2022年自主训练(二用数学归纳法证明不等式 .pdf
学习必备欢迎下载自主训练夯基达标1.用数学归纳法证明“nnnnn13121112411,(nN+)”时，由 n=k 到 n=k+1时，不等式左边应添加的项是（）A.)1(21kB.221121kkC.11221121kkkD.2111221121kkkk思路解析：当 n=k 时，不等式为kkkk121112411，当 n=k+1 时，左边=2)2(11)1(1kk)1()1(1)1(1)1()1(1kkkkkk=22112113121kkkkkk,比较 n=k 与 n=k+1 的左边，知应添加的项是121221121kkk.答案：C 2.用数学归纳法证明1+21+31+121n1)时，第一步即证下述哪个不等式成立（）A.12 B.1+212 C.1+21+312 D.1+312 思路解析：n=2 时，左边=1+21+31，右边=2.所以应证1+21+312.答案：C 3.用数学归纳法证明“1+21+31+121n1)”时，由 n=k（k1）不等式成立，推证 n=k+1 时，左边应增加的项数是（）A.2k-1 B.2k-1 C.2k D.2k+1 思路解析：增加的项数为（2k+1-1）-(2k-1)=2k+1-2k=2k.答案：C 4.关于正整数n 的不等式 2nn2成立的条件是（）A.nN+B.n4C.n4 D.n=1 或 n4 思路解析：验证 n=1,2,3,4,5,6 等值.答案：D 5.对于不等式nn2n+1(n N+),某学生的证明过程如下：（1）当 n=1 时，1121+1，不等式成立.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 7 页 -学习必备欢迎下载(2)假设 n=k(kN+)时，不等式成立，即kk2212n成立.证明：(1)当 n=2 时，左边=1+31=34,右边=25,左边右边.不等式成立.(2)假设 n=k 时，不等式成立，即（1+31）(1+51)(1+121k)212k,那么当 n=k+1 时，（1+31）(1+51)(1+121k)1+1)1(21k1222212kkk=1223841224841222222kkkkkkkk21)1(21221232kkkk.n=k+1 时，不等式也成立.由（1）（2）知，对一切大于1 的自然数 n，不等式都成立.8.设数列 an 满足 a1=2,an+1=an+na1(n=1,2,3,)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 7 页 -学习必备欢迎下载求证：an12n对一切正整数n 成立.证法一：当n=1 时，a1=2112,不等式成立,假设 n=k 时，ak12n成立.当 n=k+1 时,ak+12=ak2+21ka+22k+3+21ka2(k+1)+1.n=k+1 时，ak+11)1(2 k成立.综上（1）（2）可知，an12n对一切正整数成立.证法二：当n=1 时，a1=23=112,结论成立.假设 n=k 时结论成立，即ak12k.当n=k+1时，由函数f(x)=x+x1(x1)的单调性和归纳假设有ak+1=ak+ka112k+121k.因此只需证12k+121k32k,而这等价于(12k)+(121k)232k121k0 显然成立.所以当 n=k+1 时，结论成立.因此，an12n对一切正整数n 均成立.9.已知数列 bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145(nN+)(1)求数列 bn的通项.（2）设数列 an的通项 an=loga(1+nb1)(其中 a0 且 a1),记 Sn是数列 an 的前 n 项和，试比较 Sn与31logabn+1的大小，并证明你的结论.解：(1)设数列 bn的公差为 d,由题意，得10 1+2)110(10 d=145,d=3,bn=3n-2.(2)由 bn=3n-2 知,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 7 页 -学习必备欢迎下载Sn=loga(1+1)+loga(1+41)+loga(1+231n)=loga(1+1)(1+41)(1+231n),31logabn+1=loga313n.因此要比较Sn与31logabn+1的大小，可先比较（1+1）(1+41)(1+231n)与313n的大小.取 n=1,有(1+1)3113,取 n2，有(1+1)(1+41)(1+231n)313n.下面用数学归纳法证明之：当 n=1 时，已验证不等式成立.假设当n=k(kN+)时，不等式成立，即(1+1)(1+41)(1+231k)313k,则当 n=k+1 时,(1+1)(1+41)(1+231k)1+2)1(31k313k(1+131k)=13133kk(3k+2).13133kk(3k+2)3-(343k)3=2222)13(49)13()13)(43()23(kkkkkk0.13133kk+1(3k+2)343k=31)1(3 k.因此(1+1)(1+41)(1+231k)1+2)1(31k31)1(3 k.