2022年三角函数中三角变换常用的方法和技巧 .pdf

学习好资料欢迎下载三角函数中三角变换常用的方法和技巧三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)倍角公式tan2A=2tanA/1-(tanA)2 cos2a=(cosa)2-(sina)2=2(cosa)2-1=1-2(sina)2 sin2A=2sinA*cosA 半角公式sin2(/2)=(1-cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos)万能公式sin(a)=(2tan(a/2)/(1+tan2(a/2)cos(a)=(1-tan2(a/2)/(1+tan2(a/2)tan(a)=(2tan(a/2)/(1-tan2(a/2)一、角的变换名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 9 页 -学习好资料欢迎下载在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问 题 获 解。常 见 角 的 变 换 方 式 有：)(；)()(2；)(2；22等等。例 1函数2sincos()36yxxxR的最小值等于（）（A）3（B）2（C）1（D）5解析：注意到题中所涉及的两个角的关系：362xx，所以将函数()f x的表达式转化为()2coscoscos666f xxxx，故()f x的最小值为1故选（C）评 注：常 见 的 角 的 变 换 有：()，2()()，2()，22，3()442，44只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察，往往会发现角之间的关系例 2、已知,1411)cos(,71cos均是锐角，求cos。解：。）21734143571)1411(cos1435sin(,734sin.sin)sin(cos)cos()cos(cos小结：本题根据问题的条件和结论进行)(的变换。例 3、已知 cos(91)2,sin(2-)=32,且,20,2求.2cos分析：观察已知角和所求角，可作出)2()2(2的配凑角变换，然后利用余弦的差角公式求角。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 9 页 -学习好资料欢迎下载解：.2757329543591)2()2cos(2cos,35(1)2cos(,954(1)2sin(.224,24,20,2)32)9122例 4、已知),2sin(sinm求证：).1(tan11)tan(mmm分析：由角的特点，因已知条件所含角是,2所证等式含角,所以以角为突破口。证明：.tan11tan(1sin)cos()1(cos)sin()1(,sin)cos(cos)sin(sin)cos(cos)sin(,)sin()sin(,)(,)(2mmmmmmmm）即小结：抓住题设与结论中角的差异，利用角的和，差，倍等关系，变不同的角为同角，在三角变换中角的变换很重要。二、函数名称变换三角函数包括六种形式，因此，对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入手，寻求统一函数名称的变换途径，正确选用三角变换公式，通过变换尽量减少三角函数的种类，可以使问题得到快速的解决例 1、若 sin（+）=12,sin（）110，求tantan解：由 sin=（+）=12,s in（）110得名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 9 页 -学习好资料欢迎下载1sincoscossin312sincos,cossin1105sincoscossin10解得tantansincoscossin32例 2、当04x时，函数22cos()cos sinsinxf xxxx的最小值是（）（A）4（B）12（C）2（D）14解析：注意到函数的表达式的分子与分母是关于sinx与cosx的齐二次式，所以，分子与 分 母 同 时 除 以2cos x转 化 为 关 于tanx的 函 数 进 行 求 解 因 为04x，所 以0tan1，所以2211()4tantan11tan24f xxxx故选（A）评注：切、割化弦，弦化切是解答三角问题中对函数名称进行转化的最常见、最基本的两种方法：（1）若所给的三角式中出现了“切、割函数”，则可利用同角三角函数基本关系将“切、割函数”化为“弦函数”进行求解、证明；（2）若所给的三角式中出现了“弦函数”与“切函数”，有时可以利用公式sintancosxxx将“弦函数”化为“切函数”进行解答例 3、化简：000cos10(tan103)sin50解：原式00000000000sin10cos10sin103cos10 cos102cos40(3)2cos10sin50cos10sin50sin50例 4、已知tan()34，求22sincossinsincos1的值。解：tan()14tantan()2441tan()4，222222sincos2sincos2tan47sinsincos1sinsincossincos2tantan1点评：在求值、化简、恒等式证明中，切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧。三、升幂与降幂变换分析三角函数中的次数，是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题中的要求，正名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 9 页 -学习好资料欢迎下载确选用半角公式或倍角公式等三角公式，达到次数的统一例 1、已知为第二象限角，且15sin4，求sin4sin2cos21的值分析：由于已知条件中知道sin的值，而所求三角函数式中所涉及的角是与有关的复角，因此可利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形获得解答解：原式22(sincos)2(sincos)22sincos2cos4cos(sincos)当为 第 二 象 限 角，且15sin4时，si nc o s0，1cos4，所 以s i n242si n 2c o s 214 c o s评注：解答本题的关键是将含有二倍角的一次式转化为二次式，消去常数1例 2、求值：480sin20sin220sin820sin433解：原式：20sin3)20sin21(20sin43220sin340cos20sin43=20sin340cos20sin4)2040sin(2=20sin320sin40cos20cos40(sin220sin3)2040sin(2332注：怎样处理 sin320和3是本题的难点，解决的方法是“降幂”和“常数变换法”。例 3、化简2cos2cos21coscossinsin2222。分析：从“幂”入手，利用降幂公式。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 9 页 -学习好资料欢迎下载解：原式2cos2cos21)2cos1)(2cos1(41)2cos1)(2cos1(41)2cos2cos2cos2cos1(41)2cos2cos2cos2cos1(412cos2cos21212cos2cos21)2cos2cos1(21四、常数变换在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变换 有：222222c o tc sct ansecc o ss in1，0045sin90sin1，sincsc1,cossec1等等。例 1、已知tan24，求212sincoscos的值分析：由已知易求得tan的值，而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正、余弦函数且各式都为二次式，而分子是常数1，可将 1 化为22sincos，再利用同角三角函数基本关系将所求式转化为正切函数进行求解解：由1tantan241tan，得1tan3，于是原式2222sincostan122sincoscos2tan13评注：对于题中所给三角式中的常数（如：231323，等），比照特殊角的三角函数值，将它们化为相应的三角函数，参与其它三角函数的运算，在解题中往往起着十分奇妙的作用例2、求值（21cos 80o23cos 10o）1c o s 2 0o解：21cos 80o23cos 10o2222cos 103cos 80cos 80 cos 10oooo名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 9 页 -学习好资料欢迎下载223cos 10 sin 10oooooo（cos10+3sin10）（cos10 sin10）22cos10cos 10 sin 10oooooooooo4（sin30+cos30 sin10）（sin30cos10 cos30 sin1 0）24sin 40 sin201sin 204ooo16sin 40sin 20oo32cos20o 原式 32 例 3、(2004 年全国高考题)求函数xxxxxxf2sin2cossincossin)(2244的最小正周期，最大值和最小值。分析：由所给的式子xxxx2244cossincossin可联想到222)cos(sin1xx。解：xxxxxxf2sin2cossincossin)(2244)cossin1(2cossin122xxxx212sin41x。所以函数)(xf的最小正周期是，最大值为43，最小值为41。五、消参变换当题设或结论中含有参数时，我们可以采用消去参数法来解决例 1、已知sinsin(3)m，1m且()2kkZ，()2kkZ求证：1tan()tan1mm分 析：由 于 已 知 和 结 论 中 都 含 有 参 数m，所 以 我 们 可 以 把 已 知 变 形，求 出sinsin(2)mm，代入1tan1mm化简，即可证得等式成立评注：在解答含有参数的等式证明问题时，我们往往可以采用这种办法本例并未给出证明过程，同学们可试着自己完成六、变换公式的方法名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 9 页 -学习好资料欢迎下载使用任何一个公式都要注意它的逆向变幻，多向变幻，这是灵活，深刻地使用公式所必须的，尤其是三角公式众多，把这些公式变活，显得更加重要。三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用。如cossin22sin，tan tan tan（）（1tan tan）等。例 1：求值：212cos412csc)312tan32（解：先看角，都是12；再看“名”，需将切割化为弦，最后在化简过程中再看变换。原式212cos412sin1)312cos12sin3(2（切、割化为弦）=)112cos2(12cos12sin212cos312sin32=24cos24sin)12cos2312sin21(32(逆用二倍角)=24cos24sin)60sin12cos60cos12(sin32（常数变换）=24cos24sin2)6012sin(34（逆用差角公式）48sin)48sin(343（逆用二倍角公式）注：要养成逆用公式的意识，熟悉教材给出的三角基本公式的同时，如果我们熟悉其他变通形式常可以开拓解题思路。例 2、求28tan17tan28tan17tan的值。解：原式=128tan17tan)28tan17tan1(45tan28tan17tan)28tan17tan1)(2817tan(小 结：对 于 两 个 角 的 正 切 的 三 角 函 数 的 和 与 积 的 形 式 的 求 值 问 题，通 常 利 用t antan1tantan)tan(的变形式).tantan1)(tan(tantan例 3、求)6tan()6tan(3)6tan()6tan(的值。,33tan)6()6tan(解：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 9 页 -学习好资料欢迎下载又3)6tan()6tan(3)6tan()6tan(1 3)6tan()6tan(1 3)6tan()6tan()6tan()6tan(1)6tan()6tan()6()6tan(原式例 4、若为锐角且满足sin sin=12，coscos=12，求 tan（）的值。解：由题中条件把两等式平方相加得sin22sinsin+sin2 cos22coscos+cos2=12即 22cos（）12cos（）34、为锐角sinsin120 0220 s in（）12cos()74,tan（）=sin()cos()=73,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 9 页 -