2022年第讲函数的表示方法 .pdf

1 第一讲函数的表示方法知识梳理一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；2列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；3解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。二、分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。重、难点突破重点：掌握函数的三种表示法-图象法、列表法、解析法，分段函数的概念难点：分段函数的概念，求函数的解析式重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)(xgf的解析式，则可用换元法或配凑法；问题 1已知二次函数)(xf满足564)12(2xxxf，求)(xf方法一：换元法方法二：配凑法方法三：待定系数法（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(xf问题 2：已知函数)(xf满足xxfxf3)1(2)(，求)(xf因为xxfxf3)1(2)(以x1代x得xxfxf13)(2)1(由联立消去)1(xf得)0(2)(xxxxf名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -2 热点考点题型探析考点 1：用图像法表示函数例 1（09 年广东南海中学）一水池有2个进水口,1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示给出以下3个论断：进水量出水量蓄水量甲乙丙（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水则一定不正确的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上).解题思路 根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点，它要求考生熟悉基本的函数图象特征，善于从图象中发现其性质。高考中的热点题型是“知式选图”和“知图选式”。新题导练 1(05 辽宁改)一给定函数)(xfy的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1a，由关系式0)(1nnafa得到的数列na满足)(0*1Nnaann，则该函数的图象是（）A B C D 2(2005 湖北)函数|1|lnxeyx的图象大致是()时间011时间021时间034665名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -3 考点 2：用列表法表示函数例 2（07 年北京）已知函数()f x，()g x分别由下表给出则(1)f g的值为；满足()()f g xg f x的x的值是解题思路 这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发现对应关系，用好对应关系即可。新题导练 3（09 年山东梁山）设 f、g 都是由 A 到 A 的映射，其对应法则如下表（从上到下）：映射 f 的对应法则是表1 原象1 2 3 4 象3 4 2 1 映射 g 的对应法则是表2 则与)1(gf相同的是（）A)1(fg；B)2(fg；C)3(fg；D)4(fg4（04 年江苏改编）二次函数cbxaxy2（xR）的部分对应值如下表：x3 2 1 0 1 2 3 4 y6 0 4 6 6 4 0 6 则不等式02cbxax的解集是x1 2 3()f x1 3 1 x1 2 3()g x3 2 1 原象1 2 3 4 象4 3 1 2 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -4 考点 3：用解析法表示函数题型 1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式 例 3（04 湖北改编）已知)11(xxf=2211xx，则)(xf的解析式可取为 解题思路 这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法【名师指引】求函数解析式的常用方法有：换元法（注意新元的取值范围）；待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）；整体代换（配凑法）；构造方程组（如自变量互为倒数、已知)(xf为奇函数且)(xg为偶函数等）。题型 2：求二次函数的解析式例 4（普宁市城东中学09 届高三第二次月考）二次函数)(xf满足xxfxf2)()1(，且1)0(f。求)(xf的解析式；在区间1,1上，)(xfy的图象恒在mxy2的图象上方，试确定实数m的范围。解题思路（1）由于已知)(xf是二次函数，故可应用待定系数法求解；（2）用数表示形，可得求)(2xfmx对于 1,1x恒成立，从而通过分离参数，求函数的最值即可。【名师指引】如果已知函数的类型，则可利用待定系数法求解；通过分离参数求函数的最值来获得参数的取值范围是一种常用方法。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -5 新题导练 5（06 全国卷二改编）若xxf2cos3)(sin，则)2sin(xf6（09 年潮州金山中学）设()yf x是一次函数，若01f且1,4,13fff成等比数列，则242fffn；7（华侨中学09 届第 3 次月考（09 年中山）设11xfxx，又记11,1,2,kkfxfxfxffxk则2008fx（）A11xx；B11xx；Cx；D1x；8设二次函数)(xf满足)2()2(xfxf,且其图象在y轴上的截距为1，在 x 轴上截得的线段长为2，求)(xf的解析式。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -6 考点 4：分段函数题型 1：根据分段函数的图象写解析式例 5(07 年湖北)为了预防流感，某学校对教室用药物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间 t（小时）成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系式为ay1161（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为；（）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室。思路点拨 根据题意，药物释放过程的含药量y（毫克）与时间t 是一次函数，药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系是已知的，由特殊点的坐标确定其中的参数，然后再由所得的表达式解决（）【名师指引】分段函数的每一段一般都是由基本初等函数组成的，解决办法是分段处理。题型 2：由分段函数的解析式画出它的图象例 6(2006 上海)设函数54)(2xxxf，在区间6,2上画出函数)(xf的图像。思路点拨 需将来绝对值符号打开，即先解0542xx，然后依分界点将函数分段表示，再画出图象。【名师指引】分段函数的解决办法是分段处理，要注意分段函数的表示方法，它是用联立符号将函数在定义域的各个部分的表达式依次表示出来，同时附上自变量的各取值范围。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页 -7 新题导练 9（09 年潮州金山中学）已知函数223(0)()1 (0)xxf xxx，则1ff10（06 山东改编）设,2),1(log.2,2)(221xxxxfx则不等式02)(xf的解集为备选例题1：(2005 江西)已知函数baxxxf2)(（a，b 为常数）且方程f(x)x+12=0 有两个实根为x1=3,x2=4.（1）求函数f(x)的解析式；（2）设 k1，解关于 x 的不等式；xkxkxf2)1()(备选例题2：（06 重庆）已知定义域为R的函数()fx满足22()().ffxxxf xxx（I）若(2)3f，求(1)f;又若(0)fa，求()f a;（II）设有且仅有一个实数0 x，使得00()f xx，求函数()f x的解析表达式名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页 -8 抢分频道基础巩固训练：1（09 年广州高三年级第一学期中段考）函数xfy的图象如图2 所示.观察图象可知函数xfy的定义域、值域分别是（）A.6,20,5,5,0；B.,0,6,5C.6,20,5,0；D.5,2,52（09 年惠州第一次调研考）某工厂从2000 年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量y与时间t的函数图像可能是（）3（2004湖南改编）设函数2,0,()2,0.xbxc xf xx若)0()3(ff,2)1(f,则关于x的方程xxf)(的解的个数为4（05 江苏）已知ba,为常数，若34)(2xxxf，2410)(2xxbaxf，则ba5=5对，、Rba记babbaabaxm，a，函数)(cos,sina)(Rxxxxmxf的最小值是（）A.1；B.22；C.22；D.1O-5 2 6 2 5 xy图 2 48yot48yot48yot48yotCDAB名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -9 6（中山市09 届高三统测）已知函数)()()(21xfxfxf 1,21)21,0 xx其中1)21(2)(21xxf，22)(2xxf。作出函数)(xf的图象；综合提高训练：7（09 年惠州第二次调研考）如图，动点P在正方体1111ABCDABC D的对角线1BD上过点P作垂直于平面11BB D D的直线，与正方体表面相交于MN，设BPx，MNy，则函数()yf x的图象大致是（）8（06 重庆）如图所示，单位圆中BA的长为x，()f x 表示弧BA与弦 AB所围成的弓形面积的 2 倍，则函数()yf x的图像是（）A B C D M N P A1 B1 C1 D1 y x AO y x BO y x CO y x DO 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -10、9（06 福建）已知()f x是二次函数，不等式()0f x的解集是(0,5),且()f x在区间1,4上的最大值是12。（I）求()f x的解析式；（II）是否存在实数,m使得方程37()0f xx在区间(,1)m m内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -