用二分法求方程的近似解 .ppt
用二分法求方程的近似解 现在学习的是第1页，共27页1.1.函数函数 有零点吗？你怎样求其零点？有零点吗？你怎样求其零点？2f(x)x4x32.2.对于高次多项式方程，在十六世纪已找到了三次和四次方程的求根公式，但对于高于对于高次多项式方程，在十六世纪已找到了三次和四次方程的求根公式，但对于高于4 4次的方程次的方程，类似的努力却一直没有成功，类似的努力却一直没有成功.到了十九世纪，根据阿贝尔（到了十九世纪，根据阿贝尔（AbelAbel）和伽罗瓦（）和伽罗瓦（GaloisGalois）的）的研究，人们认识到高于研究，人们认识到高于4 4次的代数方程不存在求根公式，即不存在用四则运算及根号表示的一般的公式次的代数方程不存在求根公式，即不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解同时，即使对于解同时，即使对于3 3次和次和4 4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法.现在学习的是第2页，共27页思考思考2:2:已知函数已知函数 在区间在区间(2(2，3)3)内有零点，你有什么内有零点，你有什么方法求出这个零点的近似值？方法求出这个零点的近似值？f(x)lnx2x6现在学习的是第3页，共27页思考思考3:3:怎样计算函数怎样计算函数 在区间（在区间（2 2，3 3）内精确到内精确到0.010.01的零点近似值？的零点近似值？f(x)lnx2x6区间（a，b）中点值mf（m）的近似值精确度|a-b|（2，3）2.5-0.0841（2.5，3）2.750.5120.5（2.5，2.75）2.6250.2150.25（2.5，2.625）2.562 50.0660.125（2.5，2.562 5）2.531 25-0.0090.0625（2.531 25，2.562 5）2.546 8750.0290.03125（2.531 25，2.546 875）2.539 062 50.010.015625（2.531 25，2.539 062 5）2.535 156 250.0010.007813现在学习的是第4页，共27页思思考考4:4:上述求函数零点近似值的方法叫做二分法，上述求函数零点近似值的方法叫做二分法，那么二分法的基本思想是什么？那么二分法的基本思想是什么？提示：提示：对于在区间对于在区间aa，bb上连续不断且上连续不断且f(a)f(b)f(a)f(b)0 0的函数的函数y=f(x)y=f(x)，通过不断地把函数，通过不断地把函数f(x)f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法二分法.现在学习的是第5页，共27页思考思考1 1:求函数求函数f(x)f(x)的零点近似值第一步应做什么？的零点近似值第一步应做什么？思考思考2:2:为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？提示：确定区间确定区间a,ba,b，使，使 f(a)f(b)f(a)f(b)0 0 提示：求区间的中点求区间的中点c c，并计算，并计算f(c)f(c)的值的值 现在学习的是第6页，共27页思考思考3:3:若若f(c)=0f(c)=0说明什么？说明什么？若若f(a)f(c)f(a)f(c)0 0或或f(c)f(b)f(c)f(b)0 0，则分别说明什么？，则分别说明什么？若若f(c)=0f(c)=0，则，则c c就是函数的零点；就是函数的零点；若若f(a)f(c)f(a)f(c)0 0，则零点，则零点x x0(a,c)0(a,c)；若若f(c)f(b)f(c)f(b)0 0，则零点，则零点x0 x0(c,b).(c,b).提示：提示：现在学习的是第7页，共27页思考思考4:4:若给定精确度若给定精确度，如何选取近似值？，如何选取近似值？提示：当当|mn|时，区间时，区间 m，n 内的任意一个值都是函数零点的近似值内的任意一个值都是函数零点的近似值.思考思考5 5：对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零点的近似值？为什么？点的近似值？为什么？xyoxyo现在学习的是第8页，共27页 例例11下列函数图象与下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()现在学习的是第9页，共27页 精解详析精解详析 利用二分法求函数零点，必须满足零点两侧函数值异号在利用二分法求函数零点，必须满足零点两侧函数值异号在B中，不满足中，不满足f(a)f(b)0，不能用二分法求零点，不能用二分法求零点.因为因为A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点 答案答案 B现在学习的是第10页，共27页1函数函数f(x)的图象如图所示，函数的图象如图所示，函数f(x)的变号零点个数为的变号零点个数为()A0B1C4 D3解析：解析：由图可知，图象与由图可知，图象与x轴有轴有4个公共点，有个公共点，有3个穿过个穿过x轴，所以共有轴，所以共有4个零点，其中有个零点，其中有3个变号个变号零点零点答案：答案：D现在学习的是第11页，共27页2下面关于二分法的叙述，正确的是下面关于二分法的叙述，正确的是()A用二分法可求所有函数零点的近似值用二分法可求所有函数零点的近似值B用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位点后的任一位C二分法无规律可循二分法无规律可循D只有在求函数零点时才用二分法只有在求函数零点时才用二分法答案：答案：B现在学习的是第12页，共27页3用二分法求函数用二分法求函数f(x)在区间在区间a，b内的零点时，需要的条内的零点时，需要的条件是件是 ()f(x)的图像在区间的图像在区间a，b上是连续不断的；上是连续不断的；f(a)f(b)0；f(a)f(b)0.A BC D答案：答案：A现在学习的是第13页，共27页 例例22用二分法求函数用二分法求函数f(x)x3x1在区间在区间1,1.5内的一个零点内的一个零点(精确度精确度0.01)精解详析精解详析 经计算经计算f(1)0，所以函数在，所以函数在1,1.5内存在零点内存在零点x0.取取(1,1.5)的中点的中点x11.25，经计算，经计算f(1.25)0.因为因为f(1.5)f(1.25)0，所以，所以x0(1.25,1.5)如此继续下去，如下表：如此继续下去，如下表：现在学习的是第14页，共27页区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.250.30(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.312 50.05(1.312 5,1.375)1.343 750.08(1.312 5,1.343 75)1.328 1250.01(1.312 5,1.328 125)1.320 312 50.02现在学习的是第15页，共27页因为因为|1.328 1251.320 312 5|0.007 812 50.01，所以函数所以函数f(x)x3x1精确度为精确度为0.01的一个近似零点可取为的一个近似零点可取为1.328 125.现在学习的是第16页，共27页 一点通一点通 1用二分法求函数的零点应遵循的原则用二分法求函数的零点应遵循的原则 首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的零点，又要使其长度尽量小；其次要首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的零点，又要使其长度尽量小；其次要根据给定的精确度，及时检验所得区间端点的差的绝对值是否小于精确度根据给定的精确度，及时检验所得区间端点的差的绝对值是否小于精确度(精确到给定的精确度精确到给定的精确度)，以决定是停止还是继续计算以决定是停止还是继续计算2用二分法求函数的零点的近似值，可借助于计算器完成计算用二分法求函数的零点的近似值，可借助于计算器完成计算.在计算时可用表格或数在计算时可用表格或数轴清晰地描述逐步缩小零点所在的区间的过程轴清晰地描述逐步缩小零点所在的区间的过程.在区间长度小于精确度在区间长度小于精确度的时候，运算结束，的时候，运算结束，区间内的任意一点都可作为函数零点的近似值区间内的任意一点都可作为函数零点的近似值现在学习的是第17页，共27页4用二分法研究函数用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次的零点时，第一次计算计算f(0)0，可得其中一个零点，可得其中一个零点x0_，第二次应计算，第二次应计算_以以上横线应填的内容分别为上横线应填的内容分别为()A(0,0.5)f(0.25)B(0,1)f(0.25)C(0.5,1)f(0.75)D(0,0.5)f(0.125)解析：解析：因为因为f(0)0，故，故x0(0,0.5).依二分法，第二次应计算依二分法，第二次应计算f(0.25)答案：答案：A现在学习的是第18页，共27页5证明方程证明方程63x2x在区间在区间(1,2)内有唯一实数解，并内有唯一实数解，并求出这个实数解求出这个实数解(精确度精确度0.1)证明：证明：设函数设函数f(x)2x3x6.f(1)10，又又f(x)是增函数，是增函数，所以函数所以函数f(x)2x3x6在区间在区间(1,2)内有唯一的零点，内有唯一的零点，则方程则方程63x2x在区间在区间(1,2)内有唯一实数解内有唯一实数解现在学习的是第19页，共27页设该解为设该解为x0，则，则x0(1,2).取取x11.5，则，则f(1.5)1.330，f(1)f(1.5)0，f(1)f(1.25)0，x0(1,1.25)取取x31.125，则，则f(1.125)0.440，f(1.125)f(1.25)0.现在学习的是第20页，共27页x0(1.125,1.25)取取x41.187 5，则，则f(1.187 5)0.160，f(1.187 5)f(1.25)0，x0(1.187 5,1.25)|1.251.187 5|0.062 50，不合格记为，不合格记为f(x)0.因为因为f(0)0，先取，先取0,16的中点，即的中点，即x8，用含贵重金属比例，用含贵重金属比例8%的配方生产一的配方生产一次，如果产品合格，即次，如果产品合格，即f(8)0，则要在，则要在0,8内再进行试验；如果产品不合格，即内再进行试验；如果产品不合格，即f(8)0，则要，则要在在8,16内再进行试验内再进行试验现在学习的是第27页，共27页
