小数六年级教参（第一二单元）.pdf

第一单元分数乘法 各单元的教材说明和教学建议第一单元分数乘法 （一）教学目标 使学生理解分数乘法的意义是整数乘法意义的扩展；理解和掌握分数乘法的计算方法，会计算分数乘整数、分数、小数；能运用乘法运算律进行一些简便计算。 使学生经历分数乘法计算方法的探索过程，经历应用分数乘法解决简单实际问题的过程，进一步培养分析、比较、抽象、概括、归纳、类推的能力，发展初步的合情推理和演绎推理的能力。 使学生感受知识之间的内在联系，提高自主探索与合作交流的学习能力，建立学好数学的信心。（二）内容安排及其特点 教学内容和作用。考虑到“倒数的认识”与“分数除法”的关系更为紧密， 年修订时，把“倒数的认识”移至“分数除法”单元。本单元的内容包括分数乘法以及利用分数乘法解决实际问题。具体编排结构如下。 教师教学用书 数学 六年级上册本单元教材是在学生掌握了整数乘法、分数的意义和性质以及分数加、减法的计算等知识的基础上进行编排的。利用分数乘法的计算，不仅可以解决有关的实际问题，也是后面学习分数除法和百分数的重要基础。分数乘法的意义是在整数乘法的意义的基础上扩展而来的，可以分为两种情况。第一种，求几个相同分数相加之和是多少，这和求几个相同整数相加之和的意义是完全相同的，是整数乘法意义的延续。第二种，求一个数的几分之几是多少可以用乘法计算，这是整数乘法意义的扩展。例如，一个苹果重 ，求这个苹果的重多少和求半个（个）苹果重多少，意义是完全相同的，列式都是 。因此，求一个数的几分之几是多少，也就是求几分之几个单位“”是多少，只是我们一般更习惯于采用前一种表述。把这两种情况综合起来看，分数乘法的意义与整数乘法的意义在本质上是一致的，都是求几个相同数之和，这里的“几”既可以是整数，也可以是分数，“相同数”既可以是整数，也可以是分数。此外，学生以前学过“求一个数是另一个数的几倍”“求一个数的几倍是多少”等数量关系，知道“求一个数的几倍是多少”用乘法计算。这里的“几倍”可以是“整数倍” ，也可以是“小数倍” ，但一般是指倍数大于的情况。当一个量与另一个量的“倍数”小于时，一般就不说“几倍”而说成“几分之几” 。例如， “甲是乙的倍” ，我们一般就说“乙是甲的” ，而不说“乙是甲的倍” ，但二者的数量关系在本质上是一致的。所以，“求一个数的几分之几是多少”只是“求一个数的几倍是多少”的一种延伸而已。一个数乘分数与分数的意义是相通的，就是用更小的单位去度量。如，犮犫犪，就是把犮平均分成犪份，取其中的犫份。当犪时，就是整数乘法。小数和分数相乘，既可以把小数改写成分数后进行相乘，如果分数可以化成有限小数，也可以把分数化成小数再相乘。但对于一些特殊的小数，如果小数和分数的分母可以直接约分，可以采用更为简便的计算方法。这样的计算技能对学生来说是有必要掌握的，因此， 年教材修订时，把此类问题编入教材。整数四则混合运算的运算顺序和运算律，对分数同样适用。在这方面，教材的编排为学生提供了较大的自主探究、迁移类推的空间。与分数乘法相关的现实问题分为三类。第一类问题，数量关系是以前学过的，只是相关数据变成了分数，学生利用已有知识可以直接列式；第二类问题，数量关系是“求一个数的几分之几是多少” 。教材把这两类问题编排在理解分数乘法的意义和解决分数乘法计算的过程之中，避免了过多的重复。在此基础上，教材又编排了第三类问题：稍复杂的分数乘法问题，即连续求一个数的几分之几是多少的问题和求比一个数多（少）几分之几的数是多少的问题，这两类问题都是以“求一个数的几分之几是多少”为基础的，需要学生在解决问题的过程中明确，虽然问题的复杂度提升了，但基本的数量关系其实没有改变，只是“一个数的几分之几”中的“一个数”和“几分之几”根据情境不同而改变。第一单元分数乘法 教材编排特点。（）加强了分数乘法意义的教学。分数乘法的意义虽说只是整数乘法意义的扩展，但由于“求一个数的几分之几是多少”对学生来说是一种新的表述形式，学生理解起来尚有一定难度。因此，教材在修订时单独编排了例进行教学，使学生在已知数量关系的基础上理解求一个数的几分之几是多少为什么可以用乘法计算的原理。至此，把求几个相同分数相加之和、求一个数的几分之几是多少，都纳入到学生原有的乘法意义的认知体系。（）重视在实际情境中进行计算教学。注重在实际情境中教学计算问题，是本套教材的编写特点。教材中的例、例、例、例都是通过实际情境引出需要用分数乘法计算的问题，其中，例、例的数量关系是学生已经学过的数量关系，只是数据换成了分数而已，而例、例的数量关系是“求一个数的几分之几是多少” 。