2022年2022年考研数学二真题与解析 .pdf

1 2019 年考研数学二真题解析一、选择题18 小题每小题4 分，共 32 分1当0 x时，若tanxx与kx是同阶无穷小，则k（）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】（C）【详解】当0 x时，331tan()3xxxo x，所以331tan()3xxxo x，所以3k2曲线3sin2cos()22yxxxx的拐点是（）（A）(0,2)（B）(,2)（C）(,)22（D）33(,)22【答案】（D）【详解】sin2cosyxxx，cossinyxxx，sinyxx，sincosyxxx；令sin0yxx得120,xx，且()0f，所以(,2)是曲线的拐点；而对于点(0,0)，由于(0)0f，而(4)(0)0f，所以不是曲线的拐点3下列反常积分发散的是（）（A）0 xxe dx（B）20 xxedx(C）20arctan1xdxx（D）201xdxx【答案】（D）【详解】（1）当x时，2()1xf xx是关于1x的一阶无穷小，当然201xdxx发散；（2）用定义：20201ln(1)|12xdxxx，当然201xdxx发散4已知微分方程xyaybyce的通解为12()xxyCC x ee，则,a b c依次为（）（A）1,0,1（B）1,0,2(C）2,1,3（D）2,1,4【答案】（D）【详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出121rr是特征方程20rarb的实根，从而确定2,1ab；（2）显然，*xye是非齐次方程的特解，代入原方程确定4c5 已 知 平 面 区 域(,)|2Dx yxy，记221DIxy dxdy，222sinDIxy dxdy，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -2 223(1cos)DIxydxdy，则（）（A）321III（B）213III（C）123III（D）231III【答案】（A）【详 解】（1）显 然 在 区 域D22202xy，此 时 由 结 论 当0 x时sinxx知 道2222sinxyxy，所以12II；（2）当0 x时，令()1cossinf xxx，则()sincosfxxx，()sincosfxxx；令()0fx得到在(0,)2唯一驻点4x，且04f，也就是()1cossinf xxx在4x取得极小值04f，在0,2xx同时取得在0,2上的最大值(0)()02ff，也就有了结论，当(0,)2x时，1cossinxx，也就得到了32II；由（1）、（2）可得到321III6设函数(),()f xg x的二阶导函数在xa处连续，则2()()lim0()xaf xg xxa是两条曲线()yf x，()yg x在xa对应的点处相切及曲率相等的（）（A）充分不必要条件（B）充分必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件【答案】（A）【详解】充分性：（1）当2()()lim0()xaf xg xxa进，由洛必达法则，2()()1()()10limlim()()()()()22xaxaf xg xfxg xfag afag axaxa也就是两条曲线在xa对应的点处相切；（2）2()()1()()10limlim()()()()()22xaxaf xg xfxgxfagafagaxaxa由曲率公式23(1)yky可知两条曲线在xa对应的点处曲率相等必要性不正确的原因在于，虽然相切能得到()()fag a，但在相切前提下，曲率相等，只能得到名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -3()()faga，不能确定()()faga，当然得不到2()()lim0()xaf xg xxa7 设A是四阶矩阵，*A为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax的基础解系中只有两个向量，则(*)r A（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】（A）【详解】线性方程组0Ax基础解系中只有两个向量，也就是4()2()213r Ar An，所以(*)0r A8设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若22AAE，且4A，则二次型Tx Ax的规范形是（）（A）222123yyy（B）222123yyy（C）222123yyy（D）222123yyy【答案】（C）【详解】假设是矩阵A的特征值，由条件22AAE可得220，也就是矩阵A特征值只可能是1和2而1234A，所以三个特征值只能是1231,2，根据惯性定理，二次型的规范型为222123yyy二、填空题（本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分.