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电工基础72 第八章正弦交流电路序号内容学时1 第一节纯电阻电路2 2 第二节纯电感电路2 3 第三节纯电容电路2 4 第四节电阻、电感、电容的串联电路2 5 第五节交流电路的功率2 6 第六节电阻、电感、电容的并联电路2 第一节纯电阻电路只含有电阻元件的交流电路叫做纯电阻电路，如含有白炽灯、电炉、电烙铁等电路。一、电压、电流的瞬时值关系电阻与电压、电流的瞬时值之间的关系服从欧姆定律。设加在电阻R 上的正弦交流电压瞬时值为u=Umsin(t)，则通过该电阻的电流瞬时值为)sin()sin(mmtItRURui1掌握电阻、电感、电容元件的交流特性。2掌握 R-L-C 串联电路与并联电路的分析计算方法，理解阻抗与阻抗角的物理意义。3了解 R-L-C 串联谐振电路与并联谐振电路的特性。4理解交流电路中有功功率、无功功率、视在功率以及功率因数的概念。5掌握提高交流电路功率因数的方法。1熟练掌握分析计算交流电路电压、电流、阻抗、阻抗角、功率等方法。2理解谐振电路选频特性的原理。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 19 页 -电工基础73 其中RUImm是正弦交流电流的振幅。这说明，正弦交流电压和电流的振幅之间满足欧姆定律。二、电压、电流的有效值关系电压、电流的有效值关系又叫做大小关系。由于纯电阻电路中正弦交流电压和电流的振幅值之间满足欧姆定律，因此把等式两边同时除以2，即得到有效值关系，即RIURUI或这说明，正弦交流电压和电流的有效值之间也满足欧姆定律。三、相位关系电阻的两端电压u 与通过它的电流i 同相，其波形图和相量图如图8-1 所示。解：解析式071.7Ruisin(314t+30)A，大小(有效值)为A5207.7I第二节纯电感电路一、电感对交流电的阻碍作用1感抗的概念反映电感对交流电流阻碍作用程度的参数叫做感抗。2感抗的因素纯电感电路中通过正弦交流电流的时候，所呈现的感抗为XL=L=2 fL图 8-1 电阻电压u 与电流 i 的波形图和相量图【例 8-1】在纯电阻电路中，已知电阻R=44，交流电压 u=311sin(314t+30)V，求通过该电阻的电流大小？并写出电流的解析式。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 19 页 -电工基础74 式中，自感系数L 的国际单位制是亨利(H)，常用的单位还有毫亨(mH)、微亨(H)，纳亨(nH)等，它们与H 的换算关系为1 mH=103 H，1 H=106 H，1 nH=109 H。如果线圈中不含有导磁介质，则叫作空心电感或线性电感，线性电感L 在电路中是一常数，与外加电压或通电电流无关。如果线圈中含有导磁介质时，则电感L 将不是常数，而是与外加电压或通电电流有关的量，这样的电感叫做非线性电感，例如铁心电感。3线圈在电路中的作用用于“通直流、阻交流”的电感线圈叫做低频扼流圈，用于“通低频、阻高频”的电感线圈叫做高频扼流圈。二、电感电流与电压的关系1电感电流与电压的大小关系电感电流与电压的大小关系为LXUI显然，感抗与电阻的单位相同，都是欧姆()。2电感电流与电压的相位关系电感电压比电流超前90(或/2)，即电感电流比电压滞后90，如图 8-2 所示。解：(1)电路中的感抗为XL=L=314 0.08 25 图 8-2 电感电压与电流的波形图与相量图【例 8-2】已知一电感L=80 mH，外加电压uL=502sin(314t 65)V。试求：(1)感抗 XL，(2)电感中的电流IL，(3)电流瞬时值iL。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 19 页 -电工基础75(2)A22550LLLXUI(3)电感电流iL比电压 uL滞后 90，则A)25314sin(22tiL第三节纯电容电路一、电容对交流电的阻碍作用1容抗的概念反映电容对交流电流阻碍作用程度的参数叫做容抗。容抗按下式计算fCCXL211容抗和电阻、电感的单位一样，也是欧姆()。2电容在电路中的作用在电路中，用于“通交流、隔直流”的电容叫做隔直电容器；用于“通高频、阻低频”将高频电流成分滤除的电容叫做高频旁路电容器。