2022年《经济数学基础》教案 .pdf

教学目标 1.理解矩阵、可逆矩阵和矩阵秩的概念。2.掌握矩阵的加法、数乘矩阵、矩阵乘法和转置等运算。3.熟练掌握用初等行变换法求矩阵的秩和逆矩阵的方法。4.知道零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵、阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵。5.掌握用消元法求解线性方程组。6.理解线性方程组有解判定定理。了解线性方程组的特解、一般解等概念，熟练掌握求线性方程组一般解的方法，会求线性方程组的特解。重难点 矩阵运算，初等行变换，线性方程组解的讨论与解法。教学内容 矩阵一、主要内容：（一）、概念矩阵定义：nmijnmaA)(是一张矩形阵表。（它 m行 n 列，其中ija中 i 表示第 i 行，j表示第 j 列）、零矩阵：nmnmo)0(、负矩阵：nmijnmaA)(、行矩阵和列矩阵：),(1naa，mbb1、方阵：nnijnnaA)(特殊矩阵、单位矩阵：I、数量矩阵：、对角矩阵：、三角矩阵：（上三角矩阵和下三角矩阵）、对称矩阵：AAT阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵矩阵秩的定义：对应阶梯形矩阵的非零行的行数。逆矩阵定义：AAIAAAA111,为互逆矩阵。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 9 页 -（二）、法则矩阵的相等：同形矩阵对应位置元素相等。矩阵的加减法：nmijijbaBA)(矩阵的数乘：nmijkakA)(矩阵的乘法：ABC矩阵乘法不满足交换律，即ABBA一般不成立（若矩阵A,B满足ABBA，则称A,B为可交换的）矩阵乘法不满足消去律，即由矩阵ACBC及矩阵C0，不能推出AB但当C可逆时，ACBCAB矩阵AB00,，可能有AB0方阵的幂：AAAAm（m个相乘）矩阵的转置：mnijTaA)(称为nmijnmaA)(的转置。（三）、方法矩阵的初等行变换初等行变换化矩阵为阶梯形初等行变换求矩阵的秩初等行变换求逆矩阵二、实例分析：例 1 若A，B是两个阶方阵，则下列说法正确是（）A000或，则若BAAB B2222)+(BBAABA C若秩,0)(A秩,0)(B则秩0)(AB D若秩,)(nA秩,)(nB则秩nAB)(解选项 A：00或BA只是0AB的充分条件，而不是必要条件，故A错误；选项B：222)+(BABBAABA，矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA，故 B错误；选项 C：由秩,0)(A秩,0)(B说明A，B两个矩阵都不是0 矩阵，但它们的乘积有可能0 矩阵，如0011,1010BA，则0000AB故秩0)(AB不一定成立，即 C错误；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 9 页 -选项 D：两个满秩矩阵的乘积还是满秩的，故D正确例 2 设矩阵021A，100112B，则AB解因为AB021100112=4 1 所以，应该填写：4 1 例 3 矩阵13210011000010001000的秩是()A.1 B.2 C.3 D.4 解因为000000010000110012310010000100001100123100010001000011001231对应的阶梯形矩阵有3 个非 0 行，故该矩阵的秩为3正确选项是：C 例 4 设矩阵A=913210063，801962B则矩阵A与B的乘积AB的第 3 行第 1 列的元素的值是解根据乘法法则可知，矩阵A与B的乘积AB的第 3 行第 1 列的元素的值是A的第3 行元素与B的第 1列元素的乘积之和，即 32（1）9 90 -3 应该填写：-3 例 5 设A是m n矩阵,B是s n矩阵,则运算有意义的是()ATAB BAB CBAT DTTBA解根据乘法法则可知，两矩阵相乘，只有当左矩阵的行数等于右矩阵的列数时，它们的乘积才有意义，故矩阵TAB有意义名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 9 页 -正确选项是A例 6 设方程XAB=X，如果AI 可逆，则X=解由XAB=X，得XAX=B，X(AI)=B故X=B(AI)1所以，应该填写：B(AI)1注意：矩阵乘法中要区分“左乘”与“右乘”，若答案写成 (AI)1 B，它是错误的例 7 设矩阵1111032311A，求矩阵A解因为1000100011111032311IA101340013790001231101340211110001231943100211110632101100113010237001349所以943732311A例 8 