求数列通项公式讲稿.ppt

关于求数列通项公式第一页，讲稿共三十三页哦学习目标学习目标 在了解数列概念的基础上，掌握几种常见在了解数列概念的基础上，掌握几种常见递推数列通项公式的求解方法递推数列通项公式的求解方法 理解求通项公式的原理理解求通项公式的原理 体会各种方法之间的异同，感受事物与事体会各种方法之间的异同，感受事物与事物之间的相互联系物之间的相互联系第二页，讲稿共三十三页哦例例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数。列各数。12112 nnna.,35624515483322 、1-111-2）（）（nnann 已知数列的前几项，通常先将各项分解成几部分（如符号、已知数列的前几项，通常先将各项分解成几部分（如符号、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数的关系，分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数的关系，写出通项。写出通项。一、观察法一、观察法第三页，讲稿共三十三页哦1、写出下列数列的一个通项公式、写出下列数列的一个通项公式:(1)9,99,999,9999,解：解：an=10n1(2)1,11,111,1111,分析：注意观察各项与它的序号的关系分析：注意观察各项与它的序号的关系有有 101，1021，1031，1041解：解：an=(10n1)91 这是特殊到一般的思想，也是数学上重这是特殊到一般的思想，也是数学上重要的思想方法，但欠严谨！要的思想方法，但欠严谨！分析分析:注意与熟悉数列注意与熟悉数列9,99,999,9999,联系联系)(*Nn练习：练习：第四页，讲稿共三十三页哦11(1)(2)nnnsnassn 主主要要是是公公式式的的运运用用注意注意：（：（1）这种做法适用于所有数列；）这种做法适用于所有数列；（2）用这种方法求通项需检验用这种方法求通项需检验a1是否满足是否满足an.的通项公式；的通项公式；）求数列）求数列（的图象上。的图象上。）在函数）在函数（），点（，点（的前几项和为的前几项和为、已知数列、已知数列例例123 S22nn*nnaxx)x(fNnS,na .nan56 二、公式法二、公式法（利用（利用an与与Sn的关系的关系 或利用等差、等比数列的通项公式）或利用等差、等比数列的通项公式）第五页，讲稿共三十三页哦练习：练习：1.an的前项和的前项和Sn=2n21，求通项，求通项an二、公式法二、公式法（利用（利用an与与Sn的关系的关系 或或利用等差、等比数列的通项公式）利用等差、等比数列的通项公式）an=S1 (n=1)SnSn1(n2)解：当解：当n2时，时，an=SnSn1=(2n21)2(n1)21 =4n2不要遗漏不要遗漏n=1的情形哦！的情形哦！当当n=1时时,a1=1不满足上式不满足上式 因此因此 an=1 (n=1)4n 2(n2,)*nN第六页，讲稿共三十三页哦 nnnnnnnaSaanSaa求且项的和，是数列的前中，已知数列,21,0,2 11112,0,0,11S11S1S,1)2(,S21,21:11221121212nnaaannnSSannSSannnaSSnSSaaaSaannnnnnnnnnnnnnnnnnnnn的通项公式是数列也适合上式时，而时，）（，首项为是等差数列，公差为数列由已知代入上式化简得又得由解第七页，讲稿共三十三页哦3.已知已知an中，中，a1+2a2+3a3+nan=3n+1,求通项求通项an解解:a1+2a2+3a3+nan=3n+1 (n1)注意注意n的范围的范围 a1+2a2+3a3+(n1)an1=3n（n2）nan=3n+13n=23n23nnan=而而n=1时时,a1=9（n2）两式相减得：两式相减得：an=9 (n=1)23nn（n2,）*nN第八页，讲稿共三十三页哦例例3.已知已知an中中,an+1=an+n (nN*),a1=1,求通项求通项an解解:由由an+1=an+n (nN*)得得a2 a1 =1a3 a2 =2a4 a3 =3anan1=n 1an=(anan1)+(an1an2)+(a2 a1)+a1 =(n 1)+(n 2)2)+2+1+1212122-nnnn 三、累加法三、累加法(递推公式形如形如an+1=an+f(n)型型的数列)n个等式相加得a1 =1an+1 an=n (nN*)（1）注意讨）注意讨论首项论首项;(2)(2)适用于适用于an+1=an+f(n)型递推公型递推公式式第九页，讲稿共三十三页哦)(1nfaann求法：累加法求法：累加法.),2(12,2,1,11的通项公式的通项公式求数列求数列有有时时当当已知已知中中在数列在数列 nnaanaannn练习：练习：第十页，讲稿共三十三页哦四、累乘法四、累乘法 (形如形如an+1=f(n)an型型)例例4.