二、电流与电压的关系1电容电流与电压的大小关系电容电流与电压的大小关系为CXUI2电容电流与电压的相位关系电容电流比电压超前90(或/2)，即电容电压比电流滞后90，如图 8-3 所示。图 8-3 电容电压与电流的波形图与相量图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 19 页 -电工基础76 解：(1)251CXC(2)A8.02520CCXUI(3)电容电流比电压超前90，则A)110314sin(28.0tiC第四节电阻、电感、电容的串联电路一、R-L-C 串联电路的电压关系由电阻、电感、电容相串联构成的电路叫做R-L-C 串联电路。设电路中电流为i=Imsin(t)，则根据R、L、C 的基本特性可得各元件的两端电压：uR=RImsin(t)，uL=XLImsin(t 90)，uC=XCImsin(t 90)根据基尔霍夫电压定律(KVL)，在任一时刻总电压u 的瞬时值为u=uR uL uC作出相量图，如图8-5 所示，并得到各电压之间的大小关系为22)(CLRUUUU上式又称为电压三角形关系式。图 8-4 R-L-C 串联电路图 8-5 R-L-C 串联电路的相量图【例 8-3】已知一电容C=127 F，外加正弦交流电压V)20314sin(220tuC，试求：(1)容抗 XC；(2)电流大小IC；(3)电流瞬时值Ci。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 19 页 -电工基础77 二、R-L-C 串联电路的阻抗由于 UR=RI，UL=XLI，UC=XCI，可得2222)()(CLCLRXXRIUUUU令2222)(XRXXRIUZCL上式称为阻抗三角形关系式，|Z|叫做 R-L-C 串联电路的阻抗，其中 X=XL XC叫做电抗。阻抗和电抗的单位均是欧姆()。阻抗三角形的关系如图8-6 所示。由相量图可以看出总电压与电流的相位差为RXRXXUUUCLRCLarctanarctanarctan上式中叫做阻抗角。三、R-L-C 串联电路的性质根据总电压与电流的相位差(即阻抗角)为正、为负、为零三种情况，将电路分为三种性质。1.感性电路：当 X 0 时，即 XL X C，0，电压 u 比电流 i 超前，称电路呈感性；2.容性电路：当 X 0 时，即 X L X C，1 的条件。三、串联谐振的应用串联谐振电路常用来对交流信号的选择，例如接收机中选择电台信号，即调谐。在 R-L-C 串联电路中，阻抗大小22)1(CLRZ，设外加交流电源(又称信号源)电压 uS的大小为 US，则电路中电流的大小为22SS)1(CLRUZUI由于则，100S0CRRLQRUI，20020)(11QII此式表达出电流大小与电路工作频率之间的关系，叫做串联电路的电流幅频特性。电流大小 I 随频率 f 变化的曲线，叫做谐振特性曲线，如图8-7 所示。当外加电源uS的频率 f=f0时，电路处于谐振状态；当ff0时，称为电路处于失谐状态，若 f f0，则 XL f0，则 XL XC，电路呈感性。在实际应用中，规定把电流I 范围在(0.7071I0 I I0)所对应的频率范围(f1 f2)叫做串联谐振电路的通频带(又叫做频带宽度)，用符号B 或f 表示，其单位也是频率的单位。理论分析表明，串联谐振电路的通频带为QffffB012频率 f 在通频带以内(即 f1 f f2)的信号，可以在串联谐振电路中产生较大的电流，而频率 f 在通频带以外(即 f f1或 f f2)的信号，仅在串联谐振电路中产生很小的电流，因此谐振电路具有选频特性。Q 值越大说明电路的选择性越好，但频带较窄；反之，若频带越宽，则要求 Q 值越小，而选择性越差；即选择性与频带宽度是相互矛盾的两个物理量。解：(1)kHz5040MHz221000QfBRLQLCf，图 8-7 R-L-C 串联电路的谐振特性曲线【例 8-7】设在 R-L-C串联电路中，L=30 H，C=211 pF，R=9.4，外加电源电压为u=2sin(2 f t)mV。试求：(1)该电路的固有谐振频率f0与通频带B；(2)当电源频率f=f0时(即电路处于谐振状态)电路中的谐振电流I0、电感 L 与电容 C 元件上的电压UL0、UC0；(3)如果电源频率与谐振频率偏差f=f f0=10%f0，电路中的电流I 为多少？