四川省成都市2011届高三第二次诊断性考试(数学理)(2011成都“二诊”数学试卷及参考答案).doc

成都市2011届高中毕业班第二次诊断性检测数学（理工农医类）本试卷分选择题和非选择题两部分。第卷（选择题）l至2页，第卷（非选择题）3至l页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。3答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。5考试结束后，只将答题卡交回。第卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件、互斥，那么 球的表面积公式如果事件、相互独立，那么 其中表示球的半径 球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是， 那么次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径一、选择题：(1)已知为虚数单位，则复数(A) (B) (C) (D)解：，选B(2)已知向量，若，则实数的值为 (A) (B) (C) (D)解：，选A(3)在等比数列中，若，则 (A) (B) (C) (D)解：，选B(4)若，则的值为 (A) (B) (C) (D)解：，选C(5)在中，角、所对边的长分别为、若，则的值为(A) (B) (C) (D)解：，选B(6)设集合，记，则集合中元素的个数有 (A)3个 (B)4个 (C)l个 (D)2个解：由于直线及双曲线的渐近线平行，所以选C(7)某出租车公司计划用450万元购买A型和B型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A型汽车需13万元辆，购买B型汽车需8万元辆假设公司第一年A型汽车的纯利润为2万元辆，B型汽车的纯利润为1.5万元辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买(A)8辆A型出租车，42辆B型出租车 (B)9辆A型出租车，41辆B型出租车(C)11辆A型出租车，39辆B型出租车 (D)10辆A型出租车，40辆B型出租车解法一：A时，成本为万元，利润为万元B时，成本为万元，利润为万元C时，成本为万元，利润为万元D时，成本为万元，利润为万元而，选D解法二：设购买A型出租车辆，购买B型出租车辆，第一年纯利润为，则，作出可行域，由解得，选D(8)过点作直线及圆交于、两点，若，则圆心到直线的距离等于 (A)5 (B)4 (C)3 (D)2解法一：如图，当时，舍A当时，成立，选B解法二：由得，选B(9)已知，则的值为(A)33 (B) 32 (C) 31 (D) 30解：，的系数为，令，则，所以，选A(10)某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有 (A)144种 (B)150种 (C)196种 (D)256种解，把学生分成两类：311，221，所以共有，选B(11)将函数的图象按向量平移，得到函数的图象若函数在点处的切线恰好经过坐标原点，则下列结论正确的是(A) (B) (C) (D) 解：，切线方程为，令得，即，所以，选A(12)如图，在半径为l的球中、是两条互相垂直的直径，半径平面点、分别为大圆上的劣弧、的中点，给出下列结论：向量在向量方向上的投影恰为；、两点的球面距离为；球面上到、两点等距离的点的轨迹是两个点；若点为大圆上的劣弧的中点，则过点且及直线、成等角的直线只有三条，其中正确的是(A) (B) (C) (D)解：建立如图所示的空间直角坐标系，则，向量在向量方向上的投影为，错；舍B，对；过点的中点及球心的大圆上任意点到点、的距离都相等，错；舍D由于等角的值不是一定值，因此将直线、都平移到点M，可知过点且及直线、成等角的直线有无数多条，错，舍A；选C第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分答案填在答题卡上(13)设，则_解：，填(14)在底面边长为2的正四棱锥中，若侧棱及底面所成的角大小为，则此正四棱锥的斜高长为_解：如图，在正中，填(15)已知椭圆的右焦点为，右准线及轴交于点，点在上，若(为坐标原点)的重心恰好在椭圆上，则_解：设，则焦点，重心，因为重心恰好在椭圆上，所以，即，所以，填(16)已知定义在上的函数给出下列结论：函数的值域为；关于的方程有个不相等的实数根；当时，函数的图象及轴围成的图形面积为，则；存在，使得不等式成立，其中你认为正确的所有结论的序号为_解：，其图象特征为：在每一段图象的纵坐标缩短到原来的一半，而横坐标伸长到原来的2倍，并且图象右移个单位，从而对；显然当时，的图象及的图象只有2个交点，而非个，错；当时，函数的图象及轴围成的图形面积为，对；，结合图象可知错填三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)（本小题满分12分）已知函数(I)求函数的最小正周期；()当时，函数的最小值为，求实数的值解：(I) 1分 3分的最小正周期 6分()当，即时，有， 8分 10分得到的最小值为由已知，有， 12分(18)（本小题满分12分）如图，边长为1的正三角形所在平面及直角梯形所在平面垂直，且，、分别是线段、的中点(I)求证：平面平面；()求二面角的大小解：（）分别是的中点，又，所以 ，2分四边形是平行四边形是的中点，.3分又，平面平面5分()取的中点，连接，则在正中，又平面平面，平面平面，平面. 6分于是可建立如图所示的空间直角坐标系.则有， 7分设平面的法向量为，由取，得9分平面的法向量为. 10分 11分而二面角的大小为钝角，二面角的大小为 12分(19)（本小题满分12分）某电视台拟举行“团队共享”冲关比赛，其规则如下：比赛共设有“常识关”和“创新关”两关，每个团队共两人，每人各冲一关，“常识关”中有2道不同必答题，“创新关”中有3道不同必答题；如果“常识关”中的2道题都答对，则冲“常识关”成功且该团队获得单项奖励900元，否则无奖励；如果“创新关”中的3道题至少有2道题答对，则冲“创新关”成功且该团队获得单项奖励1800元，否则无奖励现某团队中甲冲击“常识关”，乙冲击“创新关”，已知甲回答“常识关”中每道题正确的概率都为，乙回答“创新关”中每道题正确的概率都为，且两关之间互不影响，每道题回答正确及否相互独立(I)求此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励的概率；()记此冲关团队获得的奖励总金额为随机变量，求的分布列和数学期望解：(I)记“此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励”为事件E，事件E发生即“常识关”和“创新关”两关中都恰有一道题答正确 6分()随机变量取值为：0、900、1800、2700； 7分； 8分； 9分 10分 0 900 1800 2700 的分布 。12分(20)（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离为，到轴的距离为，且(I)求点的轨迹的方程；()若、是(I)中上的两点，过、分别作直线的垂线，垂足分别为、证明：直线过定点，且为定值解：（）由及，得. 2分整理，得.即为所求动点的轨迹的方程 3分()设，由题意，知直线的斜率必定存在，故设直线的斜率为，方程为. 4分联立则，. 6分从而 8分又，即，故经检验符合题意当时，直线的方程为，恒过定点 10分由题意，知，则.故当时，为定值 12分(21)（本小题满分12分） 记，其中，如，令(I)求的值；()求的表达式；()已知数列满足，设数列的前项和为，若对一切，不等式恒成立，求实数的最大值解：() 3分()由（），知且 4分 7分 9分 恒成立恒成立恒成立恒成立 10分而，时，取得最小值，实数的最大值为 12分(22)（本小题满分14分）已知函数为实常数）(I)当时，求函数在上的最小值；()若方程（其中）在区间上有解，求实数的取值范围；()证明：（参考数据：）解：（）当时，令，又，在上单调递减，在上单调递增当时，的最小值为 4分() 在上有解在上有解在上有解令，令，又，解得：在上单调递增，上单调递减，又即故9分()设，由(I)，第 - 11 - 页