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普通物理学现在学习的是第1页，共24页 力不在转动平面内力不在转动平面内 注注（1 1）在定轴转动问题中在定轴转动问题中，如不加说明，所指的力矩是，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面内的分力对转指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。轴的力矩。FrM 只能引起轴的只能引起轴的变形变形,对转动无贡献对转动无贡献。1Fr转动平面1FrFr2Fr)(21FFr21FrFrr现在学习的是第2页，共24页 是转轴到力作用是转轴到力作用线的距离，称为力臂线的距离，称为力臂。sinrd dFrFMZ22sin（2 2）（3 3）对转轴的力矩为零，对转轴的力矩为零，1Fr在定轴转动中不予考虑。在定轴转动中不予考虑。（4 4）在转轴方向确定后，力对）在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用转轴的力矩方向可用+、-号表示号表示。转动平面1FF2Fr现在学习的是第3页，共24页o 描写刚体转动位置的物理量。描写刚体转动位置的物理量。Px在转动平面内，过在转动平面内，过O点作一点作一极轴，设极轴的正方向是水极轴，设极轴的正方向是水平向右，则平向右，则OP与极轴之间与极轴之间的夹角为的夹角为。角称为角坐标（或角位置）角称为角坐标（或角位置）。角坐标为标量。但可有正负。角坐标为标量。但可有正负。1.1.角坐标角坐标现在学习的是第4页，共24页描写刚体位置变化的物理量。描写刚体位置变化的物理量。角坐标的增量：角坐标的增量：称为刚体的角位移称为刚体的角位移xyP p2v1vR描写刚体转动快慢和方向的描写刚体转动快慢和方向的物理量。物理量。tt0limddt角速度角速度方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。2.角位移角位移3.角速度角速度现在学习的是第5页，共24页 角速度是矢量，但对于刚体定轴转动角角速度是矢量，但对于刚体定轴转动角速度的方向只有两个，在表示角速度时只速度的方向只有两个，在表示角速度时只用角速度的正负数值就可表示角速度的方用角速度的正负数值就可表示角速度的方向，不必用矢量表示。向，不必用矢量表示。刚体上任一质元的速度表示为：刚体上任一质元的速度表示为：rvvrtt0limddtrv,ddddtvarrtt刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为：刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为：22,rrvan3.3.角加速度角加速度现在学习的是第6页，共24页a0a0 角加速度是矢量，但对于刚体定角加速度是矢量，但对于刚体定轴转动角加速度的方向只有两个，轴转动角加速度的方向只有两个，在表示角加速度时只用角加速度的在表示角加速度时只用角加速度的正负数值就可表示角加速度的方向正负数值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。，不必用矢量表示。说明：说明：角坐标、角位移、角速度和角加角坐标、角位移、角速度和角加速度等角量是用来描述定轴转动刚体的整速度等角量是用来描述定轴转动刚体的整体运动，也可用来描述质点的曲线运动；体运动，也可用来描述质点的曲线运动；位矢、位移、速度、加速度等线量位矢、位移、速度、加速度等线量是用来描述质点的运动。是用来描述质点的运动。现在学习的是第7页，共24页应用牛顿第二定律，可得：应用牛顿第二定律，可得：OiFrifriiimirr对刚体中任一质量元对刚体中任一质量元im-外力外力iF-内力内力ifiiiim afF采用自然坐标系，上式切向分量式为：采用自然坐标系，上式切向分量式为：sinsiniiiiiii iFfmamr O现在学习的是第8页，共24页用用 乘以上式左右两端：乘以上式左右两端：ir2sinsini iii iii iFrf rmr 设刚体由设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述类似个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将方程，将N 个方程左右相加，得：个方程左右相加，得：2111sinsin()NNNi iii iii iiiiFrf rmr 根据内力性质根据内力性质(每一对内力等值、反向、共每一对内力等值、反向、共线线,对同一轴力矩之代数和为零对同一轴力矩之代数和为零)，得：，得：0sin1Niiiirf现在学习的是第9页，共24页211sin()NNi iii iiiFrmr得到：得到：上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表示表示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚体转动；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚体转动惯量，以惯量，以J 表示。于是得到表示。于是得到ddMJJt现在学习的是第10页，共24页（4 4）J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。动惯量不同。（3 3）J 和质量分布有关；和质量分布有关；（2 2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正；的力矩为正；ddMJJt惯性大小的量度；惯性大小的量度；转动惯量是转动转动惯量是转动（1）M 一定一定，J讨论：讨论：现在学习的是第11页，共24页mrJd2dm质元的质量质元的质量r质元到转轴的距离质元到转轴的距离 刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可 写成积分形式写成积分形式按转动惯量的定义有按转动惯量的定义有iimrJ2区别区别：平动平动：ddvFmt线动量线动量mv平动定律平动定律 转动：转动：ddzMJt角动量角动量J转动定律转动定律 转动惯量是转动中惯性大小的量度转动惯量是转动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。