南京市、淮安市2017届高三第三次模拟考试数学试题及答案.doc

南京市2017届高三年级第三次模拟考试数 学注意事项：1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡参考公式：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中为x1，x2，xn的平均数柱体的体积公式：VSh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高锥体的体积公式：VSh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知全集U1，2，3，4，集合A1，4，B3，4，则(AB) 2甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的4个乒乓球现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 3若复数z满足z232i，其中i为虚数单位，为复数z的共轭复数，则复数z的模为 4执行如图所示的伪代码，若输出y的值为1，则输入x的值为 （第4题图）Read xIf x0 Then y2Else y2x2End IfPrint y7 7 9 0 8 94 8 1 0 3 5甲 乙（第5题图）5如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 6在同一直角坐标系中，函数y=sin(x)（x0，2）的图-象和直线y=的交点的个数是 7在平面直角坐标系中，双曲线=1的焦距为6，则所有满足条件的实数构成的集合是8已知f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数当x2，4时，f(x)=log4(x)，则f()的值为 ACBA1B1C1D（第10题图）9若等比数列an的各项均为正数，且a3a1=2，则a5的最小值为 10如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，BB13，ABC90°，点D为侧棱BB1上的动点当ADDC1最小时，三棱锥DABC1的体积为 11若函数f(x)ex(x22xa)在区间a，a1上单调递增，则实数a的最大值为 12在凸四边形ABCD中，BD2，且·0，()()5，则四边形ABCD的面积为 13在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2y2=1，圆M：(xa3)2(y2a)2=1(a为实数)若圆O及圆M上分别存在点P，Q，使得OQP=30°，则a的取值范围为 14已知a，b，c为正实数，且a2b8c，则的取值范围为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD平面AEF（1）求证：EF平面ABD；ABCFED（第15题图）（2）若BDCD，AE平面BCD，求证：平面AEF平面ACD16（本小题满分14分）已知向量a(2cos，sin2)，b(2sin，t)，(0，)（1）若ab(，0)，求t的值；（2）若t1，且a b1，求tan(2)的值17（本小题满分14分）在一水域上建一个演艺广场演艺广场由看台，看台，三角形水域ABC及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图）看台，看台是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台的面积是看台的面积的3倍；矩形表演台BCDE中，CD10米；三角形水域ABC的面积为400平方米设BAC（1）求BC的长（用含的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价CBA水域看台表演台看台DE（第17题图）18（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点分别为A，B，M为线段AB的中点，且·b2（1）求椭圆的离心率；xyOCBDMA（第18题图）（2）已知a2，四边形ABCD内接于椭圆，ABDC记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值19（本小题满分16分）已知常数p0，数列an满足an1|pan|2 anp，nN*（1）若a11，p1， 求a4的值； 求数列an的前n项和Sn（2）若数列an中存在三项ar，as，at (r，s，tN*，rst)依次成等差数列，求的取值范围20（本小题满分16分）已知R，函数f (x)exex(xlnxx1)的导函数为g(x)（1）求曲线yf(x)在x1处的切线方程；（2）若函数g(x)存在极值，求的取值范围；（3）若x1时，f (x)0恒成立，求的最大值南京市2017届高三年级第三次模拟考试数学附加题注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共40分，考试时间30分钟3答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲ABCDE（第21(A)图）如图，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆的直径，点B和点C在直线AE的两侧求证：AB·ACAD·AEB选修42：矩阵及变换已知矩阵A，X，且AX，其中x，yR（1）求x，y的值；（2）若 B，求(AB)1C选修44：坐标系及参数方程已知曲线C的极坐标方程是r28rcos150，直线l的极坐标方程是（rR）若P，Q分别为曲线C及直线l上的动点，求PQ的最小值D选修45：不等式选讲已知x0，求证：x3y233x2y【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=1，点T(3，0)动点P满足PSl，垂足为S，且·=0设动点P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点(1，0)，线段PQ的中点为M，直线l及x轴的交点为N求证：向量及共线23（本小题满分10分）已知数列an共有3n（nN*）项，记f (n)a1a2a3n对任意的kN*，1k3n，都有ak0，1，且对于给定的正整数p (p2)，f(n)是p的整数倍把满足上述条件的数列an的个数记为Tn（1）当p2时，求T2的值；（2）当p3时，求证：Tn8n2(1)n南京市2017届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）12 2 3 4 56.8 62 7 8 98：10 11：求导 123 13，0 1427，3012解：设，依题意得，13解：当为切点时，则，圆上点到点的最小距离，所以，化简得，解得14解1：令，则直线及曲线相交于，两点由平面区域可得，当直线过点时，；当直线及曲线相切（切点为）时，解2：令，则且，当，时等号成立将不等式组中两式相乘得，又由得，有所以，当，时等号成立（自解）二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15（本小题满分14分）证明：（1）因为BD平面AEF，BDÌ平面BCD，平面AEF平面BCDEF，所以BDEF 3分因为BDÌ平面ABD，EFË平面ABD，所以EF平面ABD 6分（2）因为AE平面BCD，CDÌ平面BCD，所以AECD 8分因为BDCD，BDEF，所以CDEF 10分又AEEFE，AEÌ平面AEF，EFÌ平面AEF，所以CD平面AEF 12分又CDÌ平面ACD，所以平面AEF平面ACD 14分16（本小题满分14分）解：（1）因为向量a(2cos，sin2)，b(2sin，t)，且ab(，0)，所以cossin，tsin2 2分由cossin 得 (cossin)2，即12sincos，从而2sincos 所以(cossin)212sincos 因为(0，)，所以cossin 5分 所以sin， 从而tsin2 7分（2）因为t1，且a b1，所以4sincossin21，即4sincoscos2因为(0，)，所以cos0，从而tan 9分所以tan2 11分从而tan(2) 14分17（本小题满分14分）解：（1）因为看台的面积是看台的面积的3倍，所以ABAC在ABC中，SABCABACsin400，所以AC2 3分由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos4AC22AC2 cos(42cos) ，即BC 40所以BC40，(0，) 7分（2）设表演台的总造价为W万元因为CD10m，表演台每平方米的造价为0.3万元，所以W3BC120，(0，) 9分记f()，(0，)则f () 11分由f ()0，解得当(0，)时，f ()0；当(，)时，f ()0故f()在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，从而当时，f()取得最小值，最小值为f()1所以Wmin120(万元)答：表演台的最低造价为120万元 14分18（本小题满分16分）解：（1）A(a，0)，B(0，b)，由M为线段AB的中点得M(，)所以(，)，(a，b)因为·b2，所以(，)·(a，b)b2，整理得a24b2，即a2b 3分因为a2b2c2，所以3a24c2，即a2c所以椭圆的离心率e 5分（2）方法一：由a2得b1，故椭圆方程为y21从而A(2，0)，B(0，1)，直线AB的斜率为 7分因为ABDC，故可设DC的方程为yxm设D(x1，y1)，C(x2，y2)联立消去y，得x22mx2m220，所以x1x22m，从而x12mx2 9分直线AD斜率k1=，直线BC斜率k2=， 11分所以k1·k2·，即k1·k2为定值 16分方法二：由a2得b1，故椭圆方程为y21从而A(2，0)，B(0，1)，直线AB的斜率为 7分设C(x0，y0)，则y021因为ABCD，故CD的方程为y(xx0)y0联立消去y，得x2(x02y0)x2x0y00，解得xx0（舍去）或x2y0所以点D的坐标为(2y0，x0) 13分所以k1·k2·，即k1·k2为定值 16分19（本小题满分16分）解：（1）因为p1，所以an1|1an|2 an1 因为 a11，所以a2|1a1|2 a111， a3|1a2|2 a213， a4|1a3|2 a319 3分 因为a21，an1|1an|2 an1， 所以当n2时，an1， 从而an1|1an|2 an1an12 an13an， 于是有 an3n2(n2) 5分 当n1时，S11； 当n2时，Sn1a2a3an1 所以即Sn，nN* 8分（2）因为an1an|pan|anppananp2 p0，所以an1an，即an单调递增 10分 （i）当1时，有a1p，于是ana1p， 所以an1|pan|2 anpanp2 anp3an，所以an3n1a1 若an中存在三项ar，as，at (r，s，tN*，rst)依次成等差数列，则有2 asarat，即2×3s13r13t1 （*） 因为st1，所以2×3s1×3s3t13r13t1，即（*）不成立 故此时数列an中不存在三项依次成等差数列 12分 （ii）当1 1时，有pa1p 此时a2|pa1|2 a1ppa12 a1pa12 pp， 于是当n2时，ana2p， 从而an1|pan|2 