把答案填在题中横线上）920lim2xxxx【答案】24e解：02(21)22lim2(1ln2)200lim2lim 1214xxxxxxxxxxxxeee10曲线sin1cosxttyt在32t对应点处的切线在y的截距为【答案】322【详解】32sin,|11costdytdydxtdx，所以切线方程为331(1)222yxx，在y的截距为32211.设函数()f u可导，2yzyfx，则2zzxyxy.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -4【答案】22zzyxyyfxyx【详解】3222222,zyyzyyyfffxxxyxxx，22zzyxyyfxyx12曲线ln cos(0)6yxx的弧长为【答案】1ln 32【详解】2211tansecdsy dxxdxxdx66001secln(sectan)|ln 3.2sxdxxx13已知函数21sin()xtf xxdtt，则10()f x dx【答案】1(cos11)4【详解】（1）用定积分的分部积分：211111200001021122010211212201002 10sin()()|()()sin1sin()sin21sin11|sinsin22211cos|(cos1 1)44xxxtf x dxxf xxfx dxxdt dxxx dxttdt dxxx dxttxdtxx dxxx dxtx（2）转换为二重积分：22211111120010000sinsinsin11()sin(cos1 1)24xtxtttf x dxxdt dxxdxdtdtxdxtt dtttt14已知矩阵1100211132210034A，ijA表示元素ija的代数余子式，则1112AA【答案】4【详解】1112111213141100211100432210034AAAAAA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -5 三、解答题15（本题满分10 分）已知函数2,0()1,0 xxxxf xxex，求()fx，并求函数()f x的极值【详解】当0 x时，22ln()xxxf xxe，2()2(ln1)xfxxx；当0 x时，()1xf xxe，()(1)xfxxe；在0 x处，22000()(0)12(ln1)(0)limlimlim1xxxxxf xfxxxfxx，所以()f x在0 x处不可导综合上述：22(ln1),0()(1),0 xxxxxfxxex；令()0fx得到1211,xxe当1x时，()0fx，当10 x时，()0fx，当10 xe时，()0fx，当1xe时，()0fx；故11x是函数的极小值点，极小值为1(1)1fe；0 x是函数的极大值点，极大值为(0)1f；21xe是函数的极小值点，极小值为21()efee16（本题满分10 分）求不定积分2236(1)(1)xdxxxx【详解】22222223623213(1)2ln1(1)(1)1(1)11132ln1ln(1)1xxd xxdxdxxxxxxxxxxxxxxxCx17（本题满分10 分）设函数()y x是微分方程2212xyxyex满足条件(1)ye的特解（1）求()y x的表达式；（2）设平面区域(,)|12,0()Dx yxyy x，求D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程先求解对应的线性齐次方程0yxy的通解：22xyCe，其中C为任意常数；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -6 再 用 常 数 变 易 法 求2212xyxyex通 解，设22()xyC x e为 其 解，代 入 方 程，得222211(),()22xxCx eeCxxx，11()2C xdxxCx，也就是通解为：221()xyxC e把初始条件(1)ye代入，得10C，从而得到22().xy xxe（2）旋转体的体积为2222411()()2xxVy xdxxe dxee18（本题满分10 分）设平面区域2234(,)|,()Dx yxyxyy，计算二重积分22Dxydxdyxy【详 解】显 然 积 分 区 域2234(,)|,()Dx yxyxyy关 于y轴 对 称，由 对 称 性，显 然220Dxdxdyxy；233sin5442222044143 2sinsin2120DDxyydxdydxdydrdrdxyxy19（本题满分10 分）设n是正整数，记nS为曲线求曲线sin(0)xyexxn与x轴所形成图形的面积，求nS，并求lim.nnS【详解】先求曲线与x轴的交点：令sin0 xex得,0,1,2,xkknL当2(21)kxk时，sin0 xyex；当2(22)kxk时，sin0 xyex由不定积分1sin(sincos)2xxexdxexxC可得2221sin(1)2kxkkexdxee，22221sin(1)2kxkkexdxee所求面积为0sinnxnSexdx当n为奇数时，(21)222210220022002(1)2222(1)20sinsinsin11(1)(1)221111 1(1)(1)(1)22121nnnkkxxxnkkkknnkkkknnknkSexdxexdxexdxeeeeeeeeeeee同理：(2)2201 