已知已知an是首项为是首项为1的正项数列的正项数列,且且(n+1)an+12+an+1annan2=0,求求an的通项公式的通项公式解解:(n+1)an+12+an+1annan2=0(an+1+an)(n+1)an+1 nan=0 an+1+an0 (n1)11nnaann1213223121.nnnnnnn1 an=.112aaa211nnnnaaaa 注意：累乘法与累加法有些相似，但它是n个等式相乘所得(n+1)an+1=nan第十一页，讲稿共三十三页哦练习练习1：12,3,.nnnnnaaaaa 1 1已已知知中中，求求通通项项类型四、类型四、累乘法累乘法形如形如 的递推式的递推式1()nnaf na123412312342322123211 3,3,3,3 .3,3 3 3333 2 3nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa 解解：以以上上各各式式相相乘乘得得1 2 3(-1)(-1)2(-1)2 2 3 2 3nn nn nna 第十二页，讲稿共三十三页哦四、累乘法四、累乘法适用于适用于an+1=an f(n)型的递推公式型的递推公式 练习练习2第十三页，讲稿共三十三页哦五、迭代法五、迭代法例例5.已知已知an中中,an=3n1+an1 ,(n2),a1=1,求通项求通项an.解解:an=3n1+an1(n2)an=3n1+an1=3n1+3n2+an2=3n1+3n2+3n3+an3=3n1+3n2+3n3+3+a1=3n1+3n2+3n3+3+1=3n 1 12 特点特点逐项代换逐项代换(递推公式形如形如an+1=an+f(n)型型的数列)第十四页，讲稿共三十三页哦的递推式形如)1,0(1ppqpaann.,),(.:1求通项化为等比数列为待定系数其中令待定系数法求法nnnaapa六待定系数法（构造法）六待定系数法（构造法）例例6：111,21 .nnnnaaaaa 数数列列满满足足,求,求解：由题意可知：解：由题意可知：an+1+1=2(an+1)所以数列所以数列an+1是以是以a1+1=2为首项，为首项，2为公比为公比 的等比数列的等比数列.所以所以an+1=2n,即即an=2n-1第十五页，讲稿共三十三页哦反思：待定系数法如何确定反思：待定系数法如何确定x？待定系数法：令令an+1+x=p(an+x)即即an+1=pan+px-x根据已知根据已知x=1(1)11nnqqappp 所以数列所以数列 是等比数列是等比数列.1nqap 12,3+2,.1练:已知中，求通项nnnnaaaaa 第十六页，讲稿共三十三页哦类型七、类型七、相除法相除法形如形如 的递推式的递推式11nnnaAaB A例例8：1113,33,nnnnaaaaa n n数数列列满满足足:求求通通项项公公式式.11111 33 133 133 -11333nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaannan 解解：是是以以为为首首项项，以以 为为公公差差的的等等差差数数列列（）第十七页，讲稿共三十三页哦【变式迁移】已知数列an中，a15且an2an12n1（n2且nN*）.（1）求证数列为等差数列；（2）求数列an的通项公式.nna21解：（1）方法1：（构造法）因为a15且an2an12n1，所以当n2时，an12（an11）2n，所以，所以，,1212111nnnaan,1212111nnnaan第十八页，讲稿共三十三页哦所以是以为首项，以1为公差的等差数列.方法2：（代入法）因为a15,n2时，所以，所以是以为首项，以1为公差的等差数列.（2）由（1）知,所以an（n1）2n1.nna21221na111112121)122(2121nnnnnnnnnaaaanna21221na1)1(221nann第十九页，讲稿共三十三页哦 nnnnnnnnnnnnnnaaaaaqpqppxqaxpxqapqxapqapa求中，：已知数列例只能用方法一解决）若用于的等比数列（此法只适是公比为转化为得与已知递推式比较后解列，令待定系数法构造等比数相除法（略）方法二：方法一形如递推式为,)21(31,657,)1)(:)1(111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaabbbbbabaa)21(3)31(2,33234)21(332343323,132)21(,1)21(32)21(211111111）（）（），（即令得）解法一：两边同除以（第二十页，讲稿共三十三页哦nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaxxaaxaaxaxa)21(3)31(2,3132)21(332)21(331)21(3)21(3(31)21(3,3,1)31()21(31)21()31(31)21(31)21(1111111111）（的等比数列为首项为公比，以是以数列比较得与方法二：令第二十一页，讲稿共三十三页哦 练习练习.