2022年电大离散数学图论部分期末复习辅导 .docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 离散数学图论部分期末复习辅导一、单项挑选题1设图 G<V, E>, v V,就以下结论成立的是 Adegv=2 E Bdegv= ECdeg 2 | E Ddeg | E |v V v V解 依据 握手定理 （图中全部结点的度数之和等于边数的两倍）知,答案 C 成立；答 C 2设无向图 G 的邻接矩阵为01100,10011100000100101010就 G 的边数为 A6 B 5 C4 D3 解 由邻接矩阵的定义知,无向图的邻接矩阵是对称的即当结点 vi 与 vj 相邻时,结点 vj 与 vi 也相邻,所以连接结点 vi 与 vj 的一条边在邻接矩阵的第 i 行第 j 列处和第 j行第 i 列处各有一个 1,题中给出的邻接矩阵中共有 答 B 3已知无向图 G 的邻接矩阵为01011,10001000111010111110就 G 有（）A5点, 8 边 B6 点,7 边C6点, 8 边 D5 点, 7 边10 个 1,故有 10 2=5条边；解 由邻接矩阵的定义知,矩阵是5 阶方阵,所以图 G 有 5 个结点,矩阵元素有14 个1 / 16 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1,14÷ 2=7,图 G 有 7 条边；答 D 4如图一所示,以下说法正确选项a b e c d A a, e 是割边图一B a, e 是边割集C a, e ,b, c 是边割集Dd, e是边割集定义 3.2.9 设无向图 G=<V,E>为连通图,如有边集E1 E,使图 G 删除了 E1 的全部边后,所得的子图是不连通图,而删除了 E1 的任何真子集后,所得的子图仍是连通图,就称 E1 是 G 的一个边割集如边割集为单元集 e ,就称边 e 为割边（或桥）解 割边第一是一条边,由于答案 A 中的是边集,不行能是割边,因此答案 A 是错误的删除答案 B 或 C 中的边后,得到的图是仍是连通图,因此答案 B、C 也是错误的在图一中,删去 d, e边,图就不连通了,所以答案 D 正确答 D 注： 假如该题只给出图的结点和边,没有图示,大家也应当会做如：如图 G=<V, E>,其中 V= a, b, c,d, e ,E= a, b, a,c , a, e , b,c , b, e , c, e , e,d ,就该图中的割边是什么？5图 G 如图二所示,以下说法正确选项 b Aa是割点Bb, c是点割集C b, d 是点割集a c d 图二Dc 是点割集定义 3.2.7 设无向图 G=<V,E>为连通图,如有点集V1 V,使图 G 删除了 V1 的全部结点后,所得的子图是不连通图,而删除了 V1 的任何真子集后,所得的子图仍是连通2 / 16 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 图,就称 V1 是 G 的一个 点割集 如点割集为单元集 v ,就称结点 v 为割点解 在图二中,删去结点a 或删去结点c 或删去结点 b 和 d 图仍是连通的,所以答案A、C、D 是错误的在图二中删除结点b 和 c,得到的子图是不连通图,而只删除结点 b 或结点 c,得到的子图仍旧是连通的,由定义可以知道, b,c 是点割集所以答案 B 是正确的答 B 6图 G 如图三所示,以下说法正确选项a b d c A a, d 是割边图三B a, d 是边割集Ca, d ,b, d是边割集D b, d 是边割集解 割边第一是一条边, a, d 是边集,不行能是割边在图三中,删除答案 B 或 D中的边后,得到的图是仍是连通图因此答案 a, d边和b, d边,图就不连通了,而只是删除 以答案 C 正确A、B、D 是错误的在图三中,删去 a, d边或 b, d边,图仍是连通的,所7设有向图（ a）、（ b）、（ c）与（ d）如图四所示,就以下结论成立的是 图四A（ a）是强连通的 B（b）是强连通的C（ c）是强连通的 D（d）是强连通的复习：定义 3.2.5 在简洁有向图中,如在任何结点偶对中,至少从一个结点到另一个结点可达的,就称图 G 是单向（侧）连通 的；如在任何结点偶对中,两结点对相互可达,就称图 3 / 16 G 是强连通 的；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如图 G 的底图,即在图G 中略去边的方向,得到的无向图是连通的,就称图G 是弱连通 的明显,强连通的肯定是单向连通和弱连通的,单向连通的肯定是弱连通,但其逆均不真定理 3.2.1 一个有向图是强连通的,当且仅当 一次G 中有一个回路,其至少包含每个结点单侧连通图判别法： 如有向图 G 中存在一条经过每个结点至少一次的路,就 G 是单 侧连通的；答 A（有一条经过每个结点的回路）问： 上面的图中,哪个仅为弱连通的？答： 图d是仅为弱连通的 请大家要复习“ 弱连通” 的概念8设完全图 K n 有 n 个结点 n 2,m 条边,当（Am为奇数 Bn 为偶数 Cn 为奇数 Dm 为偶数）时, K n 中存在欧拉回路解 完全图 K n 每个结点都是 n 1 度的,由 定理 4.1.1 的推论 知 K n 中存在欧拉回路的条件是 n 1 是偶数,从而 n 为奇数；答 C 提示： 前面提到 n 阶无向完全图Kn的每个结点的度数是n- 1,现在要问 ：无向完全图 Kn的边数是多少？答： nn 1/2 9如 G 是一个汉密尔顿图,就 G 肯定是 A平面图 B对偶图C欧拉图 D连通图定义 4.2.1 给定图 G,如存在一条路经过图G的每个结点一次且仅一次,就该路称为汉密尔顿路；如存在一条回路经过图 G的每个结点一次且仅一次,就该回路称为汉密尔顿回路；4 / 16 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图由定义可知,汉密尔顿图是连通图答 D 10如 G 是一个欧拉图,就 G 肯定是 A平面图 B汉密尔顿图C连通图 D对偶图定义 4.1.1 给定无孤立结点图G,如存在一条路经过图G 的每条边一次且仅一次,就该路称为 欧拉路 （即,欧拉路中没有重复的边,并且包含了图中的每条边）如存在一条回路经过图 G 的每条边一次且仅一次,就该回路称为 欧拉回路 具有欧拉回路的图就称为 欧拉图 由定义可知,欧拉图是连通图答 C 11设 G 是连通平面图,有 Aev2 Bve2 Cev2 Dev2 v个结点, e 条边, r 个面,就 r= 答 A（定理 4.3.2：欧拉公式 v e r 2）问： 假如连通平面图 G 有 4 个结点, 7 条边,那么图 G 有几个面？12无向树 T 有 8 个结点,就 T 的边数为 A6 B7 C8 D9 答 B 13无向简洁图 G 是棵树,当且仅当 AG 连通且边数比结点数少 1 BG 连通且结点数比边数少 1 CG 的边数比结点数少 1 DG 中没有回路答 A（定理 5.1.1（树的等价定义）14已知一棵无向树 T 中有 8 个顶点, 4 度、3 度、 2 度的分支点各一个, T 的树叶数 为 5 / 16 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - A8 B5 C4 D3 解 这棵无向树 T 有 7 条边,全部结点的度数之和为14,而 4度、 3 度、 2 度的分支点各一个共 3 个结点占用了9 度,所以剩下的5 个结点占用 5 度,即这 5 个结点每个都是 1 度结点,故有 5 片树叶答 B 15设 G 是有 n 个结点, m 条边的连通图,必需删去 棵生成树Amn1B mn1mn1mCDnG 的 条边,才能确定 G 的一答 A（n 个结点的连通图的生成树有n1条边,必需删去mn1条边）16设无向图 G 的邻接矩阵为01111,10011100001100111010就 G 的边数为 A1 B6 C7D14 答 C 17如图二（下图）所示,以下说法正确选项 Ae是割点 B a,e 是点割集C b, e 是点割集 D d是点割集图二答 A 6 / 16 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 18设有向图（ a）、（ b）、（ c）与（ d）如图六（下图）所示,就以下结论成立的 是 图六A（ a）只是弱连通的 B（b）只是弱连通的C（ c）只是弱连通的 D（ d）只是弱连通的 答 D 19无向完全图 K4是（）A欧拉图 B汉密尔顿图 C非平面图 D树答 B 20以下 结论正确 的是 A无向完全图都是欧拉图 B有 n 个结点 n1 条边的无向图都是树 C无向完全图都是平面图 D树的每条边都是割边 答 D 二、填空题1已知图 G 中有 1 个 1 度结点, 2 个 2 度结点, 3 个 3 度结点, 4 个 4 度结点,就 G 的边数是解 设 G 有 x 条边,就由握手定理,1 12233442x ,x15答 15 2设给定图 G如右由图所示 ,就图 G 的点割集 是解 从图 G 中删除结点 f,得到的子图是不连通7 / 16 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 图,即结点集 f 是点割集；从图G 中删除结点c 和 e,得到的子图是不连通图,而只删除 c 或 e,得到的子图仍旧是连通的,所以结点集c, e 也是点割集而其他结点集都不满意点割集的定义的集合,所以应当填写： f 、 c, e 答f、c,e提示： 如 f 是图 G 的割点,就 f是图 G 的点割集,删除f 点后图 G 是连通吗？3设 G 是一个图,结点集合为 V,边集合为 E,就 G 的结点等于边数的两倍答 的度数之和4无向图 G 存在欧拉回路,当且仅当 G 连通且答 G 的结点度数都是偶数 （定理 4.1.1 的推论 ）5设 G= <V,E>是具有 n 个结点的简洁图,如在 于,就在 G 中存在一条汉密尔顿路答 n 1（定理 4.2.2 ）G 中每一对结点度数之和大于等6如图 G=<V ,E>中具有一条汉密尔顿回路,就对于结点集V 的每个非空子集S,在G 中删除 S 中的全部结点得到的连通分支数为 式为 答 W |S|（定理 4.2.1 ）W,就 S中结点数 |S|与 W 满意的关系7设完全图 K n 有 n 个结点 n 2,m 条边,当时, K n 中存在欧拉回路答 n 为奇数 （同一、 8 题）8结点数 v 与边数 e 满意关系的无向连通图就是树答 e v 1（定理 5.1.1（树的等价定义）9设图 G 是有 6个结点的连通图,结点的总度数为 变成树18,就可从 G 中删去条边后使之解 由握手定理（ 定理 3.1.1）知道图 G 有 18 2=9 条边,又由 定理 5.1.1 中给出的图8 / 16 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - T 为树的等价定义之一是“ 图 从而要删去 4 条边答 4T 连通且 e=v- 1” ,可以知道图 G 的生成树有 5 条边,10设正就 5 叉树的树叶数为 17,就分支数为 i =答 4（定理 5.2.1：m-1i=t-1）三、判定说明题 （判定以下各题,并说明理由）1假如图 G 是无向图,且其结点度数均为偶数,就图 解 错误G 存在一条欧拉回路只有当 G 是连通图且其结点度数均为偶数时,图 G 才存在一条欧拉回路2如下图所示的图 G 存在一条欧拉回路解 错误由于图 G 有两个奇数度（ 3 度）结点,所以不存在欧拉回路注： 这是一个汉密尔顿图,但不是欧拉图；可见汉密尔顿图不肯定是欧拉图其实,欧拉图也不肯定是汉密尔顿图如下图所示,图（1）是欧拉图又是汉密尔顿图,图（2）是欧拉图但不是汉密尔顿图,图（ 3）不是欧拉图但它是汉密尔顿图,图（图；9 / 16 4）不是欧拉图也不是汉密尔顿名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3如下图所示的图 G 不是欧拉图而是汉密尔顿图图 G 解 正确图 G 有 4 个 3 度结点 a,b,d,f,所以图G 不是欧拉图图G 有汉密尔顿回路abefgdca,所以图 G 是汉密尔顿图4设 G 是一个有 7 个结点 16条边的连通 简洁 图,就 G 为平面图解 错误由定理 4.3.3 知,如 G 有 v 个结点 e 条边,且 v 3,就 e3v 6但此题中, 163×7 6 不成立5设 G 是一个连通平面图,且有 解 正确6 个结点 11条边,就 G 有 7 个面由欧拉定理,连通平面图G 的结点数为v,边数为 e,面数为 r,就 v e+r=2于是有 r=2 v+e=2 6+11=7问：“ 完全图 K6 是平面图” 是否正确？答 不正确由于完全图 K6 有 6 个结点 15条边,且 15 3 6- 6=12,即 e 3v-6 对 K6不成立,所以K6不是平面图10 / 16 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四、运算题 1设 G=<V,E>,V= v1,v2, v3,v4, v5 , E= v1,v3,v2,v3, v2,v4, v3,v4,v3,v5,v4,v5 ,试 1 给出 G 的图形表示； 2 写出其邻接矩阵；3 求出每个结点的度数； 4 画出其补图的图形解 （1）G 的图形为：（2）图 G 的邻接矩阵为：A0010000110110110110100110（3）图 G 的每个结点的度数为：deg 11,deg 22,deg 34,deg 43,deg 52（4）由关于补图的 定义 3.1.9 可知,先在图 G 补充边画出完全图（见下面左图）,然 后去掉原图的边,可得图 G 补图（见下面右图）：11 / 16 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 留意 ：补 图中,假如没有标出结点 v3,就是错的 2图 G=<V, E>,其中 V= a, b, c,d,e ,E= a, b, a, c, a, e, b, d,b, e, c, e, c, d, d, e ,对应边的权值依次为（1）画出 G 的图形；（2）写出 G 的邻接矩阵；2、1、2、3、6、1、4 及 5,试（3）求出 G 权最小的生成树及其权值解 （1）G 的图形如左下图：（2）G 的邻接矩阵为：A0110110011100110110111110（3）图 G 有 5 个结点,其生成树有 T：第 1 步,取具最小权 1 的边 a,c；4 条边,用 Kruskal 算法求其权最小的生成树第 2 步,取剩余边中具最小权1 的边 c,e；2 的边 a,b；第 3 步,取剩余边中不与前2 条边构成回路的具最小权12 / 16 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第 4 步,取剩余边中不与前 3 条边构成回路的具最小权 3 的边 b,d所求最小生成树 T 如下图,其权为 W T 1 1 2 3 7留意 ：在用避圈法求最小的生成树的关键是：“ 取图中权数最小的边,且与前面取到的边不构成圈” ,许多同学只留意到取权数最小的边了,而忽视了“ 不构成圈” 的要求；假如题目给出如解 1 中所示赋权图,要求用 最小生成树,大家应当会吧3已知带权图 G 如右图所示1 求图 G 的最小生成树；2运算该生成树的权值Kruskal 算法（避圈法）求出该赋权图的解 （1）图 G 有 6 个结点,其生成树有 5 条边,用 Kruskal 算法求其权最小的生成树 T：第 1 步,取具最小权 1 的边；第 2 步,取剩余边中具最小权2 的边；3 的边；第 3 步,取剩余边中不与前2 条边构成回路的具最小权第 4 步,取剩余边中不与前3 条边构成回路的具最小权5 的边；第 5 步,取剩余边中不与前4 条边构成回路的具最小权 7的边所求最小生成树 T 如右图（2）该最小生成树的权为W T 123571813 / 16 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4设有一组权为 2,3,5,7,17,31,试画出相应的最优二叉树,运算该最优二叉树的权解 （Huffman 算法）：第一组合 2+3,求带权 5,5,7,17,31的最优二叉树；再组合 5+5,求带权 7, 10,17,31的最优二叉树；然后组合 7+10,求带权 17, 17,31的最优二叉树；连续组合 17+17,求带权 31, 34的最优二叉树；最终组合 31+34,得 65,这是树根所带的权；可从树根开头往下画,即得所求最优二叉树 T 如下图：所求最优二叉树 T 的权为：w T 235547317231 1131讲评 ：作业中最优二叉树往往都能画对了,但运算总权值时可能会把有些权的层数计算错了,导致总权值运算错误,大家肯定要细心；留意 ：这 4 个运算题的解题方法大家肯定要把握；补充： 教材第 101页例3给定如 图3.3.3所示有向图,其邻接矩阵以及邻接矩阵的乘积如下：14 / 16 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0100010100A3101000,A240220020000100010100A,A00001000100001000001020002020004000020002020000001000100001000001从上面的矩阵中可以得到一些结论,如：（1）从 A 2中第 1行第3列的为 1可知,结点 v1与v3之间有一条长度为 2的路；（2）从 A 3中第 1行第2列的为 2可知, v1与v2之间有 2条长度为 3的路；（3）从 A 4中第 2行第2列的为 4可知,在结点 v2有4条长度为 4的回路假如改成问题：试求：（1）图 G中结点 v1与v3之间长度为 2的路径条数； 1条（2）图 G中v1与v2之间长度为 3的路径条数； 2条（3）图 G中经过 v2的长度为 4的回路条数 4条15 / 16 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 五、证明题证明题同学一般都做不好,缘由是对证明题方法没有把握,也是对一些概念不清晰所造成的；因此,期望大家仔细学习教材和老师讲课中的证明方法,并通过作业逐步把握做证明题的方法；1设 G 是一个 n 阶无向简洁图, n 是大于等于 3 的奇数证明图 G 与它的补图 G 中的奇数度顶点个数相等证明 设 G V E,G V E就E是由 n 阶无向完全图 K 的边删去 E 所得到的所以对于任意结点 u V ,u 在 G 和 G 中的度数之和等于 u 在 K 中的度数由于 n 是大于等于 3 的奇数,从而 K 的每个结点都是偶数度的（n 1 2 度）,于是如u V 在 G 中是奇数度结点,就它在 G 中也是奇数度结点故图 G 与它的补图G 中的奇数度结点个数相等2设连通图 G 有 k 个奇数度的结点,证明在图G 中至少要添加k 条边才能使其成为 2欧拉图证明 由定理 3.1.2 知, k 必为偶数要使这 k 个奇数度结点变成偶数度结点,从而使图 G 变成欧拉图,可在每两个奇数度结点间添加一条边故在图 G 中至少要添k加2 条边才能使其成为欧拉图16 / 16 名师归纳总结 - 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