中考专题复习——最短路径问题(有答案).doc
中考专题复习路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化）三、例题：例1、如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是 。如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。张村李庄例2、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。张村李庄要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村及李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为 。四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。ABABA第3题第2题第1题2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点及B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为 。3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为 。4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一动点，DNMN的最小值为 。第4题 第5题 第6题 第7题5、在菱形ABCD中，AB=2， BAD=60°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为 。6、如图，在ABC中，ACBC2，ACB90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则ECED的最小值为_ _。7、AB是O的直径，AB=2，OC是O的半径，OCAB，点D在AC上，AD = 2CD，点P是半径OC上的一个动点，则AP+PD的最小值为_ _。（二）8、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD18cm，则PMN的周长为_。9、已知，如图DE是ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC5，BC8，则AEC的周长为_。10、已知，如图，在ABC中，ABAC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC8，ABE的周长为14，则AB的长 。11、如图，在锐角ABC中，AB4，BAC45°，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_12、在平面直角坐标系中，有A（3，2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n = 时，AC + BC的值最小第11题 第14题 第15题13、ABC中，C = 90°，AB = 10，AC=6,BC=8,过AB边上一点P作PEAC于E，PFBC于 F，E、F是垂足，则EF的最小值等于 14、如图，菱形ABCD中，AB=2, BAD=60°，点E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，则PE+PF的最小值为_.15、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座及河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？16、一次函数y=kx+b的图象及x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PCPD的最小值，并求取得最小值时P点坐标（三）16、如图，已知AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。17、如图，直线l是第一、三象限的角平分线实验及探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（2，5）关于直线l的对称点B、C的位置，并写出他们的坐标：B 、C ；归纳及发现：（2）结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P的坐标为 ；运用及拓广：（3）已知两点D（1，3）、E（1，4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标18、几何模型：条件：如图，A、B是直线L同旁的两个定点问题：在直线L上确定一点P，使PA+PB的值最小方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）模型应用：（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点连结，由正方形对称性可知，及关于直线对称连结交于，则的最小值是_；（2）如图2，的半径为2，点在上，是上一动点，求的最小值；OABPRQ图3（3）如图3，AOB=45°，P是AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求PQR周长的最小值OABC图2PABECBD图1ABPl19、问题探究（1）如图，四边形是正方形， ，为边的中点，为上的一个动点，求的最小值；（2）如图，若四边形是菱形， ，为边上的一个动点，为上的一个动点，求的最小值；ADBCADBCEPACDB问题解决（3）如图，若四边形ABCD是矩形， ，为边上的一个动点，为上的一个动点，求的最小值；20.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号）解：（1）过点B作BD轴于点D，由已知可得：OB=OA=2，BOD=60。.在RtOBD中，ODB=90。，OBD=30。.OD=1，DB=点B的坐标是（1，）.（2）设所求抛物线的解析式为，由已知可得：解得：所求抛物线解析式为（3）存在.由配方后得：抛物线的对称轴为=1.（也写用顶点坐标公式求出）OB=2，要使BOC的周长最小，必须BC+CO最小.点O及点A关于直线=1对称，有CO=CA. BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA.当A、C、B三点共线，即点C为直线AB及抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时BOC的周长最小.设直线AB的解析式为解得： 直线AB的解析式为当=1时， 所求点C的坐标为（1，）.21、DOxyBEPAC如图，抛物线的顶点P的坐标为，交x轴于A、B两点，交y轴于点（1）求抛物线的表达式（2）把ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC判断四边形ADBC的形状，并说明理由（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得FBD的周长最小，若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由题意知解得， -3分（列出方程组给1分，解出给2分）抛物线的解析式为 -4分（2）设点A（，0），B（，0），则，解得 -5分 OA1，OB3又tanOCBOCB60°，同理可求OCA30°ACB90° -6分由旋转性质可知ACBD，BCAD 四边形ADBC是平行四边形 -7分又ACB90°四边形ADBC是矩形 -8分（3）延长BC至N，使假设存在一点F，使FBD的周长最小即最小DB固定长只要FD+FB最小又CABNFD+FBFD+FN当N、F、D在一条直线上时，FD+FB最小 -10分又C为BN的中点， （即F为AC的中点）又A（1，0），C（0，） 点F的坐标为F（，） 存在这样的点F（，），使得FBD的周长最小-12分22. 已知：直线及轴交于A，及轴交于D，抛物线及直线交于A、E两点，及轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）动点P在轴上移动，当PAE是直角三角形且以P为直角顶点时，求点P的坐标（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标yxODEABC答案：（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得 解得 抛物线的解折式为 3分（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为，则E（，）又点E在直线上，EyAFCB 解得（舍去），E的坐标为（4，3） 4分过E作轴于，设P(b,0)由，得由得解得，此时的点P的坐标为（1，0）或（3，0） 6分（3）抛物线的对称轴为 B、C关于对称，要使最大，即是使最大 8分由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大易知直线AB的解折式为由 得 M（，） 10分第 5 页