已知数列已知数列an中中a1=2，an+1=4an+求数列求数列an的通项公式。的通项公式。12n.)(:111后累加法求解待定系数法或化为求法nnnnnpnfpapa反思反思)1,0)(1ppnfpaann形如第二十二页，讲稿共三十三页哦例例9：111,21nnnnnaaaaaa 数数列列满满足足:求求通通项项公公式式八取倒法八取倒法形如形如 的递推式的递推式1nnnpaaqap111n11n12111 221a11 2aannnnnnaaaaaa 解解：是是以以为为首首项项，以以 为为公公差差的的等等差差数数列列1111(1)221 21nnnnaaan 第二十三页，讲稿共三十三页哦.,12,1,111的通项公式的通项公式求求中中已知数列已知数列nnnnnaSSSaa 练习练习第二十四页，讲稿共三十三页哦形如形如 的递推式的递推式11nnnnaapaa例例10：1112,0,2.nnnnnnaaaaaaa已知且,求1111111 2 211 -211545 -1(-2)-2222 45nnnnnnnnnaaaaaaaannnaaan 解解：是是以以为为首首项项，以以为为公公差差的的等等差差数数列列（）八取倒法八取倒法第二十五页，讲稿共三十三页哦 nnnnnnnnnnnnannaaaapCBnAnacbnannfpyxnayxyxnapynxabnaapanfnfapa求满足例；数列的等比数列以公比为转化为的等比数列，若以公比为转化为解出令方法一：如为一次或二次函数），（形如递推式为),2(123,4)(,)()1(,)()(1122111132132136361611131)1(31232)1(3321133221233323),2)()1(31111111111nabbabbbbbbnabnanayxxyxnaaxyxnaanynxaxnannnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn为首项得等比数列为公比，以是以则令得与解：令第二十六页，讲稿共三十三页哦nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaBAxBnAanxBnAaxxaBABxAxanBxAxaxxxxqpxxyxxaayxaaqapaa得得方程组求出代入与再令，令当得得方程组求出代入与再令，令当求出方法二：特征根法，令得出与上式比较令方法一：待定系数法，型递推式为其他三阶递推式：形如,)(21,)(,21,0,)(1121)1(2)1(1)1(2)1(1212121111 nnnnnaaaaaaa求中例：在数列,32,7,1,1121第二十七页，讲稿共三十三页哦 nnnnnaaaaaaa求中例：在数列,32,7,1,1121nnnnnnnnnnBxAxaBABABAaaBxAxaxxxx)1(3232)1(12,1731,7,1,3,1,0321111211211211212又得方法一：令第二十八页，讲稿共三十三页哦 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaayxaaaaaaaaaayxyxyxxyxyaaaxyaaxyaxaayxaaaaaaaaa)1(322312,)1(434313)3(31,31,3883)(33,113313232)()(,32,7,1,1211211121121111111111121得为首项等比数列为公比，以是以则数列时，有当为首项等比数列为公比，以是以则数列时，有当或比较得与得方法二：令求中例：在数列第二十九页，讲稿共三十三页哦 nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa求中）在数列（求中）在数列（练习：,45,4,12,2121,1,0112211121第三十页，讲稿共三十三页哦求数列的通项公式求数列的通项公式类型类型方法方法1、已知前几项、已知前几项观察法观察法2、已知前、已知前n项和项和Sn前前n项和法项和法3、形如、形如 的递推式的递推式累加法累加法4、形如、形如 的递推式的递推式累乘法累乘法5、形如、形如 的递推式的递推式待定系数法待定系数法6、形如、形如 的递推式的递推式取倒法取倒法7、形如、形如 的递推式的递推式相除法相除法1()nnaaf n1()nnaf na1nnapaq1nnnpaaqap11nnnaAaB A构造辅助数列构造辅助数列11nnnnaapaa第三十一页，讲稿共三十三页哦1：1215,2,6103-311(1);2(2)(3).nnnnnnaanN naxa xaanS 设设数数列列若若对对任任意意的的二二次次方方程程都都有有根根、，且且满满足足求求证证：是是等等比比数数列列求求通通项项；求求前前 项项和和作业作业第三十二页，讲稿共三十三页哦感谢大家观看感谢大家观看第三十三页，讲稿共三十三页哦