数学建模生物种群模型课件.ppt

数学建模生物种群模型2022-9-7第1页，此课件共50页哦简介简介种群种群(Population)：是指在特定时间里占据一定空间的同一物种的有机体集合。种群生态学：种群生态学：主要研究种群的时间动态及调节机理。种群分为单种群单种群和多种群。多种群。生物种群模型生物种群模型2022-9-7第2页，此课件共50页哦2)罗杰斯特罗杰斯特(Logistic)模型模型)(00)()(ttretNtNNKNrdtdN)1(表示该种群的最大容纳量表示该种群的最大容纳量。K)()()(0001)(ttrtNtNKeKtN1 单种群的数学模型：单种群的数学模型：1)马尔萨斯马尔萨斯(Malthus)模型模型rNdtdN 表示表示 时刻的种群数量，时刻的种群数量，称称为内禀增长率。为内禀增长率。Ntr2022-9-7第3页，此课件共50页哦4)开发了的单种群模型开发了的单种群模型hNNfdtdN)(具有常数收获率)()(thNNfdtdN具有时变收获率3 3）一般的种群模型一般的种群模型)(NNfdtdN2022-9-7第4页，此课件共50页哦 2 两种群的一般模型两种群的一般模型 两种群生活在同一自然环境下，存在下面三种情形，相互竞争、相互依存、弱肉强食。设甲、乙两种群在 时刻的数量为 ，则t)(),(tytx)()()()(222111ygxfrydtdyygxfrxdtdx)()(222120121110yaxaaydtdyyaxaaxdtdx线性化，得2022-9-7第5页，此课件共50页哦)()(222120121110yaxaaydtdyyaxaaxdtdxn 表示甲（乙）种群的自然生长率；n 表示甲（乙）种群为非密度制约，表示甲（乙）种群为密度制约；n 表示甲、乙种群相互竞争；4)表示甲、乙种群相互依存；5)表示甲、乙种群为弱肉强食（捕食与被捕食）。)(2010aa0,02211aa0,02211aa02112aa0,02112aa0,02112aa2022-9-7第6页，此课件共50页哦3 三种群的一般模型三种群的一般模型三种群相互之间的作用要比两种群更复杂，但建立模型的思想和方法是相同的。在三种群中每两个种群之间的关系仍可归结为：相互竞争、相互依存、弱肉强食。三种群两两关系不同的组合就得到种类繁多的数学模型。这些模型用方程组表示，或用图形表示。2022-9-7第7页，此课件共50页哦记三个种群分别为123并约定 1）种群 供食于种群 表示为 12122）种群 为密度制约可表示为113）种群 不主要靠吃本系统（1，2，3个种群组成的系统）为生，114）种群 与种群 相互竞争：12125）种群 与种群 互惠共存：1212）2022-9-7第8页，此课件共50页哦如，设A，B，C三种群为捕食与被捕食关系，则三者关系有三种：两个食饵种群，一个捕食者种群。一个食饵种群，两个捕食者种群。捕食链。CBACBACBA2022-9-7第9页，此课件共50页哦下面对于食饵种群增长是线性密度制约，两种群间的影响都是线性的，建立其相互作用的数学模型（Volterra模型）（1）两个食饵种群A，B，一个捕食者种群C。设 A，B，C t 时刻的密度分别为)(),(),(txtxtx321 假设：C 种群主要以A，B种群为食饵，A，B不存在时，C 要逐渐绝灭，C 不是密度制约的；A，B种群不靠本系统为生，它们为密度制约且相互竞争。图示如下：2022-9-7第10页，此课件共50页哦CBA（）)()()(232131303332322212120223132121111011xaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdx3,2,1,0;3,2,1,00iajiaiij2022-9-7第11页，此课件共50页哦（2）一个食饵种群A，两个捕食者种群B，C。ACB（）)()()(333232131303332322212120223132121011xaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaaxdtdx3,2,1,0;3,2,1,00iajiaiij2022-9-7第12页，此课件共50页哦)()()(232131303332312120223132121111011xaxaaxdtdxxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxACB）3,2,1,0;3,2,1,00iajiaiij2022-9-7第13页，此课件共50页哦)()()(333232303332322212120222121111011xaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaaxdtdxACB）（3）捕食链：A是B的食饵，B是C的食饵。