率方程：由 的两边同除以dt 得WdT无用有用输入即NNNNdtdTdtWdtdT 分析：起动阶段（加速）：即制动阶段（减速）：即稳定阶段（匀速）：即0dtdT0dtdT0dtdT无用有用输入NNN无用有用输入NNN无用有用输入NNN机器稳定运行时，机械效率0/dtdT%100输入有用NN是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下。32现在学习的是第32页，共60页一势力场一势力场1力场力场：若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。质点在势力场中受到的场力称为有势力(保守力),如重力、弹力等。2势力场势力场：在力场中,如果作用于质点的场力作功只决定于质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为势力场。13-5势力场、势能、机械能守恒定律势力场、势能、机械能守恒定律33现在学习的是第33页，共60页二势能二势能在势力场中,质点从位置M 运动到任选位置M0,有势力所作的功称为质点在位置M 相对于位置M0的势能，用V 表示。00MMMMZdzYdyXdxrdFVM0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。势能具有相对性。dVZdzYdyXdx),(zyxVV 是坐标的单值连续函数。等势面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。等势面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。dzzVdyyVdxxVdV ,zVZyVYxVX质点系的势能：ioiMMiiiiiinnndzZdyYdxXzyxzyxV)(),(11134现在学习的是第34页，共60页1.重力场重力场 质点：质点系：2.弹性力场弹性力场：取弹簧的自然位置为零势能点3.万有引力场万有引力场：取与引力中心相距无穷远处为零势能位置PhzzPV)(0hPzzPVCC)(0221kV)(0rrmGmV21有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。三有势力的功三有势力的功在M1位置：10101WrdFVMM20202WrdFVMMM2位置：21201012VVWWWM1M2：35现在学习的是第35页，共60页设质点系只受到有势力(或同时受到不作功的非有势力)作用，则211212VVWTT机械能守恒定律机械能守恒定律常量2211 VTVT对非保守系统，设非保守力的功为W12,则有121122)()(WVTVT四机械能守恒定律四机械能守恒定律机械能：系统的动能与势能的代数和机械能：系统的动能与势能的代数和。这样的系统成为保守系统这样的系统成为保守系统。36现在学习的是第36页，共60页 长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角和质心的位置表达）。例例537现在学习的是第37页，共60页解解：由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心C铅垂下降。由于约束反力不作功,主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。sin2,sin2 cos12 lylyly即又由机械能守恒定律：)2(2124120222ylmgymmlmgl将代入上式，化简后得sin2ly ygy22sin31sin6mglVT2,011初瞬时：222222212412121ymmlymITC)2(2ylmgV任一瞬时：38现在学习的是第38页，共60页 动力学普遍定理动力学普遍定理包括质点和质点系的包括质点和质点系的动量定理动量定理、动量矩定理动量矩定理和和动能定理动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：综合应用，大体上包括两方面的含义：一是能根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。求解过程中求解过程中,要正确进行运动分析要正确进行运动分析,提供正确的运动学补充方程。提供正确的运动学补充方程。13-6动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理及综合应用39现在学习的是第39页，共60页举例说明动力学普遍定理的综合应用：举例说明动力学普遍定理的综合应用：两根均质杆AC和BC质量均为m，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h，求铰C到达地面时的速度。例例6 vAmgmg40现在学习的是第40页，共60页讨论（1）用 动量守恒定理动能定理求解。（2）计算动能时，利用平面运动的运动学关系。解解：由于不求系统的内力，可以不拆开。研究对象：整体分析受力：，且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。0)(exFmghhmgW221201T22222312)3121(mlmlT代入动能定理：0312mghmvC2231 CCmvTlvvAmgmgmgghvC3 41现在学习的是第41页，共60页A、B二轮子质量皆为m1，转动惯量皆为J，大轮子半径为R，小轮子半径 为 R/2 ，齿轮压力角为，重物质量为m2，弹簧刚度为k，现于弹簧的原长处释放重物，求重物下降h 时的速度、加速度以及齿轮间的切向啮合力和轴承B处的约束反力。