这样的编排不仅能帮助学生掌握分数与整数、分数、小数相乘的计算方法，更有助于学生深入理解分数乘法的意义，为后面解决稍复杂的分数乘法实际问题打下坚实的基础。（）加强直观教学，突破教学难点。对分数乘法计算方法的探索与理解，历来是教学的难点。因此，需要借助直观图示，帮助学生理解算理。如例，在例的基础上解决了列式的问题，接下来就是解决如何计算。为了突破教学难点，根据学生的思维特点，引导学生参与折纸、涂色等操作活动，借助直观，手脑并用，数形结合，使学生在理解分数乘法算理的基础上掌握算法。同时注意算理推导过程的叙述，在关键处加以提示，引导学生讨论交流计算方法，归纳总结计算法则。（）加强计算能力的培养。实验教材在“分数乘法”单元的例题和练习题中均未编排小数与分数相乘的计算， 年教材修订后加强了小数与分数相乘的内容，倡导算法多样化，根据分数和小数的数据特点，灵活选择合适的算法。通过比较，感悟简便计算方法，提高运算能力。例和例，在分数混合运算的基础上，把整数乘法运算律推广到分数乘法。尤其是例，通过比较两种计算长方形周长的方法，一方面巩固了多步计算的、带小括号的分数混合运算顺序，另一方面，为接下来学习把整数乘法运算律推广到分数乘法作铺垫。这样安排，既有助于巩固和提高分数混合运算的熟练程度，又为灵活运用运算律进行简便运算打下较好的基础，有利于全方位提高学生的运算能力。（）提高用分数乘法解决实际问题的能力。教材通过例和例，使学生理解了“求一个数的几分之几是多少”要用乘法计算，在例和例这两个例题中，对这一数量关系又有了更深的体会。而在学习了分数混合运算之后，再安排例和例，让学生解决稍复杂的实际问题。例是连续求一个数的几分之几是多少的问题，例是求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的问题。这两个例题中，都注重利用 教师教学用书 数学 六年级上册直观图示分析题目的数量关系，明确每一步计算时把谁看作单位“” ，帮助学生形成解决问题的策略。这样循序渐进地安排，既突出重点，又分散难点，可以使学生很好地经历问题解决的过程，掌握分析和解答的策略，养成回顾与反思问题解决过程的习惯。（三）教学建议 在已有知识的基础上，帮助学生自主构建新知识。标准（ 版）指出：“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础。 ”本单元内容与学生已有知识有着密切的联系，要充分利用学生已有的知识经验进行教学。例如，分数乘法的意义是整数乘法的扩展，因此，在让学生学习表示“几个相同分数相加”的分数乘法时，可以完全放手让学生根据已学的分数加法进行推导。再如，解决例、例等稍复杂的实际问题时，都要引导学生紧密联系例、例中所学的如何求一个数的几分之几是多少这一基本模型去思考，学会根据具体的情境确定谁是单位“” 。此外，分数乘法的计算，还要用到学过的约分等知识。所有这些内容，教师都应注意让学生在已有知识经验的基础上，自主建构新知识。 让学生在现实情境中学习计算。标准（ 版）指出：“教材所选择的学习素材应尽量与学生的生活现实、数学现实、其他学科现实相联系，应有利于加深学生对所要学习内容的数学理解。 ”教材在编排计算内容时，注意与现实情境有机结合。教学中，教师应结合教材提供的实例，尤其是练习中丰富的现实素材，也可以选择学生身边的事例，借助现实情境，引导学生提出数学问题，经历探索分数乘法计算的过程。 通过操作和直观图示帮助学生理解分数乘法的算理，掌握计算方法。分数乘法计算教学的重点是让学生理解算理，掌握计算方法。让学生记住分数乘法的计算法则并不困难，但让学生理解分数乘法的算理，尤其是分数乘分数的算理，是教学的难点。此时，就需要借助直观，引导学生通过观察、实验、操作、推理等探索性的活动，理解分数乘分数结果中的分母和分子分别是怎样来的。通过直观图示和抽象推理，一方面，可以帮助学生更好地理解算理，另一方面，使学生慢慢养成凡事求理、实事求是的数学科学态度。同时，在这一过程中，还可以提高学生的观察、操作、分析和推理等能力。 紧密联系分数乘法的意义，引导学生在理解数量关系的基础上正确列式。分数乘法的意义有两种不同的表述，其中“求一个数的几分之几是多少用乘法计算”对学生而言是全新的。在解决相关实际问题时，教师要引导学生找出两个相比较的量，分析两个量之间的数量关系，弄清哪个量是单位“” ，要求的量是单位“”的几分之几，再根据分数乘法的意义列式解答。这类基本问题的解题思路的理解和掌握，为学生解决稍复杂的实际问题奠定了基础，同时也为“分数除法”单元解决实际问题提供了直接支持。 