2022年数学物理方法习题及解答 .pdf

2.试解方程：0,044aaz44424400000,0,1,2,3,ikiizaa ezaekaezii若令则1计算：（1）iiii524321（2）522yi（3）求复数2132i的实部 u 和虚部 v、模 r 与幅角(1)原式=123425310810529162525255iiiiii（2）332()102052(0,1,2,3,4)kiek原式(3)2223132213cossincossin,2333322132uv1,2k,k0,1,2,223iiiieir原式所以：，3试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数.(1)yiyyieyyyxexxsincossincos3.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 13 页 -cossin,cossin,cossincos,sinsincos,cossinsinsin,cossincos,xxxxxxxxuexyyyveyyxyuexyyyeyxuexyyyyyveyyxyeyyxveyyyxyyuvuvxyyxu vzfzuivzufz证明：所以：。由于在 平面上可微所以在 平面上解析。cossincoscossinsin.xxxxviexyyyeyi eyyxyeyxx由下列条件求解析函数ivuzf,1,22iifxyyxu解：222222222212,2,212,2,2112,22111,0,1,1,221112.222uvxyvxyyxxyvuvyxyxxxxxcxyxfzxyxyixyyxcfiixyccfzxyxyixyxy而即所以由知带入上式，则则解析函数2.21,3,.iiiiiie试求名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 13 页 -ln22(2)ln2Ln 144(2)4ln32Ln32ln32ln1222Ln21cos ln2sin ln2,0,1,2,3cos(ln3)sin(ln3),0,1,2,iikkiiiikiikiikikikiiiiieeeeikeeeeikieee解：222,0,1,2,cos1sin1.kiikeeeei3.计算2,:122cdzczzz2222220110,1,1,2,11,220,022zzzzi zi zczzzczz解：时，而在 内，故在 内解析，故原式1.计算221(1),21czzdz c zz：2221(2),21czzdz c zz：（1）212(21)=4zizzi解：原式（2）2112(21)=2(41)6zzizzizi解：原式.计算2sin()114,(1):1,(2):1,(3):2.122czdzczc zc zz其中1sin(1)sin2442.112czzzziizz解：(1)原式1sin(1)sin2442.112czzzziizz(2)原式12(3):2,1,11,.czzzc c以分别以为中心，为半径，做圆1222sinsin22442.1122cczzdzdziiizz原式3、将下列函数按1z的幂级数展开，并指明收敛范围。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 13 页 -2zz11001211211121121,12233331311,313,3nnnnnnzzzzzzzz解：其中，即此为级数的收敛范围。1.把zzzf11展开成在下列区域收敛的罗朗（或泰勒）级数(1),11z(2),211z(3).21z(1)；,11z.112121211211121111111110100nnnnnnnzzzzzzzzzzf解：(2)；,211z.21112121111121112111111111111010100nnnnnnnnnzzzzzzzzzzzzzf解：(7).21z.12111211111112111111111111111010100nnnnnnnnnzzzzzzzzzzzzzzzf解：2、计算积分11sinzdzzz名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 13 页 -解：zzzfsin1的奇点为),2,1,0(nnz在01zz内只有一个奇点200200020001011sinsin0()1Re()limlim()sinsinsincoscoscossinlimlimsin2sincoslim02cos12Re()0sinlimlimzzzzzzzzzzzzzzzzf zddzs f zzdzzzdzzzzzzzzzzzzzzdzis f zzz为的二阶极点 3求解定解问题2(0,0)(0,)0,(,)0(0)(,0)sin,(,0)sin(0)ttxxtua uxl tutu l ttxxu xu xxlll=0解：122221222211(,)()sin()()sin0()()0()cossin(,)cossinsin(,0)sinsin1,0nnnnnnnnnnnnnnnn xu x tTtlnan xTtT tllnan atn atTtT tTtABllln atn atn xu x tABllln xxu xAAAll1111(1)(,0)sinsin1,0(1)(,)(cossin)sinntnnnnn an xxaluxBBBBnllllaatlatxu x tlall1试用分离变量法求解定解问题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 13 页 -(0,0)(0,),(,)0(0)(,0)0,(,0)0(0)ttxxtuuxl tutE u l ttu xu xxl=0其中 E 为已知常数。解(,)(,)(,)(,)(1)(0,)(0,)(0,)(0,)0(1,)(1,)(1,)0(1,)0(,0)(,0)(,0)0(,0)(1)(,0)(,0)(,0ttttttttxxxxxxxxtttv x tu x tw x tw x tx EvuwuvuwuvtutwtEutvtutwtutv xu xw xu xx Ev xu xw x,(0)()0(1)()0)0(,0)0(0,)0,(1,)0(,0)(1)(,0)0(,)()()(,)()()(,)()()0102tttxxtxxttXT tXT tu xuuututu xxEu xu x tX x T tux tXx T tux tX x TtTXT XX TTXXXTTX （）（）-12121212(0)0,(1)0310()(0)00 X(1)000()02)0()xXX xC ec eXCCC eC eCCX xX xAxB（）00BAB0)(X0BAx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 13 页 -222220()cossin(0)0(1)sin0()0,0sin0(1,2,3,)()sin0()cossin(,)(cossin)sin1,2,3,nnnnnnnX xAxBxXAXBX xBnnnX