1sin(1)2 1nxnneSexdxee名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页 -7 显然，有2121 1limlim2 1nnnneSSe所以1 1lim2 1nneSe20（本题满分11 分）已知函数(,)u x y满足关系式22222230uuuxyy求,a b的值，使得在变换(,)(,)ax byu x yv x y e之下，上述等式可化为函数(,)v x y的不含一阶偏导数的等式【详解】在变换(,)(,)ax byu x yv x y e之下(,)ax byax byuveav x y exx，(,),axbyaxbyuvebv x y eyy222222(,)ax byax byaxbyuvveaea v x y exxx，222222(,)ax byax byax byuvvebeb v x y eyyy；把上述式子代入关系式22222230uuuxyy，得到222222224(34)(223)(,)0vvvvababb v x yxyxy根据要求，显然当30,4ab时，可化为函数(,)v x y的不含一阶偏导数的等式21（本题满分11 分）已知函数()f x在0,1上具有二阶导数，且(0)0,(1)1ff，10()1f x dx，证明：（1）至少存在一点(0,1)，使得()0f；（2）至少存在一点(0,1)，使得()2f证明（1）令0()()xxf t dt，则10(0)0,(1)()1f x dx，则由于()f x在0,1连续，则()x在0,1上可导，且()()xf x，则由拉格朗日中值定理，至少存在一点1(0,1)，使得()(1)(0)，也就是1101()()(1)f x dxff；对()f x在1,1上用罗尔定理，则至少存在一点1(,1)(0,1)，使得()0f；（2）令2()()F xf xx，则显然，()F x在0,1具有二阶导数，且211(0)0,(1)2,()1FFF对()F x分别在110,1上用拉格朗日中值定理，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页 -8 至少存在一点11(0,)，使得211111()(0)1()0FFF；至少存在一点21(,1)，使得1211()(1)()11FFF；对()()2Fxfxx在12,上用拉格朗日中值定理，则至少存在一点12(,)(0,1)，使得211212111()()()0FFF，也就是()2f22（本题满分11 分）已知向量组：12321111,0,2443a；向量组：12321011,2,3313aaa若向量组和向量组等价，求常数a的值，并将3用123,线性表示【详解】向量组和向量组等价的充分必要条件是123123123123(,)(,)(,;,)rrr1231232222111101111101(,;,)102123011022443313001111aaaaaaaa（1）当1a时，显然，123123123123(,)(,)(,;,)2rrr，两个向量组等价此时，123311111023(,;)0112011200000000，方程组112233xxx的通解为123231210 xxxkx，也就是3123(23)(2)kkk，其中k为任意常数；（2）当1a时，继续进行初等行变换如下：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -9 12312322111101111101(,;,)011022011022001111001111aaaaaa显然，当1a且1a时，123123123(,)(,;,)3rr，同时123101101101,02202201111101001aaa，123(,)3r，也就是123123123123(,)(,)(,;,)2rrr，两个向量组等价这时，3可由123,线性表示，表示法唯一：312323（本题满分11 分）已知矩阵22122002Ax与21001000By相似（1）求,x y之值；（2）求可逆矩阵P，使得1P APB【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：ABtrAtrB，即2(24)241xyxy，解得32xy（2）解 方 程 组221232(2)(2)(1)0002EA得 矩 阵A的 三 个 特 征 值1232,1,2；分别求解线性方程组()0(1,2,3)iEA xi得到分属三个特征值1232,1,2的线性无关的特征向量为：1231112,1,2004令1123111,212004P，则1P可逆，且11212P AP；同样的方法，可求得属于矩阵B的三个特征值1232,1,2的线性无关的特征向量为：1231100,3,00014名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -10 令2123110,030001P，则2P可逆，且12212P BP；由前面111122PAPPBP，可知令112111212004PPP，就满足1P APB名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -