数学建模考试试题及答案.docx

数学建模及应用试题汇总 1.假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器，你也会出于好奇心想用扔下一 块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山 崖的高度呢，请你分析一下这一问题。 2.建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 3.一根长度为l 的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端的温度恒为T1，另一端温 度恒为T2，（T1、T2 为常数，T1> T2）。金属杆横截面积为A，截面的边界长度为B，它 完全暴露在空气中，空气温度为T3，（T3< T2，T3 为常数），导热系数为，试求金属杆 上的温度分布T(x)，（设金属杆的导热率为） 4.甲乙两队进行一场抢答竞赛，竞赛规则规定：开始时每队各记2 分，抢答题开始后，如 甲取胜则甲 加 1 分而乙减 1 分，反之则乙加1 分甲减1 分,(每题必需决出胜负 )。规 则还规定，当其中一方的得分达 到4 分时，竞赛结束。现希望知道： （1）甲队获胜的概率有多大？ （2）竞赛从开始到结束，平均转移的次数为多少？ （3）甲获得1、2、3 分的平均次数是多少？ 5.由于指派问题的特殊性，又存在着由匈牙利数学家提出的更为简便的解法匈牙利算 法。当系数矩阵为下式，求解指派问题。 15 19 22ù 21 19 18ú ú 22 18 17ú 19 22 16ú é16 ê17 C= ê ê24 ê ë17 û 6.在遥远的地方有一位酋长，他想把三个女儿嫁出去。假定三个女儿为A、B、C，三位求 婚者为X、Y、Z。每位求婚者对A、B、C 愿出的财礼数视其对她们的喜欢程度而定： A x é 3 y ê 5 10 4 ê27 z ëê 1 B C 26 ù 28ú ú 7 ûú 问酋长应如何嫁女，才能获得最多的财礼（从总体上讲，他的女婿最喜欢他的女儿。 7.某工程按正常速度施工时，若无坏天气影响可确保在 30 天内按期完工。但根据天气预 报，15 天后天气肯定变坏。有40%的可能会出现阴雨天气而不影响工期，在50%的可能 会遇到小风暴而使工期推迟 15 天，另有 10%的可能会遇到大风暴而使工期推迟 20 天。 对于可能出现的情况，考虑两种方案： 提前紧急加班，在15 天内完成工程，实施此方案需增加开支18000 元。 先按正常速度施工，15 天后根据实际出现的天气状况再作决策。 如遇到阴雨天气，则维持正常速度，不必支付额外费用。 如遇到小风暴，有两个备选方案：（i）维持正常速度施工，支付工程延期损失费 20000 元。（ii）采取应急措施。实施此应急措施有三种可能结果：有50%可能减少误工期1 天， 支付应急费用和延期损失费共24000 元；有30%可能减少误工期2 天，支付应急费用和 延期损失费共 18000 元；有 20%可能减少误工期 3 天，支付应急费用和延期损失费共 12000 元。 如遇大风暴，也有两个方案可供选择：（i）维持正常速度施工，支付工程延期损失费50000 元。（ii）采取应急措施。实施此应急措施也有三种可能结果：有 70%可能减少误工期 2 天，支付应急费及误工费共54000 元；有20%可能减少误工期3 天，支付应急费及误工 费共46000 元；有10%可能减少误工期4 天，支付应急费和误工费共38000 元。 根据上述情况，试作出最佳决策使支付的额外费用最少。 8.设剧院有1280 个座位，分为32 排，每排40 座。现欲从中找出某人，求以下信息的信 息量。（i）某人在第十排；（ii）某人在第15 座；（iii）某人在第十排第15 座。 数学建模及应用试题汇总答案 1. 解：假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式。设t=4秒，求得h78.5 米。除了地球引力之外，对石块下落影响最大的就是空气阻力，为了使结果进一步的精 确，考虑空气阻力的作用，建立第二个模型。根据流体力学知识，设空气阻力正比于石 块下落的速度，阻力系数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得： F = mdv = mg- Kv，并令k=K/m，得：v= ce-kt + g dtk gg -kt 若石块的初始速度为v(0)=0 ，得c=g/k，故石块的下落速度为：v= kk 再积分一次，得到山崖的高度： h= -e。 gg t+2 e-kt + c kk 代入初始条 件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式： h= gt+ g2 e-kt - g2 = g(t+ 1e-kt)- g2 kkkkkk 若设k=0.05并仍设t=4 秒，则可求得h73.6米。 进一步深入考虑，听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了反应时间，设平均反应 时间为0.1秒 ，假如仍设t=4秒，扣除反应时间后应为3.9秒，代入式，求得h69.9 米。 ìg ïq +q = 0 2. 解：íl解得: (t)=0cost î ïq(0)= 0,q(0)=q0 g 其中w = l 当t= Tg Tp 时，(t)=0，有= 4l 42 g 得T = 2pl 3. 解：dt时间内通过距离O点x处截面的热量为：-lAT'(x)dt dt时间内通过距离O点x+dx处截面的热量为：-lAT'(x+ dx)dt 由泰勒公式：-lAT'(x+ dx)dt » -lAT'(x)+T¢¢(x)dxdt 金属杆的微元x,x+dx在dt内由获得热量为：lAT¢¢(x)dxdt 同时，微元向空气散发出的热量为：aBdxT(x)-T3dt 系统处于热平衡状态，故有：lAT¢¢(x)dxdt = aBdxT(x)-T3dt 所以金属杆各处温度T(x)满足的微分方程:T¢¢(x)= aB(T-T3) lA 4.解：设甲胜一题的概率 为p，（0<p<1），p 与两队的实力有关。 甲队得分有5 种可能，即0，1，2，3，4。我们分别记为状态S0，S1，S2，S3，S4，其 中S0 和S4 是吸收状态，a1，a2 和a3 是非吸收状态。过程以S2 作为初始状态。根据 甲队赢得1 分的概率为 p，建立转移矩阵： 5.解：将第一行元素减去此行中的最小元素15，同样，第二行元素减去17，第三行元素 减去17，最后一行的元素减去16，得 é1 0 4 ê0 4 2 B1 = ê ê7 5 1 ê ë1 3 6 再将第3 列元素各减去1，得 ëêûú 以B2 为系数矩阵的指派问题有最优指派 æ 1 ç è 2 7ù 1ú ú 0ú û 0ú 2 3 4ö 1 3 4÷ é 1 0*3 7ù ê0*4 11ú B2 = êú ê 75 0*0ú ê 13 5 0*ú ø 6.解：指派问题可以看成是两分图赋权匹配问题的实例。 用三个点表示酋长的三个女儿，将它们放在一边。再用三个点表示求婚者，将它们放在 另一边。在有可能结婚的两人之间画一条边，并在边上写上求婚者对这种结婚愿付出的 财礼数，得到图。上图是一个特殊的图，它的顶点可以分成两个子集，只有分属不同子 集的点才可能有边相连（但也可以无边），这样的图称为两分图。 容易看出，酋长要解的问题是在两分图中找出一个具有最大权 和的匹配， 由于两分图最大权匹配问题等价于指派问题，所以它是一个 P 问题。使用贪婪法求解，则有C 嫁y（28 头），去除C、y 及相 应边（一夫一妻）；再将B 嫁x（5 头），去除B、x 及相应边； 最后，A 只能嫁Z（1 头）。共得财礼34 头牛。事实上，酋长的 女儿只有六种嫁法（3！），比较所有方案，发现C 嫁x、A 嫁y、 B 嫁z 最好（y 几乎差不多同样喜欢C 和A，而z 则明显喜欢C 而不太喜欢A），可得财礼57 头牛。 7.解：由于未来的天气状态未知，但各种天气状况出现的概率已知，本例是一个风险型决 策问题，所谓的额外费用应理解为期望值。 根据题意，作决策树如图： 在决策树上由右向左计算各机会节点处的期望值，并将结果标在节点旁。遇到决策点则 比较各方案分枝的效益期望值以决定方案的优劣，并且用双线划去淘汰掉的方案分枝， 在决策点旁标上最佳方案的效益期望值，计算步骤如下： （1）在机会节点E、F 处计算它们的效益期望值 E(E) = 0.5×（24000）0.3×（18000）0.2×（12000）=19800 E(F) = 0.7×（54000）0.2×（46000）0.1×（38000）=50800 （2）在第一级决策点C、D 处进行比较，在C 点处划去正常速度分枝，在D 处划去应 急分枝。 （3）计算第二级机会节点B 处的效益期望值 E(B) = 0.4×00.5×（19800）0.1×（50000）=14900 并将14900 标在B 点旁 在第二级决策点A 处进行方案比较，划去提前紧急加班，将14900 标在A 点旁。 结论：最佳决策为前 15 天按正常速度施工，15 天后按实际出现的天气状况再作决定。 如出现阴雨天气，仍维持正常速度施工；如出现小风暴，则采取应急措施；如出现大风 暴，也按正常速度施工，整个方案总损失的期望值为14900 元。 8.解：在未知任何信息的情况下，此人在各排的概率可以认为是相等的，他坐在各座号上 的概率也可以认为是相等的，故 （i）“某人在第十排”包含的信息量为 -log2 1 = 5（比特） 32 （ii）“某人在第15 座”包含的信息量为 1 » 5.32（比特） 40 -log2 （iii）“某人在第十排第15 座”包含的信息量为 80 -log2 121 =10.32（比特）