3,2,1,0;3,2,1,00iajiaiij2022-9-7第14页，此课件共50页哦)()()(333232131303332322212120223132121111011xaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdx3,2,1,0;3,2,1,00iajiaiijACB）说明下列微分方程组的生态意义说明下列微分方程组的生态意义2022-9-7第15页，此课件共50页哦)()()(333232131303332322212120223132121111011xaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxACB）3,2,1,0;3,2,1,00iajiaiij2022-9-7第16页，此课件共50页哦)()()(333232131303332322212120223132121111011xaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxACB）3,2,1,0;3,2,1,00iajiaiij2022-9-7第17页，此课件共50页哦种群模型的求解方法：种群模型的求解方法：n微分方程定性与稳定性理论n数值方法2022-9-7第18页，此课件共50页哦平面自治系统平面自治系统)1(),(),(yxgdtdyyxfdtdx微分方程定性与稳定性理论微分方程定性与稳定性理论2022-9-7第19页，此课件共50页哦 假定方程组假定方程组(1)(1)的右端函数的右端函数 ，在平面区域在平面区域 满足解的存在唯一的条件，则过相平面中任一点有唯一的满足解的存在唯一的条件，则过相平面中任一点有唯一的轨线。轨线。),(),(yxgdtdyyxfdtdx),(),(yxgyxfGttytxgytytxfxtytxl),(),(),(),(:)(),(相平面相平面：所在的平面。yx,轨线：轨线：2022-9-7第20页，此课件共50页哦平衡点平衡点（Equilibrium）：使得的点 为组(1)的平衡点，否则称为常点。),(00yx0),(),(002002yxgyxf即 平衡点满足0),(0),(0000yxgyxf),(000yxP记为2022-9-7第21页，此课件共50页哦称平衡点 是稳定的（stable）；否则 是不稳定（unstable）的。稳定与不稳定：稳定与不稳定：如果存在某个邻域，使系统（1）的解 从这个邻域内的某一初值 出发，满足)0(),0(yx)(),(tytx00)(lim,)(limytyxtxtt000(,)Pxy0P2022-9-7第22页，此课件共50页哦其中其中 是常数。是常数。)2(dycxdtdybyaxdtdxdcba,平面线性微分方程组的平衡点分类平面线性微分方程组的平衡点分类系统（2）有唯一的平衡点（0，0）。记系数矩阵dcbaA0detA2022-9-7第23页，此课件共50页哦)3(0)(2qpdcbaDbcadqdap),(2422,1qpp记组记组(2)的系数矩阵构成的特征方程为：的系数矩阵构成的特征方程为：其中其中唯一的平衡点（0，0）的稳定性由特征根确定。方程组（2）解的一般形式为2022-9-7第24页，此课件共50页哦方程组（2）解的一般形式为ttttecececectytx212122211211)()(tttttecectecectytx111122211211)()(2022-9-7第25页，此课件共50页哦平衡点类型平衡点类型稳定性稳定性稳定结点稳定结点(node)stable不稳定结点不稳定结点unstable鞍点鞍点(saddle)unstable稳定退化结点稳定退化结点stable不稳定退化结点不稳定退化结点unstable稳定焦点稳定焦点(focus)stable不稳定焦点不稳定焦点unstable中心中心(center)unstable21,021qp,qpqp4,0,02021qpqp4,0,022100q0210210,2,1i0,2,1i0,2,1iqpqp4,0,02qpqp4,0,02qpqp4,0,02qpqp4,0,02qpqp4,0,02bcadqdap),(2422,1qpp2022-9-7第26页，此课件共50页哦p