南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学试题及答案.doc

南京市2014届高三年级第三次模拟考试数 学 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1已知全集UR，集合Ax|x2，xR，Bx|x1，xR，则(UA)B 2已知(1)2abi(a，bR，i为虚数单位)，则ab 3某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为 4现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为 （第5题图）5执行右边的伪代码，输出的结果是 6已知抛物线y22px过点M(2，2)，则点M到抛物线焦点的距离为 7已知tan2，且，则cossin 8已知m，n是不重合的两条直线，是不重合的两个平面下列命题：若，m，则m； 若m，m，则；若m，mn，则n； 若m，m，则其中所有真命题的序号是 9将函数f(x)sin(3x)的图象向右平移个单位长度，得到函数yg(x)的图象，则函数yg(x)在，上的最小值为 10已知数列an满足anan1an2(n3，nN*)，它的前n项和为Sn若S96，S105，则a1的值为 11已知函数f (x) ，则关于x的不等式f(x2)f(32x)的解集是 12在RtABC中，CACB2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN，则·的取值范围为 13在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x1)2y24，P为圆C上一点若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得APB恒为60°，则圆M的方程为 14设二次函数f(x)ax2bxc(a，b，c为常数)的导函数为f(x)对任意xR，不等式f(x)f(x)恒成立，则的最大值为 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1（1）求B；（2）若cos(C)，求sinA的值16(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，O为AC及BD的交点，AB平面PAD，PAD是正三角形， DC/AB，DADC2AB.PABCDOE（第16题图）（1）若点E为棱PA上一点，且OE平面PBC，求的值；（2）求证：平面PBC平面PDC.17(本小题满分14分)某种树苗栽种时高度为A(A为常数)米，栽种n年后的高度记为f(n)经研究发现f(n)近似地满足 f(n)，其中t2，a，b为常数，nN，f(0)A已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍 （1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大 18(本小题满分16分)已知椭圆C：1(ab0)过点P(1，1)，c为椭圆的半焦距，且cb过点P作两条互相垂直的直线l1，l2及椭圆C分别交于另两点M，N（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l1的斜率为1，求PMN的面积； （3）若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程19(本小题满分16分)已知函数f(x)lnxmx（mR）（1）若曲线yf(x)过点P(1，1)，求曲线yf(x)在点P处的切线方程；（2）求函数f(x)在区间1，e上的最大值；（3）若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2e220(本小题满分16分) 已知a，b是不相等的正数，在a，b之间分别插入m个正数a1，a2，am和正数b1，b2，bm，使a，a1，a2，am，b是等差数列，a，b1，b2，bm，b是等比数列（1）若m5，求的值；（2）若ba(N*，2)，如果存在n (nN*，6nm)使得an5bn，求的最小值及此时m的值；（3）求证：anbn(nN*，nm)南京市2014届高三年级第三次模拟考试 数学附加题 21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲·OBACDE（第21题A图）已知圆O的内接ABC中，D为BC上一点，且ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一点，AE为圆O的切线，求证：CD2BD·ECB选修42：矩阵及变换 已知矩阵A (k0)的一个特征向量为，A的逆矩阵A1对应的变换将点 (3，1)变为点(1，1)求实数a，k的值C选修44：坐标系及参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知M是椭圆1上在第一象限的点，A(2，0)，B(0，2)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB的面积的最大值D选修45：不等式选讲 已知a，b，cR，a22b23c26，求abc的最大值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）如图，在正四棱锥PABCD中，PAAB，点M，N分别在线段PA和BD上，BNBD（1）若PMPA，求证：MNAD；C··PMABDN(第22题图)（2）若二面角MBDA的大小为，求线段MN的长度23（本小题满分10分）已知非空有限实数集S的所有非空子集依次记为S1，S2，S3，集合Sk中所有元素的平均值记为bk将所有bk组成数组T：b1，b2，b3，数组T中所有数的平均值记为m(T)（1）若S=1，2，求m(T)；（2）若Sa1，a2，an（nN*，n2），求m(T)南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1(2，1) 27 330 4 511 6 7 8 9 101 11(，3)(1，3) 12，2 13(x1)2y21 1422二、解答题：15(本小题满分14分)解：(1)由1及正弦定理，得1，2分所以，即，则因为在ABC中，sinA0，sinC0，所以cosB 5分因为B(0，)，所以B 7分（2）因为0C，所以C因为cos(C)，所以sin(C) 10分所以sinAsin(BC)sin(C)sin(C) 12分sin(C)coscos(C)sin 14分16(本小题满分14分)证 （1）因为OE平面PBC，OEÌ平面PAC，平面PAC平面PBCPC，所以OEPC，所以AOOCAEEP 3分因为DC/AB，DC2AB，所以AOOCABDC12.所以 6分（2）法一：取PC的中点F，连结FB，FD因为PAD是正三角形，DADC，所以DPDC因为F为PC的中点，所以DFPC. 8分因为AB平面PAD，所以ABPA，ABAD，ABPD因为DC/AB，所以DCDP，DCDA设ABa，在等腰直角三角形PCD中，DFPFa在RtPAB中，PBa在直角梯形ABCD中，BDBCa因为BCPBa，点F为PC的中点，所以PCFB在RtPFB中，FBa 在FDB中，由DFa，FBa，BDa，可知DF2FB2BD2，所以FBDF12分由DFPC，DFFB，PCFBF，PC、FBÌ平面PBC，所以DF平面PBC又DFÌ平面PCD，所以平面PBC平面PDC 14分法二：取PD，PC的中点，分别为M，F，连结AM，FB，MF，所以MFDC，MFDC因为DC/AB，ABDC，所以MFAB，MFAB，即四边形ABFM为平行四边形，所以AMBF 8分在正三角形PAD中，M为PD中点，所以AMPD因为AB平面PAD，所以ABAM又因为DC/AB，所以DCAM因为BF/AM，所以BFPD，BFCD又因为PDDCD，PD、DCÌ平面PCD，所以BF平面PCD12分因为BFÌ平面PBC，所以平面PBC平面PDC. 14分17(本小题满分14分)解：（1）由题意知f(0)A，f(3)3A 所以解得a1，b8 4分 所以f(n)，其中t2 令f(n)8A，得8A，解得tn，即2，所以n9 所以栽种年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍 6分（2）由（1）知f(n)第n年的增长高度为f(n)f(n1) 9分所以 12分 当且仅当64tn，即2时取等号，此时n5 所以该树木栽种后第5年的增长高度最大 14分18(本小题满分16分)解：（1）由条件得1，且c22b2，所以a23b2，解得b2，a24所以椭圆方程为：1 3分（2）设l1方程为y1k(x1)，联立消去y得(13k2)x26k(k1)x3(k1)240因为P为（1，1），解得M（，）5分当k0时，用代替k，得N（，） 7分将k1代入，得M（2，0），N（1，1）因为P（1，1），所以PM，PN2，所以PMN的面积为××22 9分（3）解法一：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则两式相减得(x1x2)(x1x2)3(y1y2)(y1y2)0， 因为线段MN的中点在x轴上，所以y1y20，从而可得(x1x2)(x1x2)012分 若x1x20，则N(x，y) 因为PMPN，所以·0，得x12y122 又因为x123y124，所以解得x1±1，所以M(1，1)，N(1，1)或M(1，1)，N(1， 1) 所以直线MN的方程为yx 14分 若x1x20，则N（x1，y1）， 因为PMPN，所以·0，得y12(x11)21 又因为x123y124，所以解得x1或1，经检验：x满足条件，x1不满足条件综上，直线MN的方程为xy0或x 16分解法二：由（2）知，当k0时，因为线段MN的中点在x轴上，所以，化简得4k (k24k1)0，解得k2± 12分若k2，则M（，），N（，），此时直线MN的方程为x若k2，则M（，），N（，），此时直线MN的方程为x14分当k0时，M（1，1），N（1，1），满足题意，此时直线MN的方程为xy0综上，直线MN的方程为x或xy0 16分19(本小题满分16分)解：（1）因为点P(1，1)在曲线yf(x)上，所以m1，解得m1 因为f (x)1，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y13分（2）因为f (x)m当m0时， x(1，e)， f (x)0，所以函数f (x)在(1，e)上单调递增，则f (x) maxf (e)1me当e，即0m时，x(1，e)， f (x)0，所以函数f (x)在(1，e)上单调递增，则f (x)maxf (e)1me 5分当1e，即m1时，函数f (x)在 (1，)上单调递增，在(，e)上单调递减，则f (x) maxf ()lnm1 7分当1，即m1时，x(1，e)， f (x)0，函数f (x)在(1，e)上单调递减，则f (x) maxf (1)m 9分综上，当m时，f (x)max1me；当m1时，f (x)maxlnm1；当m1时，f (x)maxm 10分（3）不妨设x1x20因为f (x1)f (x2)0，所以lnx1mx10，lnx2mx20，可得lnx1lnx2m(x1x2)，lnx1lnx2m(x1x2)要证明x1x2e2，即证明lnx1lnx22，也就是m(x1x2)2因为m，所以即证明，即ln12分令t，则t1，于是lnt令j(t)lnt（t1），则j (t)0故函数j(t)在（1，）上是增函数，所以j(t)j(1)0，即lnt成立 所以原不等式成立 16分20(本小题满分16分)解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则d，qa3a3d，b3aq3 2分因为，所以2a52b0，解得4或 4分 （2）因为aa(m1)d，所以da，从而得anaa×n 因为aa×qm1，所以q，从而得bna× 因为an5bn，所以a×aa× 因为a0，所以1（*） 6分 因为，m，nN*，所以1为有理数 要使（*）成立，则必须为有理数 因为nm，所以nm1 若2，则为无理数，不满足条件 同理，3不满足条件 8分 当4时，42要使2为有理数，则必须为整数 又因为nm，所以仅有2nm1满足条件 所以12，从而解得n15，m29综上，最小值为4，此时m为29 10分(3)证法一：设cn0，Sn为数列cn的前n项的和先证：若cn为递增数列，则为递增数列证明：当nN*时，bn1 因为Sn1Snbn1SnSn，所以，即数列为递增数列 同理可证，若cn为递减数列，则为递减数列 12分当ba时，q1当nN*，nm时，即，即 因为baqm1，bnaqn，d，所以d，即andbn，即anbn 当ba时，0q1，当nN*，nm时，即因为0q1，所以以下同综上， anbn(nN*，nm) 16分证法二：设等差数列a，a1，a2，am，b的公差为d，等比数列a，b1，b2，bm，b的公比为q，ba(0，1)由题意，得da，qa，所以anandaan，bna要证anbn(nN*，nm)，只要证1n0(0，1，nN*，nm)12分构造函数f(x)1x(0，1，0xm1)，则f(x)ln令f(x)0，解得x0(m1)log以下证明0log1不妨设1，即证明1，即证明ln10，ln10设g()ln1，h()ln1(1)，则g()10，h()ln0，所以函数g()ln1(1)为减函数，函数h()ln1(1)为增函数所以g()g(1)0，h()h(1)0所以1，从而0log1，所以0x0m114分因为在(0，x0)上f(x)0，函数f(x)在(0，x0)上是增函数；因为在(x0，m1)上f(x)0，函数f(x)在(x0，m1)上是减函数所以f(x)minf(0)，f(m1)0所以anbn(nN*，nm)同理，当01时，anbn(nN*，nm) 16分南京市2014届高三年级第三次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2014.05说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法及本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲证：因为AE为圆O的切线，所以ABDCAE 2分因为ACD为等边三角形，所以ADCACD， 所以ADBECA，所以ABDEAC 6分 所以，即AD·CABD·EC 8分因为ACD为等边三角形，所以ADACCD， 所以CD2BD·EC. 10分B选修42：矩阵及变换解：设特征向量为对应的特征值为， 则 ，即 因为k0，所以a2 5分 因为A1，所以A，即 ， 所以2k3，解得 k1综上，a2，k1 10分C选修44：坐标系及参数方程解：设M(2cos，2sin)，(0，)由题知OA2，OB2， 2分所以四边形OAMB的面积S×OA×2sin×OB×2cos2sin2cos2sin() 8分 所以当时，四边形OAMB的面积的最大值为2 10分D选修45：不等式选讲解：由柯西不等式，得a2(b)2(c)212()2()2(abc)28分因为a22b23c26，所以(abc)211，所以abc所以abc的最大值为，当且仅当a2b3c 10分22（本小题满分10分）证明：连接AC，BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴建立空间直角坐标系因为PAAB，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)（1）由，得N(0，0)，由，得M(，0，)，所以(，)，(1，1，0)因为·0所以MNAD 4分（2）因为M在PA上，可设，得M(，0，1)所以(，1，1)，(0，2，0)设平面MBD的法向量n(x，y，z)，由得其中一组解为x1，y0，z，所以可取n(1，0，)8分因为平面ABD的法向量为(0，0，1)，所以cos|，即，解得， 从而M(，0，)，N(0，0)，所以MN 10分23（本小题满分10分）解：（1）S1,2的所有非空子集为：1，2，1,2，所以数组T为：1，2，因此m(T) 3分 （2）因为Sa1,a2, an，nN*，n2，所以m(T) 6分又因为C··C，8分所以m(T)10分第 13 页