有效运用画图策略，帮助学生分析和解决问题。标准（ 版）指出：“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。 ”画图既可以将学生对题意的理解加以外显，又可以将现第一单元分数乘法 实情境抽象为数学模型，帮助分析和解决问题。因此学生在问题解决的过程中，首先应明确题目中的信息和问题，并用图（表、符号或操作等）将题目中的信息和问题表示出来。如连续求一个数的几分之几是多少的问题和求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的问题，数量关系比较复杂，用线段图等方式可以比较清晰、直观地表示出数量之间的关系。教学时要有效运用画图策略，帮助学生理解题意，分析数量关系。可以先从会看示意图入手，逐步学会画图分析数量关系，不断提高学生分析问题和解决问题的能力。 教学时注意让学生感悟数学思想，积累数学活动经验。标准（ 版）指出：“引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验。 ”数学思想蕴含于数学知识的形成、发展和应用的全过程，是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括。教学时，要注意时时处处加以渗透。例如，在教学分数乘法的计算时，教师应注意渗透数形结合、归纳等数学思想方法；在用分数乘法解决实际问题的教学中，教师应注意渗透数形结合、对应等数学思想方法。此外，还应注意在教学中结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学知识的发生、发展过程，在“做”和“思考”的过程中逐步积累数学活动经验。例如，教学分数乘分数的计算时，引导学生经历动手、观察、分析和推理的过程，通过自主探索、独立思考与合作交流，使自身的数学活动经验日益丰富。 发挥主体作用，倡导多样化的学习方式。标准（ 版）指出： “认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。 ”无论是分数乘法计算的教学，还是利用分数乘法解决实际问题，都要发挥学生的主体作用，为学生提供充分开展数学活动的机会，在操作、观察的基础上开展探索、讨论与交流，分享多样化的计算方法和解决问题的策略，理解算理，归纳计算法则，分析数量关系，寻求问题解决的思路。 建议用 课时教学。 教师教学用书 数学 六年级上册（四）具体内容的教材分析和教学建议编写意图（）例直接利用整数乘法的意义来引入分数乘法，使学生理解几个相同分数相加和几个相同整数相加都可以用乘法计算。并通过将分数乘法转化为分数加法来探究分数乘法的算理，掌握计算方法。（）从吃蛋糕的实际问题引入，借助圆形直观图帮助学生理解题意，探究计算方法。这一直观图延续了三年级学习简单的分数加法时所用的直观图，有助于学生利用已学的知识自主探索。（）此例中的分数带单位，是一个“量” ，学生对于求几个相同量之和的数量关系非常熟悉。先呈现加法计算，然后直接根据整数乘法的意义列出两个乘法算式，说明在这种情况下整数乘法的意义同样适用。（）计算时，先将分数乘法转化为几个相同分数相加，使学生明白分母不变、分子相乘的道理。在此基础上总结分数乘整数的计算方法，并指出有时可以先约分再相乘的简便算法。（） “做一做”第题重点在理解题意，巩固分数乘法的意义。第题重点在灵活掌握计算方法。教学建议（）引导学生自主探索。几个相同分数相加，对学生而言，难度并不大，完全可以让学生利用已有知识，借助圆形直观图表示出题意，运用分数加法解决问题。在此基础上再指出这样的情形也可列成乘法算式。和整数乘法相同，在学习相关的计算法则之前，也可以根据乘法的意义，把分数乘法转化成分数加法，计算出结果。（）理解算理与掌握算法并重。学生在计算时，可能利用口算直接得出结果为。此时，教师要引导学生思考：分子的是怎么来的？使学生通过观察，深入理解分数乘整数的算理。再把中间过程省略，使学生看到，从而总结出分数乘整数的算法。（）学生完成“做一做”第题时，除了反馈计算结果，也可以让学生说一说自己是怎么计算的。第一单元分数乘法 编写意图（）例让学生利用已学的整数乘法的数量关系进行类推，列出分数乘法算式，结合具体情境，使学生理解“一个数乘几分之几可以表示求这个数的几分之几” 。这是“求一个数的几分之几是多少可以用这个数乘几分之几”的列式依据。（）教材呈现了三幅图，已知桶水的体积，分别要求桶水、桶水、桶水的体积。在这里，列式所依据的数量关系都是“水的总体积每桶水的体积桶数” ，只是桶数可以由整数扩展到分数。接下来，结合情境，说明求桶水、桶水的体积就是求 的和 的分别是多少。在此基础上，概括出“在这里，一个数乘几分之几表示的是求这个数的几分之几是多少” 。（）有了例的结论，要求“一个数的几分之几是多少”就有了列式的依据。 “做一做”安排了只列式不计算的题目对此加以巩固。教学建议（）运用迁移、类推，引导学生自主列出乘法算式。教学时，先从整数乘法引入，引导学生在根据第一图的图意列式时进行思考：你是根据什么列式的？使学生明确列式的依据是“单位量数量总量” 。有了这个数量关系，如果把单位量换成分数，是什么情形？（即例中几个相同分数相加的情况）如果把数量换成分数，是否同样成立？引导学生根据整数乘法的数量关系列出分数乘法的算式。（）在量率转换中实现融会贯通。根据“每桶水 ，桶水重（ ）” ，再结合直观图，可以看到桶水就是半桶水，即 水的一半，用分数的语言，就是 的。至此，“ 可以表示 的”的教学难点就解决了。另一方面，结合情境可以看到，“ 的”和“个 ”含义相同，只是表述方式不同而已。这样，就能把分数乘法的意义与整数乘法的意义统一起来。 教师教学用书 数学 六年级上册编写意图（）例是在学生会利用“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”列式之后，学习分数乘分数的计算方法。（）教材利用两个小题，由简单到复杂，结合直观操作，使学生在探索和理解分数乘分数算理的基础上，一步一步总结出分数乘分数的计算方法，渗透数形结合的数学思想，培养学生的逻辑推理能力。（）要理解分数乘分数的算理，其根本在于分数意义的理解。在这里，有些分数是带单位的“量” ，有些分数是不带单位的“率” ，事实上， “量”与“率”也是可以互相转化的。例如，公顷，实际上就是公顷的；公顷的，就是公顷的 ，即 公顷。（） “做一做”第题，根据题意列出的算式是整数乘分数。因为整数可以看成分母是的分数，所以，分数与整数相乘只是分数与分数相乘的一个特例。教学建议（）充分利用直观图，帮助学生理解算理。理解分数乘分数的算理是例的教学重点，也是教学难点。要充分发挥直观图的特点，使学生联系分数的意义，看到算式中的每一部分在图上是如何表示的。教材上的直观图示只是其中的一种，教学时还可引导学生用其他的方式表示，比如先竖向平分，再横向平分。（）抓住数学本质，突出单位“” 。要使学生深入地理解分数乘分数的算理，首先需要学生对分数的意义有深入的理解。教学时，要让学生认识到，说清楚“谁是谁的几分之几”是极其重要的。在计算的过程中，要明确某个分数是相对于哪两个量之间的关系而言的。要表示出公顷的，是以公顷为单位“” ，把它平均分成份，取其中的份。为了便于理解算理，把几分之几乘几分之几转化成乘几分之几。所以把公顷作为单位“” ，把公顷的转化为公顷的 。让学生经历这样的说理过程，不只是为了归纳、总结分数乘分数的算法，更是为将来解决复杂一些的实际问题提供分析的方法。第一单元分数乘法 编写意图（）例是学习分数乘法的简便方法。学生在前面对于分数乘法的意义和算理有了深刻的理解后，教学重点转入寻求便捷的算法。（）在设计情境时，教材特意把两个小题设计成需要运用分数乘法意义的两种不同形式进行列式的情形，旨在进一步巩固分数乘法的意义。其中，第（）小题是“求一个数的几分之几” ，第（）小题既可以根据“速度时间路程”列式，也可以根据“几个相同分数相加”列式。（）在数据处理上，本例中既包含分数与分数相乘，又包含分数与整数相乘。学生可以通过此例，进一步掌握分数乘法的一般性算法。（）通过乌贼游泳的情境引入，便于学生了解乌贼游泳速度的生物学知识，实现数学与其他学科知识的融合。（）“做一做”中既有几个相同分数相加的情形，也有求一个数的几分之几是多少的情形，既有分数与整数相乘，又有分数与分数相乘，还与例题配套，编排了生物科学的相关情境。教学建议（）引导学生自主学习。由于学生在前几个例题的学习中，对分数乘法的意义和算理、算法已经基本掌握，可以让学生自主分析数量关系，列式计算。如果学生出现列式困难的情况，可以引导学生适当借助线段图等直观手段帮助理解数量关系。例如，李叔叔的游泳速度是乌贼的 ，是把李叔叔的游泳速度和乌贼的游泳速度相比，“乌贼的游泳速度”是单位“” ，李叔叔每分钟游的千米数就是 的 。（）引导学生通过比较、交流，自觉采用简便约分的方法。有了例的铺垫，有的学生在计算 时，会主动采取先约分再相乘的方法。但有的学生也可能是先分别乘出分子、分母再约分。此时，教师可以引导学生比较、交流，看看哪种方法更简便，并思考为什么可以这样约分。在计算 时，让学生观察教材上的约分过程，想一想：与例的约分形式有什么不同？第（）题是不是也可以用这样的方式约分？ 教师教学用书 数学 六年级上册编写意图（）第题至第题，要求学生根据分数乘法的意义列式解答。其中，第、题都是求“几个相同分数相加是多少”的类型，第题要求学生根据“一个数的几分之几”的数量关系列式计算，第题，可以利用“单位量数量总量”列式，也可以想成要求的是“个 是多少”或“ 的是多少” 。（）第、题是巩固分数乘法计算方法的习题。第题呈现了学生平时做题容易犯的错误，提醒学生学会正确约分，掌握分数乘法的正确计算方法，提高计算技能。教学建议（）在练习中注重巩固分数乘法的意义。分数乘法的意义是这部分内容的教学重点，是学生在现实情境中正确分析数量关系并列式计算的基础，因此，教学时要时时扣住这一点。例如，第题，要引导学生说出要求的是“个勺是多少” ，第题，要求的是 个 、 个 分别是多少，第题，通过不同的表述，使学生认识到两种不同的表述方式表示的意思是完全相同的。（）关注错误，提高计算技能。由于学生是第一次接触分数乘法，容易受到分数加、减法方法迁移的影响，计算时会出现各种错误。教学时可以结合第题以及学生作业中所犯的错误，让学生讨论交流，说一说错在哪里。对于可以先约分再计算的题目，要引导学生养成先观察再计算的习惯，一方面可以使计算更便捷；另一方面也可以大大降低计算错误的可能性。第一单元分数乘法 编写意图（）第题至第 题都是让学生利用分数乘法的意义，解决求一个数的几分之几是多少的实际问题。这类问题是后面学习解决更复杂的分数乘法问题以及解决分数除法问题的基础。（）这些实际问题中涉及了故宫博物院面积、生物多样性、天文知识、废纸回收、书包超重等题材，体现了把数学知识与其他学科知识融合起来的编排思想。（）第 题第（）小题给出了三个数据，让学生判断李明的书包是否超重，要求学生学会选择正确的数据信息。第（）小题是让学生解决自己生活中的实际问题，一方面体现了数学的实际应用价值，让学生体验到数学学习的乐趣；另一方面也通过这样的素材提醒教师、学生、家长更加关注孩子的身心健康。教学建议（）抓住数量关系，鼓励学生独立解决。学生对“求一个数的几分之几是多少用乘法计算”已经有了很多经验。练习时，应放手让学生独立解决。解题过程中应明确是哪两个量相比，把谁看作单位“” 。如果直接列式有困难，可以先用线段图表示出数量关系，根据线段图说说解决问题的思路，再根据分数乘法的意义列式解答。（）允许学生有不同的思考角度。例如，第题，如果学生从分数的意义理解，指出根据建筑面积占总面积的 ，可以把总面积平均分成 份，取其中的份，所以列式为 ，也是允许的。（）注意结合习题渗透其他学科知识，进行全方位的思想品德教育。在练习的过程中，要结合题中的素材向学生介绍生物多样性、星球运行速度、再生纸等概念，使学生了解到数学与现实生活息息相关，更重要的是向学生渗透环保教育、健康教育、科学教育，充分挖掘这些习题的教育功能。 教师教学用书 数学 六年级上册编写意图（）例是教学分数与小数相乘的计算问题。分、小数混合运算是在日常生活中以及未来的数学与其他学科的学习中经常会遇到的情形，因此，根据分、小数的数据特点灵活选择计算策略，也是学生应该具备的一项技能。为此，教材在修订时增加了这部分内容。（）分数和小数相乘，可把分数化成小数相乘（如果分数可以化成有限小数） ，也可把小数化成分数相乘。不管哪种方法，都是学生已学的知识，可以让学生自行解决。而当小数与分数的分母存在某种倍数关系时，可以直接“约分” 。这种约分虽然与以前学过的约分形式不同，但实质都是除以一个相同的数。（） “做一做”中第、小题，如果学生口算能力较强，把小数和分子直接相乘得到一个整数，如、 ，也是一种很好的方法。但在小学阶段，最终结果不允许分子、分母出现小数的情形，如第小题的结果为 。教学建议（）引导学生自主解决问题。本例中的数量关系是学生熟悉的，要引导学生自主列式，并鼓励学生用自己喜欢的方法计算。对不同解法进行结果的比较，发现不管是把分数化成小数还是把小数化成分数，结果都是相等的，只是形式不同而已。同时也要引导学生具体情况具体分析，例如，如果分数不能化成有限小数，就不适于把分数化成小数。第（）题，也可以让学生先用第（）题的方法自行解决。（）使学生掌握简便算法，灵活计算。在学生自行解决了第（）题问题的基础上，再引导学生观察小数和分数分母之间的关系，并思考：如果把 换成 ，可以怎样更简便地计算？ 