2022年二项分布与超几何分布 .pdf

一、超几何分布设一批产品共有N个，其中有M个次品，现从中任取n个（nNM）,令Xn“取 出 的个 产 品 中 包 含 的 次 品 数”则X的分布列为(),(0,1,2,m in(,)knkMNMnNCCPXkkMnC上述分布称为 超几何分布，记作(,)Xh nNM。超几何分布的二项近似当nN时，即抽取的个数n远小于产品总数N时，每次抽取后，总体中的不合格率pMN改变甚微，所以可以把不放回抽样近似的看成是有放回抽样，这时，超几何分布可以用二项分布近似(1),knkkknkMNMnnNCCMCpppCN其 中例 1 甲乙两人赌技相当，各出赌本 500 元，约定 5 局 3 胜，胜者得到这 1000元钱。现在因故在甲赢了一局的情况下终止比赛，试问该如何分配这1000 元钱？解法一合理的方案应该是按照“若把球打完，甲乙二人各自取胜的概率”的比例来分配奖金。由于甲已经先胜了一局，所以，甲取胜的事件就是“在接下来的比赛中，第三次失败之前赢下两次”。令X“在 接 下 来 的 比 赛 中，甲 取 得 两 次 胜 利所 需 要 的 局 数”则(2,0.5)XNb，于是()(5)PP X“甲 赢 乙”42()kP Xk42122120.50.5kkkC41120.5kkkC2340.520.530.51116注：本题也可以采用求数学期望的方法，这时求分布列较麻烦二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的下面举例进行对比辨析例袋中有 8 个白球、2 个黑球，从中随机地连续抽取3 次，每次取1 个球求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数的分布列；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 3 页 -（2）不放回抽样时，取到黑球的个数的分布列解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数可能的取值为，1，2，3又由于每次取到黑球的概率均为，3 次取球可以看成3 次独立重复试验，则135XB，03031464(0)55125P XC；12131448(1)55125P XC；21231412(2)55125P XC；3033141(3)55125P XC因此，X的分布列为X0 1 2 3 P64125481251212511252不放回抽样时，取到的黑球数可能的取值为，1，2，且有：03283107(0)15C CP YC；12283107(1)15C CP YC；21283101(2)15C CP YC因此，Y的分布列为Y0 1 2 P715715115辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型 因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样 所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的例从装有 3 个红球、2 个白球的袋中随机取出2 个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布列为X0 1 2 P解析：由题意，得0232251(0)0.110C CP XC，1132236(1)0.610C CP XC，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 3 页 -203223(2)0.3C CP XC（或(2)1(0)(1)10.10.60.3P XP XP X）故随机变量的概率分布为X0 1 2 P01 06 03 点评：本题主要考查了组合、离散型随机变量分布列的知识、概率的计算及超几何分布列的求法例 2在一次购物抽奖活动中，假设某10 张券中有一等奖券张，可获价值50 元的奖品；有二等奖券3 张，每张可获价值10 元的奖品；其余 6 张没有奖 某顾客从此10 张中任抽 2 张，求：（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值（元）的概率分布列解析：（1）024621015211453C CPC（或11204646210302453C CC CPC），即该顾客中奖的概率为23（2）X的 所 有 可 能 值 为：0，10，20，50，60（元），且02462101(0)3C CP XC，11362102(10)5C CP XC，232101(20)15CP XC，11162102(50)15C CP XC，11132101(60)15C CP XC故X的分布列为X0 10 20 50 60 P1325115215115点评：本题以超几何分布为背景，主要考查了概率的计算、离散型随机变量分布列的求法及分析和解决实际问题的能力名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 3 页 -