例例7 解:(1)取整体为研究对象，利用动能动能定理定理01T22222212121BAJJvmT42现在学习的是第42页，共60页 221221ksghmW22321khghm由动能定理：222)45(21vRJm 22321khghm（1）RvRvBAB22,2222)45(21vRJmT43现在学习的是第43页，共60页 解得速度：将（1）式两端对时间求一次导数：dtdvvRJm)45(22dtdhkhgm)161(2解得加速度：JRmRkhgma2016)16(2222JRmhRkhgmv2016)32(222244现在学习的是第44页，共60页（2）取B 轮和重物为研究对象：vRmJLBB222)(RFgRmMeBvRmRvJ2由动量矩定理动量矩定理：)(2vRmRvJdtd22RFgRm解得切向啮合力：amRJgmF)(22222径向啮合力：tanFFr对B轴的动量矩为：对B轴的外力矩为：45现在学习的是第45页，共60页rBxFFmm0021rBxFF由质心运动定理质心运动定理：gmgmFFammBy12210amgmmFFBy221)(:)(eCxXma:)(eCyYmaxy46现在学习的是第46页，共60页 均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。解解：选系统为研究对象，由动能定理动能定理求解。,01T例例82222221212121 mrmvmvT47现在学习的是第47页，共60页)cossin2(cos sin 212fSmgmgSfSmgW运动学关系：rv 2245mvT 由动能定理：)cossin2(0452fmgSmv等式两边对求导，得42(sincos)55afg注：B处摩擦力作功，A处摩擦力不作功。作功为：48现在学习的是第48页，共60页 解解：（：（1）取圆盘为研究对象）取圆盘为研究对象:0)(FmB0 0BBBJ00B圆盘平动。例例9m1g质量为m1=15kg的均质圆盘与质量为m2=6kg、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。系统由图示位置无初速地释放。求求系统经过最低位置B点时，圆盘质心的速度、加速度及其角速度、角加速度；杆的角速度、角加速度；支座A的约束反力。49现在学习的是第49页，共60页（2）用动能定理求速度）用动能定理求速度。212222121BAvmJT21222213121Bvmlm 取系统研究。初始时T1=0，最低位置时：21263Bvgmm)(lvBvBm1gm2g50现在学习的是第50页，共60页)30sin()30sin22(1212llgmllgmW;1212WTT)30sin()2(06312212llgmmvgmmB代入数据，得：m/s 58.1Bv)30sin()2(12llgmmrad/s 58.624.058.1lvB杆的角速度：51现在学习的是第51页，共60页（3）用动量矩定理求杆的角加速度）用动量矩定理求杆的角加速度 。vlmlmLA122310)()(eAFm杆质心杆质心 C的加速度：的加速度：)0(22CnCCalaa)0(2BnBBalaarad/s 58.624.058.1lvBm1gm2g)()(eAAFmdtdL)31(2122lmlm0盘质心加速度：盘质心加速度：杆的角速度：杆的角速度：52现在学习的是第52页，共60页（4）由质心运动定理求支座反力。）由质心运动定理求支座反力。研究整个系统。:Xeiixiam代入数据，得:N401 ,0AAYX:Yeiiyiamm1gm2g;12ABcXamam2121222GGYlmlmA杆质心杆质心 C的加速度：的加速度：)0(22CnCCalaa)0(2BnBBalaarad/s 58.624.058.1lvB盘质心加速度盘质心加速度：杆的角速度：杆的角速度：53现在学习的是第53页，共60页例例10A匀质杆AB和OD，长都为l，质量均为m，D为AB的中点，置于铅垂面内，开始时静止，OD杆铅垂，在一常力偶 的作用下转动，求OD杆转至水平位置时，支座O处的反力。,20mglMMOBDFoxFoya1ya2ya1xa2xYmaCyXmaCx解题思路解题思路1、应用质心运动定理可求反力2、应用定轴转动微分方程求角加速度OOMJ3、应用动能定理求角速度54现在学习的是第54页，共60页AMOBD解：FoxFoya1ya2ya1xa2x,01T1、应用动能定理求角速度、应用动能定理求角速度mgmgmgmg2221OJT)121(31222mlmlmlJO21217mlmgllmgMW22121212WTTmglMml232241722lg32 解得：,20mglM55现在学习的是第55页，共60页2、应用定轴转动微分方程求角加速度、应用定轴转动微分方程求角加速度AmgMOBDFoxFoya1ya2ya1xa2xmgmgmgOOMJOJ,12172mlmgllmgMMO2mglMml2312172)340(176lg56现在学习的是第56页，共60页3、应用质心运动定理求反力、应用质心运动定理求反力2221,21lalaxxlalayy21,21(2)21mgmgFmamaOyyy(1)21OxxxFmamamgFOx18)340(1792mgmgFOy:Xeiixiam:YeiiyiamAmgMOBDFoxFoya1ya2ya1xa2xmgmg解得：57现在学习的是第57页，共60页 相对质心动量矩守恒定理相对质心动量矩守恒定理+动能定理动能定理+动量矩定理动量矩定理+质心运动定理。质心运动定理。可用对积分形式的动能定理求导计算可用对积分形式的动能定理求导计算，但要注意需取杆，但要注意需取杆AB在在 一般位置进行分析一般位置进行分析。mLmvpC61)6(12122LmmLJLOO291mL22218121mLJTO223mRLO2243mRT mRp mvp 221mRLC2224121mRmvT 例例11 基本量计算基本量计算(动量动量,动量矩动量矩,动能动能)p pp58现在学习的是第58页，共60页解解：(1)用动能定理求解。用动能定理求解。取系统为研究对象，杆作平动，圆柱体作平面运动。设任一瞬时，杆的速度为v，则圆柱体质心速度为v/2，角速度rv2 质量为m 的杆置于两个半径为r ，质量为的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力时，杆的加速度。设接触处都有摩擦，而无相对滑动。2mP系统的动能：222221611)2)(221(21)2(221221mvrvrmvmmvT主动力的元功之和：dSPWF)(例例1259现在学习的是第59页，共60页由动能定理的微分形式：)(FWdTdSPmvd)1611(2两边除以，并求导数，得dtvPavm21611mPa118 60现在学习的是第60页，共60页