和是如何约分的？（同时除以） ，如果把 和同时除以是否也是可以的呢？看看结果和刚才算的是否一致。也可以用下面的方式使学生明白简便算法背后的数学原理： 。并提醒学生可以根据数据特点灵活计算。第一单元分数乘法 编写意图（）例从“做一个长方形画框需要多长的木条”的实际问题引入，利用长方形画框的周长计算引出分数混合运算。鼓励学生用不同的方法（除了教材上的两种方法，还有可能用四条边相加的）计算，很自然地呈现各种形式的算式，有两级运算的，有带小括号的。教材直接说明分数混合运算的顺序和整数混合运算顺序相同，让学生自主解决。（）例特意用两道有关联的算式教学分数混合运算的顺序，为接下来正式教学把整数乘法运算律推广到分数乘法作了很好的铺垫。在此基础上，再通过观察、计算，归纳得出“整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也适用”的结论。（）例结合具体计算，说明应用乘法运算律可以使分数混合运算更加简便。（）“做一做”中第题中的和第题的连乘算式，既可以运用乘法运算律进行简便计算，也可以直接约分。教学建议（）充分利用学生已学知识进行迁移。混合运算的顺序和乘法运算律都是学生熟悉的内容，把整数换成分数，依然成立。解决例“做这个画框需要多长的木条”这一问题时，应鼓励学生用不同的方法列式。教师可以引导学生把分数混合运算与整数的进行类比，把整数混合运算的顺序迁移过来，放手让学生自己完成任务。（）培养学生初步的猜测、验证的能力。在学生解决了例的问题的基础上，让学生比较两个算式的特点，看看是否符合乘法分配律。由此引导学生对整数乘法运算律是否适用于分数乘法进行类比猜想，再经过教材上几组算式的比较与计算，验证猜想。（虽然小学阶段只能采用这种不太严密的归纳方法，但对于学生推理能力的培养还是很有益处的。 ）（）提高学生灵活计算的能力。至此，学生已经把这一单元所有的计算问题都解决了。教学时要提醒学生在动笔计算之前先养成观察的习惯，看看式题中的数据有什么特点，再决定选择何种策略。教师要有意识地呈现学生的多样化算法，进行交流、比较，引导学生采用便捷的算法，这是提高学生运算能力的重要途径。 教师教学用书 数学 六年级上册编写意图（）第至题是关于分数与小数相乘的练习。其中，第、题，结合现实素材，进一步巩固“求一个数的几分之几是多少”的数量关系。第题呈现的条件有多余，是求 的是多少，还是求 的是多少，应引导学生找到相对应的量，排除无关信息的干扰，学会正确选择有效的信息解决问题。（）第、题是关于分数混合运算的练习。第题，通过判断和改错，使学生进一步明确分数四则混合运算的顺序。尤其像第小题的情形，数据的特点很容易让学生朝着“容易计算”的错误方向去计算，需要学生对运算顺序有牢固的掌握。（）第至题是用分数混合运算解决实际问题。第题，由于学生只学过底高和（上底下底）高的面积计算形式，通过教师的引导，学生可以掌握三角形面积和梯形面积计算公式的另一种形式。教学建议（）结合现实情境，继续巩固分数乘法的意义，进一步掌握分数乘法的数量关系。第、 、 题，都涉及求一个数的几分之几是多少，这些题中的分数都是“率”的概念，要引导学生找到相比较的两个量，弄清哪个量是单位“” ，要求的量是单位“”的几分之几，再根据分数乘法的意义列式解答。第、 题，都是求几个相同分数之和的问题，这些题中的分数是具体的量，要引导学生说出单位量是多少，有几个这样的单位量。（）注意培养学生灵活计算的能力。在进行分数和整数、分数、小数相乘以及分数混合运算的过程中，要引导学生在动笔计算之前养成先观察算式，再根据数据特点选择合适算法的习惯。例如，能直接约分的先约分再计算，能运用运算律进行简便计算的要尽量简便计算。值得一提的是，第题中在计算三角形和梯形面积时，由于学生还没有学习分数除法，对于和（ ）的计算可能有困难。因此，教师可以借此机会，根据三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半，梯形的面积是与它高第一单元分数乘法 编写意图（）第 、 题是乘法运算律的巩固练习。练习的重点是运算律的灵活运用，如第 题的第小题，要求学生能够对乘法分配律进行“双向”的应用，第 题的第、小题，既可以运用乘法的交换律和结合律使计算简便，也可以直接约分。（）第 至 题是利用分数乘法解决实际问题。第 题，涉及分数的数量关系是“几个相同分数相加的和是多少” 。第 题，涉及分数的数量关系是“求一个数的几分之几是多少” 。