anpanp2 anp3an 所以an3n2a23n2(a12p) (n2) 若an中存在三项ar，as，at (r，s，tN*，rst)依次成等差数列， 因，由（i）可知，r1， 于是有2×3s2(a12 p)a13t2(a12p) 因为2st1，所以2×3s23t2×3s×3t10因为2×3s23t2是整数，所以1， 于是a1a12p，即a1p，及pa1p相矛盾 故此时数列an中不存在三项依次成等差数列 14分 （iii）当1时，则有a1pp，a1p0， 于是a2| pa1|2a1ppa12 a1pa12p， a3|pa2|2a2p|pa1|2a15ppa12a15pa14p， 此时有a1，a2，a3成等差数列 综上可知：1 16分20（本小题满分16分）解：（1）因为f(x)exelnx， 所以曲线yf (x)在x1处的切线的斜率为f(1)0 又切点为(1，f (1)，即(1，0)， 所以切线方程为y0 2分 （2）g (x)exelnx，g(x)ex 当0时，g(x)0恒成立，从而g (x)在(0，)上单调递增， 故此时g (x)无极值 4分 当0时，设h(x)ex，则h(x)ex0恒成立， 所以h(x)在(0，)上单调递增 6分 当0e时，h(1)e0，h()ee0，且h(x)是(0，)上的连续函数，因此存在唯一的x0(，1)，使得h(x0)0 当e时， h(1)e0，h()e10，且h(x)是(0，)上的连续函数，因此存在唯一的x01，)，使得h(x0)0 故当0时，存在唯一的x00，使得h(x0)0 8分 且当0xx0时，h(x)0，即g(x)0；当xx0时，h(x)0，即g(x)0 所以g (x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增， 因此g (x)在xx0处有极小值 所以当函数g (x)存在极值时，的取值范围是(0，) 10分（3）g (x)f(x)exelnx，g(x)ex若g(x)0恒成立，则有xex恒成立 设(x)xex(x1)，则(x)(x1) ex0恒成立， 所以(x)单调递增，从而(x)(1)e，即e 于是当e时，g (x)在1，)上单调递增， 此时g (x)g (1)0，即f(x)0，从而f (x)在1，)上单调递增 所以f (x)f (1)0恒成立 13分 当e时，由（2）知，存在x0(1，)，使得g (x)在(0，x0)上单调递减，即f(x)在(0，x0)上单调递减所以当1xx0时，f(x)f(1)0，于是f (x)在1，x0)上单调递减，所以f (x0)f (1)0这及x1时，f (x)0恒成立矛盾因此e，即的最大值为e 16分南京市2017届高三第三次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲ABCDE（第21(A)图）证明：连结BE因为AD是边BC上的高，AE是ABC的外接圆的直径，所以ABEADC90° 4分又AEBACD， 6分所以ABEADC， 8分所以 ，即AB·ACAD·AE 10分B选修42：矩阵及变换解：（1）AX 2分因为AX，所以解得x3，y0 4分（2）由（1）知A ，又B，所以AB 6分设(AB)1 ，则 ，即 8分所以 解得a，b，c0，d，即(AB)1 10分（说明：逆矩阵也可以直接使用公式求解，但要求呈现公式的结构）C选修44：坐标系及参数方程解：由于r2x2y2，rcosx，所以曲线C的直角坐标方程为x2y28x150，即(x4)2+y21，所以曲线C是以(4，0)为圆心，1为半径的圆 3分直线l的直角坐标方程为yx，即xy0 6分因为圆心(4，0)到直线l的距离d21 8分所以直线l及圆相离，从而PQ的最小值为d121 10分D选修45：不等式选讲证明：因为x0，所以x32x31133x，当且仅当x31，即x1时取“” 4分因为y212y(y1)20，所以y212y，当且仅当y1时取“” 8分 所以(x32)(y21)3x2y，即x3y233x2y，当且仅当xy1时，取“” 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）解：（1）设P(x，y)为曲线C上任意一点因为PSl，垂足为S，又直线l：x1，所以S(1，y) 因为T(3，0)，所以(4，y)因为(x，y)，·0，所以4xy20，即y24x 所以曲线C的方程为y24x 3分（2）因为直线PQ过点(1，0)，故可设直线PQ的方程为xmy1P(x1，y1)，Q(x2，y2)联立消去x，得y24my40所以y1y24m，y1y24 5分因为M为线段PQ的中点，所以M的坐标为(，)，即M (2m21，2m)又因为S(1，y1)，N(1，0)，所以(2m22，2my1)，(x21，y2)(my22，y2) 7分因为(2m22) y2(2my1)(my22)(2m22) y22m2y2my1y24m2y12(y1y2)my1y24m8m4m4m0所以向量及共线 10分23（本小题满分10分）解：（1）由题意，当n2时，数列an共有6项要使得f(2)是2的整数倍，则这6项中，只能有0项、2项、4项、6项取1， 故T2CCCC2532 3分 （2）TnCCCC 4分当1kn，kN*时，CCCCCCC2CCC 2 (CC)CCCC 3 (CC)CC， 6分于是Tn1CCCC CC3(CCCCCC)TnCTnC 2Tn3(23nTn) 3×8nTn 8分下面用数学归纳法证明Tn8n2(1)n当n1时，T1CC2812(1)1，即n1时，命题成立假设nk (k1，kN*)时，命题成立，即Tk8k2(1)k则当nk1时，Tk13×8kTk3×8k8k2(1)k9×8k8k2(1)k8k12(1)k1，即nk1时，命题也成立于是当nN*，有Tn8n2(1)n 10分第 16 页