pq qqp420q鞍点区鞍点区qp42稳定结点区稳定结点区qp42不稳定结点区不稳定结点区稳定焦点区稳定焦点区不稳定焦点区不稳定焦点区奇点奇点 的性态与的性态与 的关系的关系 ,qp)0,0(2022-9-7第27页，此课件共50页哦简单非线性微分方程的奇点简单非线性微分方程的奇点)1(),(),(yxgdtdyyxfdtdx),()(,()(,(),(),(),()(,()(,(),(),(0000000000000000yxYyyyxgxxyxgyxgyxgyxXyyyxfxxyxfyxfyxfyxyx0101,yyyxxx2022-9-7第28页，此课件共50页哦),(),(),(),(),(),(111001001111001001yxYyyxgxyxgdtdyyxXyyxfxyxfdtdxyxyx称下列方程组为组(1)的一次（线性）近似方程组：一次（线性）近似方程组：10010011001001),(),(),(),(yyxgxyxgdtdyyyxfxyxfdtdxyxyx2022-9-7第29页，此课件共50页哦结论结论1 1 如果则(4)的一次近似方程组的奇点 在五种一般情形与组（4）的奇点 的性态相同。)4(),(),(yxYdycxdtdyyxXbyaxdtdx)0,0()0,0()5(0),(lim),(lim22002200yxyxYyxyxXyxyx2022-9-7第30页，此课件共50页哦结论结论2 设系统),(),(yxYdycxdtdyyxXbyaxdtdx),(),(yxYyxXO(0,0)为其对应线性系统的中心点，若在O的邻域内存在此系统的一个连续的首次积分，则O必为中心。在O(0,0)点的邻域内解析。2022-9-7第31页，此课件共50页哦 捕食与被捕食模型捕食与被捕食模型问题的提出 20世纪20年代，意大利生物学家U.DAncona在研究鱼类变化规律时，无意中发现了第一次世界大战期间，意大利Finme港收购站的软骨掠肉鱼（鲨鱼等以其他鱼为食的鱼）在鱼类收购量中的所占比例的资料：191419151916191719181919192019211922192311.99%21.4%22.1%21.2%36.4%27.3%16.0%15.0%14.8%10.7%1914,7-1918,112022-9-7第32页，此课件共50页哦战争期间鲨鱼比例明显增加！战争期间鲨鱼比例明显增加！显然，捕获的各种鱼的比例基本上代表了显然，捕获的各种鱼的比例基本上代表了地中海渔场中各种鱼的比例。地中海渔场中各种鱼的比例。战争中捕获量大幅下降，应该使渔场中食用战争中捕获量大幅下降，应该使渔场中食用鱼和以此为生的鲨鱼数量同时增加。鱼和以此为生的鲨鱼数量同时增加。然而，捕获量的下降为什么会使鲨鱼的比然而，捕获量的下降为什么会使鲨鱼的比例增加？例增加？发现发现DAncona 的迷惑：的迷惑：2022-9-7第33页，此课件共50页哦请教请教著名的意大利数学家 Volterra。将鱼分为两类，一类为捕食(predator)种群，另一类为被捕食(prey)种群。设 t 时刻两种群的数量（或密度）为 y(t)，x(t)。在无捕捞和忽略了密度制约的情形下，有：)()(cxdydtdybyaxdtdx2022-9-7第34页，此课件共50页哦)()(cxdydtdybyaxdtdx平衡点为),(,)0,0(bacdMOyyxgxyxgdtdyyyxfxyxfdtdxyxyx),(),(),(),(00000000ycxdxcydtdyybxxbyadtdx)()(0000一次近似系统2022-9-7第35页，此课件共50页哦dydtdyaxdtdx)0,0(O一次近似系统)0,0(O系统的鞍点。xbcadtdyycbddtdx一次近似系统系统的？。),(bacdM),(bacdM的鞍点。的中心。2022-9-7第36页，此课件共50页哦定理：定理：设系统),(),(yxYdycxdtdyyxXbyaxdtdx),(),(yxYyxXO(0,0)为其对应线性系统的中心点，若在O的邻域内存在此系统的一个连续的首次积分，则O必为中心。