这两道题都是连乘问题，解决问题的角度都是可以多样化的，通过不同解题思路的交流，可以培养学生多方位思考问题的习惯。教学建议相等、底是上、下底之和的平行四边形面积的一半，推导出这两种图形面积计算公式的另一种形式：底高、（上底下底）高。（）鼓励学生用多种方法解决问题。对同一个问题，学生思考的角度不同，解决的方法也会不同。教学时，要鼓励学生从不同角度思考，采用不同方法尝试解决，引导学生说出算式背后的解题思路，并互相交流。例如，第题， 表示先分别求出两人分别用了多少张纸，再相加；（ ）表示先求出两人一共剪了多少朵花，再求这些花一共用多少张纸。再如，第 题，可以先求出每箱糖果多少千克，再求箱一共多少千克，也可以先求出箱共有多少袋糖果，再求这些糖果一共多少千克。（）引导学生列综合算式解决问题。第、 、 、 题，既可以分步解决，也可以列综合算式。但教师也应有意识地引导学生学会用综合算式表示解决问题的多个步骤，这对于学生将来用代数式表示解决问题的步骤是非常重要的。 教师教学用书 数学 六年级上册编写意图（）例是让学生在会解决求一个数的几分之几是多少的基础上，解决连续求一个数的几分之几是多少的实际问题。在这里，由于研究的是三个量之间的关系，在描述其中某两个量的数量关系时，单位“”是在动态变化的。（）教材按“阅读与理解”“分析与解答”和“回顾与反思”呈现解决问题的一般步骤。到了高年级，随着问题复杂度提高，对于信息的搜集、题意的理解以及整个问题解答过程以及结果合理性的回顾与讨论，显得越来越重要。（）在“分析与解答”环节，一方面，通过折纸或画图等操作活动，借助直观图形帮助学生理解题中的数量关系，体会画图是分析问题、解决问题的重要策略；另一方面，倡导解决问题方法的多样化。既可以先求出萝卜地的面积，再求出红萝卜地的面积；也可以先求出红萝卜地占大棚面积的几分之几，再求出红萝卜地的面积。不同解题思路的呈现，可以提高学生思维的灵活性和发散性。教学建议（）引导学生经历问题解决的全过程。教学时，要让学生经历理解题意、分析解答、回顾反思的全过程。题中给出的信息形式多样，比如“一半种萝卜” ，虽没有数据，但却是不可缺少的解题信息。解完题后，更是要提醒学生养成反思、检验的习惯。（）借助直观图，厘清数量关系。在明确题意后，可以引导学生折纸或画图，借助直观图形分析数量关系。要让学生说清楚题中的已知信息中描述的分别是哪两个量之间的关系，是什么样的关系，谁是单位“” 。例如，“一半种各种萝卜” ，描述的是萝卜地和整个大棚面积的关系，萝卜地的面积是大棚面积的。又知道了红萝卜地面积和整块萝卜地的关系，要求红萝卜地的面积是多少，很自然地想到要先求出萝卜地的面积。（）鼓励学生用多种方法解决问题。学生解题的方法可以多样化。例如，解决问题时既可以分步解决，也可以列综合算式。再如，求萝卜地的面积还可用 计算。如果学生不能想到第二种思路，教师可以提醒学生借助直观图思考：红萝卜地和整个大棚面积之间是什么样的关系？怎样求出这个关系？第一单元分数乘法 编写意图（）例的“回顾与反思”让学生自己完成。检验的角度很多，比如，看看直观图画得是否符合题意，看看列式是否符合图意，看看计算是否正确。检验的方法也是多样化的。例如，可以看到萝卜地的面积是红萝卜地的倍，而大棚面积是萝卜地的倍。用红萝卜地的 乘，得到萝卜地是 ，再乘，是 ，与题中的信息相符。也可以看看红萝卜地的面积是否占整块萝卜地的。（）例是让学生解决求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的问题。虽然还是研究两个量间的关系，但由于没有直接给出“一个量是另一个量的几分之几” ，需要先求出一个量比另一个量多（或少）的具体数量或者先求出一个量是另一个量的几分之几。（）教材通过线段图直观地表示出“婴儿每分钟心跳的次数比青少年多”的意思，对于学生理解题意、选择解决方法起到了关键性的作用。教学建议（）引导学生理解关键性数量关系。要抓住“婴儿每分钟心跳的次数比青少年多”这个表示婴儿和青年少年每分钟心跳次数关系的关键信息，组织学生厘清数量关系：婴儿每分钟心跳的次数比青少年多，多的部分是青少年每分钟心跳的。（）借助线段图，使学生直观地看到两个量之间的数量关系。学生理解了题意之后，可以试着画线段图来表示两个量的关系。由于这两个量之间不是部分和整体的关系，所以用两条线段分别表示更清楚些。首先知道了婴儿每分钟心跳次数比青少年更多一些。多多少呢？多的是青少年每分钟心跳次数的，这是以“青少年每分钟心跳次数”为单位“”的。把青少年每分钟心跳次数平均分成份，婴儿要多这样的份。