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 19 页 -电工基础81(2)I0=U/R=1/9.4=0.106 mA，UL0=UC0=QU=40 mV(3)当 f=f0+f=2.2 MHz 时，B=2 f=13.816 106 rad/s mA014.072)1(22ZUCLRZ仅为谐振电流I0的 13.2%。第六节电阻、电感、电容的并联电路一、R、L、C 并联电路的电流关系由电阻、电感、电容相并联构成的电路叫做R、L、C 并联电路。设电路中电压为u=Umsin(t)，则根据R、L、C 的基本特性可得各元件中的电流：2sin2sin)sin(mmmtXUitXUitRUiCCLLR，根据基尔霍夫电流定律(KCL)，在任一时刻总电流i 的瞬时值为i=iRiLiC作出相量图，如图8-9 所示，并得到各电流之间的大小关系。从相量图中不难得到2CL22LC2R)()(IIIIIIIR上式称为电流三角形关系式。图 8-8 R、L、C 并联电路图 8-9 R、L、C 并联电路的相量图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 19 页 -电工基础82 二、R、L、C 并联电路的导纳与阻抗在 R、L、C 并联电路中，有UBXUIUBXUIGURUICCCLLLR，其中LLXB1叫做感纳、C1XBC叫做容纳，单位均为西门子(S)。于是2LC22LC2R)()(BBGUIIII令UIY，则222LC2)(BGBBGY上式称为导纳三角形关系式，式中|Y|叫做 R、L、C 并联电路的导纳，其中B=BCBL叫做电纳，单位均是西门子(S)。导纳三角形的关系如图8-10 所示。电路的等效阻抗为2211BGYIUZ由相量图可以看出总电流i 与电压 u 的相位差为GBGBBIIILCRLCarctanarctanarctan式中叫做导纳角。由于阻抗角是电压与电流的相位差，因此有GBarctan三、R、L、C 并联电路的性质同样是根据电压与电流的相位差(即阻抗角)为正、为负、为零三种情况，将电路分为三种性质：1感性电路：当 B 0 时，即 BC XL，0，电压 u 比电流 i 超前，称电路呈感性；图 8-10 R、L、C 并联电路的导纳三角形名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 19 页 -电工基础83 2容性电路：当 B 0 时，即 BC B L，或 XC XL，XC，则电路呈容性。(3)|Z|=U/I=120/2.6=46。四、R、L 并联与 R、C 并联电路在讨论 R、L、C 并联电路的基础上，容易分析R、L 并联和 R、C 并联电路的电流情况，只需将R、L、C 并联电路中的电容开路去掉(IC=0)，即可获得R、L 并联电路；若将R、L、C 并联电路中的电感开路去掉(IL=0)，即可获得R、C 并联电路。有关R、L、C 并联电路的公式对这两种电路也完全适用。解：(1)由 IR=U/R=220/50=4.4 A，XL=2 fL 100，IL=U/XL=2.2 A，可得A92.422LRIII(2)|Z|=U/I=220/4.92=44.7(3)在 R、L 并联电路中，BC=0，BL 0，则 B=BCBL 0，BL=0，则 B=BCBL 0，电路呈容性。第七节电感线圈和电容的并联谐振电路一、电感线圈和电容的并联电路实际电感与电容并联，可以构成 LC 并联谐振电路(通常称为 LC 并联谐振回路)，由于实际电感可以看成一只电阻R(叫做线圈导线铜损电阻)与一理想电感L 相串联，所以LC 并联谐振回路为R-L 串联再与电容C 并联，如图8-11所示。电容 C 支路的电流为CUXUICC电感线圈R-L 支路的电流为2121221LRLIIXRUI其中 I1R是 I1中与路端电压同相的分量，I1L是 I1中与路端电压正交(垂直)的分量，如图8-12 所示。由相量图可求得电路中的总电流为2121)(CLRIIII路端电压与总电流的相位差(即阻抗角)为RCLIII11arctan由此可知：如果当电源频率为某一数值f0，使得I1L=IC，则阻抗角=0，路端电压与总电流同相，即电路处于谐振状态。二、并联谐振电路的特点1谐振频率对 LC 并联谐振是建立在100RLQ条件下的，即电路的感抗XL R，Q0叫做谐振回路的空载Q 值，实际电路一般都满足该条件。