xBxTa nTTtCn atDn atux tCn atDn atn xn(）11(,)(cossin)sin(,0)sin00nnntnnnu x tCn atDn atn xu xn aDn xD1(,0)sin(1)nnu xCn xxE11001100102222(1)sin(1)cos22(1)coscos222sinnECxEnxdxxdn xnEExnn xdxnnEEEn xnnn112(,)()cossin2(,)()cossin(1)nnEu x tn atn xnEv x tn atn xx En2求解定解问题20(0,0)(0,)0,(,)0(0)(,0)(0)txxua uxl tutu l ttu xu xxll解：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 13 页 -22212(,)()()(,)()()(,)()()0(1)0(2)(0,)(0)()0(0)0,()0(3)(,)()()01)0,()(0 xxtllu x tX x T tux tXx T tux tX x TtTXT Xa X Ta TXXXTaTutXT tXX lu l tX l T tX xC eC eX12121212112121212222)00()000()02)0()0()003)0()cossin(0)0,()sin0()0,0,sin0(1,2,3,)llCCX lC eC eCCX xX xC xCCCCX xCCX xCxCxXCX lClX xClnlnn,22222222222222101()sin()()0()(,)sin(,0)sinnatlnnnnnatlnnnnln xX xClnaT tTtTtA eln xu x tA elun xu xAxll22220020000001100002210122sincos22coscos222(1)sin(1)2(,)(1)sinllnllnlnnatnlnuun xln xAxdxxdllllnluun xn xxdxn lln lluuun xnnlnun xu x tenl3有一两端无界的枢轴，其初始温度为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 13 页 -1(1)(,0)0(1)xu xx试求在枢轴上的温度分布为2202sin(,)(cos)a tu x tx ed解：定解问题为21(1)(,0)()0(1)txxua uxu xxx设(,)()ixu x tTt ed2222222211()()()()0()(,)C()1(1)(,0)()0(1)11()(,0)22112()ixatatixiiiiTtaTteTtaTtTtCeu x teedxu xxxCu xededeei利用初始条件得222201sin1sin2sin(,)(cos)atixa tu x teedx ed4.复数231i的三角形式为3,3sin3cosiei，其指数形式为5 复 数5c o s5sini的 三 角 形 式 为103,103sin103cosiei，其 指 数 形 式 为6.复 数132i的 实 部u，虚 部v，模名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 13 页 -r，幅角.13,22uv，1,2(0,1,2,)3rkk7.复 数22i的 实 部u，虚 部v，模r，幅 角.2,2vu，),2,1,0(243,2kkr8.014iz的解为)3,2,1,0(,24284kezkik9、已知解析函数f zu x yiv x y()(,)(,)的虚部为v x yexy(,)cos，求此解析函数cxiexezfyycossin)(10试证下列函数在 z 平面上解析,并分别求其导数.yieyezfxxcossin)(证明：yeyxuxs i n),(，yeyxvxc o s),(yeyuyexuxxcos,sin，yeyvyexvxxsin,cos平面上解析在平面上可微在平面上连续在zzfzyxvyxuzyvxvyuxuxvyuyvxu)(),(),(,zxxxieyyiieyieyexvixuzf)cossin(cossin)(4积分dzzzcos1积分 6.积分13coszzdzz7.积分badzzz2cos)sin(sin2122ab名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 13 页 -积分10sin zdzz9积分202sindzzz10.计算232|2:|,1izcdzzecize14.幂 级 数nnnz121的 收 敛 半 径 为.5.幂 级 数1)1(nnnz的 收 敛 半 径 为幂 级 数121nznn的 收 敛 半 径 为 幂 级 数nnnz131的 收 敛 半 径 为8.函数zzf11)(在2|1|z上展成)1(z的泰勒级数为nnnz)1(21019把f zzz()()()123展为展为z的泰勒级数，并给出收敛半径。11011(),|223nnnnf zzz10.把f zzz()()()123展为下列级数1、将f z()在23z展为罗朗级数。2、将f z()在3z展为罗朗级数。110021(),2|33nnnnnnzf zzz、1100322(),3|nnnnnnf zzzz、4.0z为3cos1)(zzzf的.（奇点的类型，极点的阶数）5.0z为3sin)(zzzf的.（奇点的类型，极点的阶数）6.计算2|:|,)1(2zcdzzzecizi27.计算6|1:|,122zcdzzic8.试用分离变数法求解定解问题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 13 页 -.0,0,0,00002tttlxxxxttuxuuuuau0,0tlxlxnlatnnltxunnsincos2)1(),(119.试用分离变数法求解定解问题.,0,0,0002xuuuuautlxxxxt00 xl t,lxnenltxultannnsin2)1(),(22221110.求解定解问题.)(0)()0,002hxhxhQutxuautxxt（dexhhQtxuta22)cos(sin),(lxnlatnnuxlutxunnsincos2)1(),(100lxetxultasin),(lxklatkklltxuk)12(cos)12(cos)12(42),(122名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 13 页 -4.求解定解问题.0,0,0,000002tttlxxxxttuuuuuuau00 xl t,5.求解定解问题.0,0,00002tlxxxxtuuuuuau0,0tlx6.求解定解问题.sin,0,0,0002lxuuuuautlxxxxt0,0tlx7.试用分离变数法求解定解问题.0,0,0,00002tttlxxxxxxttuxuuuuau0,0tlx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 13 页 -