这样的直观表征方式，可以很清楚地看到两个量之间的关系，为列式解答提供了很好的基础。 教师教学用书 数学 六年级上册编写意图（）例的解答过程也体现了多样化的解题策略。可以先计算婴儿每分钟心跳比青少年多多少次，这就需要先解决“ 次的是多少次”的问题。还可以先求出婴儿每分钟心跳次数是青少年的几分之几，这就需要先解决“比一个数多的数是这个数的几分之几”的问题。（） “回顾与反思”部分，使学生通过回顾解题的过程，充分认识到画线段图这一策略对于解决问题的重要作用。同时，列举了一种检验结果的方法，引导学生用不同的方法加以检验。（）例解决的是“求比一个数多几分之几的数是多少” ，“做一做”安排了一个“求比一个数少几分之几的数是多少” ，让学生进行迁移类推。还可利用这一素材进行环境保护的教育。（） “你知道吗”通过介绍与本单元知识密切相关的数学文化，使学生初步感受其中蕴含的数学思想，如极限的思想。这一内容也是例这一类问题的进一步延伸，可以作为例的拓展性教学内容。教学建议（）引导学生尝试多样化解题策略。学生在理解题意的基础上，尝试画出线段图以后，教师要引导学生从不同的角度思考问题，在列式之前，把先解决什么，再解决什么的思路整理清楚。要让学生学会描述每个列式背后的数量关系，并能互相交流。对于思维综合性尚有欠缺的学生，也要允许他们采用分步的方法解答，通过一定的练习，再慢慢列出综合算式。甚至，还有学生根据线段图列出 （）的算式，只要解决问题的方法合理，都是值得鼓励的。（）要引导学生通过比较、总结，掌握解决此类问题的一般性策略。学生通过解决例、例以及相应的“做一做” ，发现画图是解决问题的一个有效策略。当数量关系比较抽象、复杂时，画图可以更直观和清晰地表示出这种数量关系。掌握了这一策略，学生在解决更复杂的新问题时也能从容应对了。例如，“你知道吗” ，学生可以通过画图清楚地看到每一天取的木棒长度是如何变化的。此外，要引导学生发现，解决这些复杂问题的根本是牢固掌握“求一个数的几分之几是多少”的数量关系，只是要弄清“一个数”和“几分之几”在不同情境下的不同含义。第一单元分数乘法 编写意图（）第至题是配合例的习题。教材选择了血液在不同血管里的流动速度、动物的寿命、花的花期等素材来作为载体，旨在让学生在解决数学问题的过程中了解其他学科的相关知识。（）第至题是配合例的习题。同样，教材选择了昆虫振动翅膀次数、动物的孵化期、列车速度等现实的素材，使学生了解数学的广泛应用。（）第题，通过让学生选择不同行、不同列的乘积再进行连乘，发现结果不变，进而思考原因：每个乘积分别是由第一行中的一个分数和第一列中的一个分数相乘所得，不同行、不同列的三个乘积连乘，就是 。教学建议（）让学生独立完成练习。先让学生独立审题，画线段图，列式解答，回顾反思。再组织评价，了解学生掌握情况，发现问题，及时纠正。（）引导学生找出内在的数量关系。教材提供的现实素材千变万化，要引导学生剥离现实的“外壳” ，抽取出内在的数量关系。例如，在表述上，教材不一定使用“多几分之几”“少几分之几”等字眼，而使用“鸭的孵化期比鸡长几分之几”“普通列车比它慢几分之几”等形式，学生要学会把它们转化成数学语言。（）组织比较，融会贯通。学生解答完之后，应让学生说一说它们之间的联系和区别，比如，第题中都是三个量的关系，第题中都是两个量的关系。引导学生发现这些问题其实只是“求一个数的几分之几是多少”的延伸和变式而已。只要牢固地掌握了分数乘法的意义，即使问题再复杂，也是万变不离其宗。（）适时进行其他学科的教育。教学时要注意充分发挥每一道习题的教育功能，使学生在进行数学学习的同时实现综合化的知识扩展。 教师教学用书 数学 六年级上册编写意图（） “整理和复习”对本单元的学习内容进行回顾与整理。本单元的内容大致可以分为三个方面。第一，分数乘法的意义；第二，分数乘法的计算；第三，利用分数乘法解决实际问题。其中，利用分数乘法解决实际问题是本单元内容的综合应用，除了认真审题，根据分数乘法的意义列式并正确计算之外，还要让学生通过解决问题的过程，形成解决问题的技能与策略，形成反思、评估的意识和能力。（）教材在整理和复习的基础上，安排了道习题，对本单元所学知识加以巩固。第题是复习分数乘法的计算方法，结合分数与整数、小数、分数相乘的三道式题，引导学生说说分数乘法的计算方法。第题，结合具体的式题，复习分数混合运算的顺序以及分数乘法的运算律。第题结合北京和广州平均年日照小时的问题，复习用分数乘法解决实际问题的过程，并提示教师在复习时，不仅仅要关注结果，更要关注学生的思考过程。