在O(0,0)点的邻域内解析。2022-9-7第37页，此课件共50页哦为了研究平衡点M，作平移变换,bayycdxxyxcxbcadtydyxbycbddtxdyxbycbdyxcxbcaxdydKbayadcxdybxclnln首次积分2022-9-7第38页，此课件共50页哦由定理，得平衡点M的外围邻近被一闭轨线族 所环绕。k说明：在M附近，食饵种群与捕食种群的个体总量呈周期性变化。OxynM尽管沿不同的闭轨线的周期可能尽管沿不同的闭轨线的周期可能不同，但两种群个体数量在一个不同，但两种群个体数量在一个周期内的平均值却分别保持为常周期内的平均值却分别保持为常数。数。,)(1,)(100badttyTcddttxTTT2022-9-7第39页，此课件共50页哦两种群个体数量在一个周期内的平均值却分别两种群个体数量在一个周期内的平均值却分别保持为常数：保持为常数：badttyTcddttxTTT00)(1,)(1n两种群个体数量在一个周期内的平均值恰好是平衡点的坐两种群个体数量在一个周期内的平均值恰好是平衡点的坐标。标。事实上，)()(cxdydtdybyaxdtdxdttbyadttxtxTT00)()()(而0)0(ln)(ln)()(0 xTxdttxtxT2022-9-7第40页，此课件共50页哦0)(0dttbyaT0)(0dttybaTTbadttyTT0)(1同理，可证cddttxTT0)(12022-9-7第41页，此课件共50页哦现考虑捕捞的影响)()(cxdydtdybyaxdtdxhycxdydtdyhxbyaxdtdx)()()()(cxhdydtdybyhaxdtdx平衡点的坐标为),(bhachdn解释：捕捞能力减少，食饵种群数量减少，而捕食种群解释：捕捞能力减少，食饵种群数量减少，而捕食种群数量增加。数量增加。2022-9-7第42页，此课件共50页哦应用应用农药的使用策略。农药的使用策略。害虫食饵，害虫的天敌捕食者。因此，应该适量地使用农药，更应发展以虫治虫的策略因此，应该适量地使用农药，更应发展以虫治虫的策略。hycxdydtdyhxbyaxdtdx)()(平衡点的坐标为),(bhachdn根据 Volterra 原理：杀虫能力过量，害虫种群数量增加，而天敌种群数量减少，对天敌更为不利。2022-9-7第43页，此课件共50页哦 天然草原的生息繁衍，已形成自身特有的生物链，且对人类生存起着重要作用。长期以来，人为破坏（如过度放牧、猎杀动物及采挖草药等）使草原生态每况愈下，日渐衰竭。据2000年8月6日北京晚报载：“受利益驱使，有些人不顾国家法律和当地政府禁令，在呼伦贝尔草原大肆采挖中草药，致使草原严重受损。据此，有关专家推断，10年之内，该草原将变成荒漠。”草原命运草原命运思考思考2022-9-7第44页，此课件共50页哦为了天然草原生息繁衍和可持续发展，完成以下工作：（1）建立草原自然生长规律模型，描述人为破坏对草原生长的影响过程;（2）论证或驳斥报载消息中专家的推断，如果立即停止对草原的一切破坏，10年后的情形如何？（3）寻找导致草原消失的临界条件，给出草原生长的挽救方案，并对挽救效果进行预测。2022-9-7第45页，此课件共50页哦2007年年6月湖南洞庭湖鼠患月湖南洞庭湖鼠患20亿田鼠洞庭亿田鼠洞庭“跑马圈地跑马圈地”2022-9-7第46页，此课件共50页哦政府收购鼠尾巴鼓励捕鼠；成千上万田鼠陷落捕鼠沟。政府收购鼠尾巴鼓励捕鼠；成千上万田鼠陷落捕鼠沟。新华社新华社 图图人鼠大战可能还将继续。人鼠大战可能还将继续。新华社新华社 图图http:/ 2007年年07月月11日日 08时时13分分广州日报广州日报 2022-9-7第47页，此课件共50页哦洞庭湖区用毒药灭鼠可能酿成新的生态灾难洞庭湖区用毒药灭鼠可能酿成新的生态灾难 捕食链破坏捕食链破坏老鼠的天敌老鼠的天敌蛇、猫头鹰蛇、猫头鹰大量减少大量减少老鼠泛滥老鼠泛滥庄稼、环境庄稼、环境受到威胁受到威胁人类的盘中餐人类的盘中餐丰盛有余丰盛有余威胁人类威胁人类的生存的生存从人类自身做起从人类自身做起 保护环境！保护环境！2022-9-7第48页，此课件共50页哦n摘要n问题重述n模型假设（符号说明）n问题分析n模型的建立及求解n结果的分析与检验n模型的优缺点评价n问题进一步思考（模型推广）n参考文献2022-9-7第49页，此课件共50页哦n时间安排n合理分工n团结奋战，互相鼓励2022-9-7第50页，此课件共50页哦