理论上可以证明LC 并联谐振角频率0与频率0f分别为图 8-12 电感线圈和电容并联电路的相量图图 8-11 电感线圈和电容的并联电路名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 19 页 -电工基础85 LCfLC21,102谐振阻抗谐振时电路阻抗达到最大值，且呈电阻性。谐振阻抗和电流分别为CRLRQQRZ20200)1(3谐振电流电路处于谐振状态，总电流为最小值00ZUI谐振时 XL0XC0，则电感L 支路电流IL0与电容 C 支路电流IC0为000000IQXUXUIILCCL即谐振时各支路电流为总电流的0Q倍，所以 LC 并联谐振又叫做电流谐振。当 ff0时，称为电路处于失谐状态，对于LC 并联电路来说，若f f0，则 XL f0，则 XL XC，电路呈容性。4通频带理论分析表明，并联谐振电路的通频带为0012QfffB频率 f 在通频带以内(即 f1ff2)的信号，可以在并联谐振回路两端产生较大的电压，而频率 f 在通频带以外(即 f f2)的信号，在并联谐振回路两端产生很小的电压，因此并联谐振回路也具有选频特性。解：(1)50MHz121rad/s1025.610060RLQLCfLC，k25kHz2020000RQZQfB，(2)IL0IC0=Q0I=5 mA。第八节交流电路的功率一、正弦交流电路功率的基本概念【例 8-11】如图 8-11 所示电感线圈与电容器构成的LC 并联谐振电路，已知 R=10，L=80 H，C=320 pF。试求：(1)该电路的固有谐振频率f0、通频带 B 与谐振阻抗|Z0|；(2)若已知谐振状态下总电流I=100 A，则电感 L支路与电容C 支路中的电流IL0、IC0为多少？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 19 页 -电工基础86 1瞬时功率p设正弦交流电路的总电压u 与总电流i 的相位差(即阻抗角)为，则电压与电流的瞬时值表达式为u=Umsin(t)，i=Imsin(t)瞬时功率为p=ui=UmImsin(t)sin(t)利用三角函数关系式sin(t)=sin(t)cos cos(t)sin可得)2sin(sin)2cos(1cossin2)2sin(cos2)2cos(1sin)cos()sin(cos)(sin)sin(sin)cos(cos)sin(mmmm2mmmmtUItUItIUtIUtttIUtttIUp式中2mUU为电压有效值，2mII为电流有效值。2有功功率P 与功率因数瞬时功率在一个周期内的平均值叫做平均功率，它反映了交流电路中实际消耗的功率，所以又叫做有功功率，用P 表示，单位是瓦特(W)。在瞬时功率P=UI cos 1 cos(2t)UI sin sin(2t)中，第一项与电压电流相位差的余弦值cos有关，在一个周期内的平均值为UI cos；第二项与电压电流相位差的正弦值 sin有关，在一个周期内的平均值为零。则瞬时功率P 在一个周期内的平均值(即有功功率)为P=UI cos =UI其中=cos叫做正弦交流电路的功率因数。3视在功率S定义：在交流电路中，电源电压有效值与总电流有效值的乘积(UI)叫做视在功率，用S表示，即 S=UI，单位是伏安(VA)。S 代表了交流电源可以向电路提供的最大功率，又称为电源的功率容量。于是交流电路的功率因数等于有功功率与视在功率的比值，即SPcos所以电路的功率因数能够表示出电路实际消耗功率占电源功率容量的百分比。4无功功率Q在瞬时功率p=UIcos 1 cos(2t)UI sinsin(2t)中，第二项表示交流电路与电源之间进行能量交换的瞬时功率，|UI sin|是这种能量交换的最大功率，并不代表电路实际消耗的功率。定义：Q=UI sin把它叫做交流电路的无功功率，用Q 表示，单位是乏尔，简称乏(Var)。当 0 时，Q 0，电路呈感性；当 0 时，Q 2，1 XC，UL UC，0 XL IC，0 容性电路XL XC，UL UC，XC，IL IC，f0时，呈感性；f f0时，呈容性；f 2，1 2。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 19 页 -