这说明，当n=k+1 时，不等式也成立.由知，对一切nN+,不等式(1+1)(1+41)(1+231n)313n都成立.再由对数的性质，可得：当 a1 时，Sn31logabn+1;当 0a1 时,Sn24m,所以由 f(2)24m,求得 m 的值.答案：B 11.设 n 为正整数，f(n)=1+21+31+n1,计算得 f(2)=23,f(4)2,f(8)25,f(16)3,f(32)27,观察上述结果，可推测出一般结论（）A.f(2n)212nB.f(n2)22nC.f(2n)22nD.以上都不对思 路 解 析：f(2)=23,f(4)=f(22)24,f(8)=f(23)25,f(16)=f(24)26,f(32)=f(25)=27,所 以f(2n)22n.答案：C 12.如果 1 23+234+345+n(n+1)(n+2)=41n(n+1)(n+a)(n+b)对一切正整数n 都成立，a，b 的值应该等于（）A.a=1,b=3 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=2 D.a=2,b=3 思路解析：令 n=1,2，得到关于a、b 的方程组，解得即可.答案：D 13.设 aR,f(x)=1222xxaa是奇函数，（1）求 a的值;(2)如果 g(n)=1nn(nN+)，试比较f(n)与 g(n)的大小(nN+).思路解析：(1)f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(0)=0,故 a=1.(2)f(n)-g(n)=)1)(12(12211212nnnnnnnn.只要比较2n与 2n+1 的大小.当 n=1,2 时，f(n)2n+1,f(n)g(n).下面证明，n3时，2n2n+1，即 f(x)g(x).n=3 时，232 3+1,显然成立，假设 n=k(k3,k N)时，2k2k+1,那么 n=k+1 时，2k+1=2 2k2(2k+1).名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 7 页 -学习必备欢迎下载2(2k+1)-2(k+1)+1=4k+2-2k-3=2k-10(k3),有 2k+12(k+1)+1.n=k+1 时，不等式也成立，由可以断定,n 3,n N 时,2n2n+1.结论:n=1,2 时,f(n)g(n).14.某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年底要砍伐的木材量为b，设 an为 n 年后该地区森林木材存量.(1)求 an的表达式；（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材量应不少于97a,如果 b=7219a,那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（取lg2=0.30）.思路解析：(1)依题意，得a1=a(1+41)-b=45a-b,a2=45a1-b=45(45a-b)-b=(45)2a-(45+1)b,a3=45a2-b=(45)3a-(45)2+45+1b,由此猜测：an=(45)na-(45)n-1+(45)n-2+45+1b=(45)na-4(45)n-1b(nN+).下面用数学归纳法证明：当 n=1 时，a1=45a-b,猜测成立.假设 n=k 时，猜测成立.即 ak=(45)ka-4(45)k-1b 成立.那么当 n=k+1 时，ak+1=45ak-b=45(45)ka-4(45)k-1b-b=(45)k+1a-4(45)k+1-1b,即当 n=k+1 时，猜测成立.由知,对任意的自然数n 猜测成立.(2)当 b=7219a 时，若该地区今后发生水土流失时，则森林木材存量必须小于97a,(45)na-4(45)n-17219a5,两边取对数得：nlg45lg5,n30.03130.012lg312lg12lg25lg5lg=7.经过 8年该地区就开始水土流失.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 7 页 -学习必备欢迎下载15.已知函数f(x)=ax-23x2的最大值不大于61，又当 x41,21)时，f(x)81.(1)求 a 的值；（2）设 0a121,an+1=f(an)，求证：0an11n.思路解析：(1)由于 f(x)=ax-23x2的最大值不大于61，所以f(3a)=62a61,即 a21.又 x41,21时，f(x)81.所以.813234,81832.81)41(,81)21(aaff即解得 a1.a=1.(2)当 n=1 时，0a121,不等式 0an11n成立；假设 n=k(k1)时，不等式成立，即0ak0,1-23ak0,(k+2)ak(1-23ak)222)21(1223)2(1kkkakaak1.于是 0ak+121k.因此当 n=k+1 时，不等式成立.综上所述由可知，对nN+不等式 0an11n成立.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 7 页 -