已知矩阵367601012bbaa，求常数a，b解因为3676010122aabbaabbbaa所以6,3 aba，得b=2 例 9设矩阵A，B满足矩阵方程AX B，其中0121A，2003B,求X 解法一：先求矩阵A的逆矩阵因为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 9 页 -10010121IA112001212121101001所以2121101A且BAX1200321211012320解法二：因为20010321BA23200321123102001所以12320X例 10 设矩阵451001413101BA试计算A-1B解因为100010001001413101IA10110001311000110110000101 04110011 01所以1011141001A且51344511011141001BA例 11 设A，B均为n阶对称矩阵，则ABBA也是对称矩阵证因为A，B是对称矩阵，即名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 9 页 -BBAATT，且TTT)()()(BAABBAABTTTTBAABABBABAAB根据对称矩阵的性质可知，ABBA是对称矩阵例 12 设A是n阶矩阵，若3A=0，则21)(AAIAI证因为)(2AAIAI =322AAAAAI =3AI=I所以21)(AAIAI线性方程组一、主要内容：(一)、概念线性方程组的矩阵表示：AX=b)0(0bbAxAx非齐次方程组齐次方程组其中：A为系数矩阵，Ab=A为增广矩阵阶梯形方程组：简化阶梯形矩阵：（可用于直接读出方程组的解）(二)、方法线性方程组AX=b的解的情况归纳如下：AX=b有唯一解的充分必要条件是秩(A)=秩(A)=n；AX=b有无穷多解的充分必要条件是秩(A)=秩(A)n；AX=b无解的充分必要条件是秩(A)秩(A)齐次线性方程组AX=0的解的情况为：AX=0 只有零解的充分必要条件是秩(A)=n；AX=0有非零解的充分必要条件是秩(A)n矩阵消元法求线性方程组的一般解步骤：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 9 页 -知量用自由未知量表独立未判断是否有解，写出对应的方程组若有解化简化阶梯形初等行变换化阶梯形写出*101001-bAAA此解称为线性方程组的一般解。二、实例分析：例 1 线性方程组0223221xxxx的系数矩阵是()A 23 矩阵B32 矩阵C3 阶矩阵D2 阶矩阵解此线性方程组有两个方程，有三个未知量，故它的系数矩阵是23 矩阵正确的选项是A例 2 线性方程组AX=B有唯一解，那么AX=0()A 可能有解B有无穷多解C无解D有唯一解解线性方程组AX=B有唯一解，说明秩,)(nA故AX=0 只有唯一解（零解）正确的选项是D例 3 若线性方程组的增广矩阵为41221A，则当（）时线性方程组有无穷多解 A1 B4 C2 D12解将增广矩阵化为阶梯形矩阵，41221A021021此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即021，从而12正确的选项是D例 4 若非齐次线性方程组Am nX=B有唯一解,那么有 ()A秩(A，B)nB秩(A)r C 秩(A)秩(A，B)D秩(A)秩(A，B)n解根据非齐次线性方程组解的判断定理可知选项D是正确名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 9 页 -例 5 求解线性方程组1232122023432143214321xxxxxxxxxxxx解将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即001001301038001002001311001231131101311001231123211212101231A因为，秩(A)=秩(A)=3，所以，方程组有解一般解为0318334241xxxxx (x4是自由未知量)例 6 设线性方程组212132123123123xxxxxxxxxc试问c为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解解因为13501350112123111211112ccAc00013501121可见，当c=0时，方程组有解且0000515310535101A所以，原方程组的一般解为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 9 页 -323153515153xxxx（x3是自由未知量）作业设计 形成性考核册作业4 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 9 页 -