现在学习的是第12页，共24页例题例题3-13-1 求质量为求质量为m、长为、长为 l 的均匀细棒对下面的均匀细棒对下面 三种转轴的转动惯量：三种转轴的转动惯量：（1 1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；）转轴通过棒的中心并和棒垂直；（2 2）转轴通过棒的一端并和棒垂直）转轴通过棒的一端并和棒垂直；（3 3）转轴通过棒上距中心为转轴通过棒上距中心为h的一点的一点 并和棒垂直。并和棒垂直。xo解解:(1)建立坐标系，分割质量元建立坐标系，分割质量元dxx2dJxm2121ml222dllmxxl现在学习的是第13页，共24页xohxodxx2dJxm20dlmxxl231mlJ 与刚体质量、质量分布、轴的位置有关与刚体质量、质量分布、轴的位置有关(2)建立坐标系，分割质量元建立坐标系，分割质量元（3）建立坐标系，分割质量元）建立坐标系，分割质量元dxx2dJxm22112mlmh222dlhlhmxxl现在学习的是第14页，共24页定理表述：定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯量刚体绕平行于质心轴的转动惯量 J，等于绕质心，等于绕质心轴的转动惯量轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与两轴间的距离平方的乘积：加上刚体质量与两轴间的距离平方的乘积：2mdJJC 刚体绕质心轴的转动惯量最小刚体绕质心轴的转动惯量最小CJJmR221mRJC如：如：2mRJJC2221mRmR 现在学习的是第15页，共24页例题例题3-23-2 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘的半径为转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为质量为m，密度均匀。密度均匀。rRdr解：解：设圆盘的质量面密度为设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为在圆盘上取一半径为r、宽度为宽度为d dr的圆环（如图），环的面积为的圆环（如图），环的面积为2 rdr，环的环的 质量质量dm=2 rdr 。可得可得423201d2d22RRJrmrrmR现在学习的是第16页，共24页例题例题3-33-3 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为悬有质量为m1和和m2的物体的物体1 1和和2 2，m1m1，物体物体1 1向上运动，物体向上运动，物体2 2向下运动，滑轮以顺时针方向向下运动，滑轮以顺时针方向旋转旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程的指向如图所示。可列出下列方程JMrTrTamTGamGT12222111式中式中 是滑轮的角加速度是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即的切向加速度和物体的加速度相等，即从以上各式即可解得从以上各式即可解得ra 现在学习的是第18页，共24页mmmrMgmmrJmmrMgmmar21/121221212mmmrMgmmmagmT21/212121212mmmrMgmmmagmT21/212122111而而现在学习的是第19页，共24页rmmmrMgmmra21/1212当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0=0、M=0=0时，有时，有gmmmmTT1221212gmmmma1212 上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度速度g g的简单装置。因为在已知的简单装置。因为在已知m1、m2 、r和和J的情况下的情况下，能通过实验测出物体，能通过实验测出物体1 1和和2 2的加速度的加速度a，再通过加速度把再通过加速度把g g算出来。在实验中可使两物体的算出来。在实验中可使两物体的m1和和m2相近，从而使它相近，从而使它们的加速度们的加速度a和速度和速度v都较小，这样就能角精确地测出都较小，这样就能角精确地测出a来来。现在学习的是第20页，共24页例题例题3-43-4 一半径为一半径为R，质量为质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆盘最初令圆盘最初以角速度以角速度 0 0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？少时间才停止转动？rRdr d e解：解：由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量的质量dm=rd dre，所受到的阻力矩是所受到的阻力矩是r dmg 。现在学习的是第21页，共24页此处此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是22003ddddd23RMrmggrrergerrgeR 因因m=e R2，代入得代入得mgRM32根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度获得负的角加速度.现在学习的是第22页，共24页221d32dmgRJmRt设圆盘经过时间设圆盘经过时间t t停止转动，则有停止转动，则有00021dd32tgtR由此求得由此求得043gRt 现在学习的是第23页，共24页 选择进入下一节选择进入下一节3-0 教学基本要求教学基本要求3-1 刚体模型及其运动刚体模型及其运动3-2 力矩力矩 转动惯量转动惯量 定轴转动定律定轴转动定律3-3 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系3-4 定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律3-5 进动进动3-6 理想流体模型理想流体模型 定常流动定常流动 伯努利方程伯努利方程3-7 牛顿力学的内在随机性牛顿力学的内在随机性 混沌混沌现在学习的是第24页，共24页